1、第 39 讲 简单不等式的解法【学习目标】1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法3熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法【基础检测】1设函数 f(x)21x，x11log2x，x1，则满足 f(x)2的 x 的取值范围是()A1，2 B0，2C1，)D0，)【解析】当 x1 时，f(x)2 化为 21x2，解得0 x1；当 x1 时，f(x)1log2x10，或x10，2x10.解得12x1，解得 x，原不等式的解集为12，1.A3.已知函数 yf(x)的图象如图，则不等式 f(3xx2)0 的解集为()Ax|1
2、x2Bx|0 x3Cx|x2Dx|x3【解析】由图象可知，当 x2 时，f(x)0，所以由f(3xx2)2，解得 1x2，即解集为x|1x2A4已知集合 AxR|x2|3，BxR|(xm)(x2)0，且 AB(1，n)，则 m_，n_【解析】由已知可解得 AxR|5x1，而AB(1，n)，所以必有 BxR|mxb(a0)的解集为：(1)a0 时，_；(2)a0(a0)或 ax2bxc0(a0)的解集的各种情况如下表bxx xabxx xa 一元二次不等式 ax2bxc0(a0)求解过程的程序框图如下3简单指数不等式不等式 af(x)(1)当 a1 时，等价于_；(2)当 0alogag(x)(
3、1)当 a1 时，等价于_；(2)当 0ag(x)f(x)g(x)0g(x)f(x)0 g xa【解析】根据 abab2ab，得 x(x2)x(x2)2x(x2)x2x20，(x2)(x1)0.2x1.x(2，1)一、一元二次不等式的解法及应用例1(1)在 R 上定义运算：abab2ab，则满足 x(x2)0 的实数 x 的取值范围为()A(0，2)B(2，1)C(，2)(1，)D(1，2)B【解析】据已知满足两个不等式的解集为(2，3)，又当 2x3 时，2x29xm0 恒成立，令 f(x)2x29xm，结合二次函数的图象可知只需f（2）0f（3）0即可，解得 m9.(2)已知不等式x24x
4、30 和x26x80 及2x29xm9Bm9Cm9D0m9C【解析】解法一：由值域为0，)，当 x2axb0 时有 a24b0，即 ba24，f(x)x2axbx2axa24 xa22.f(x)xa22c，解得 cxa2 c，ca2x ca2.不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，ca2 ca2 2 c6，解得 c9.(3)已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_9解法二：由值域为0，)，当 x2axb0 时有 a24b0，即 ba24，不等式 f(x)c 的解集为(m，m6),m、m6 是方程 x
5、2axa24 c0 的两根，由根与系数的关系得2m6am（m6）a24 c得：c9.例2设二次函数 f(x)ax2bxc，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为 m，n(mn)(1)若 m1，n2，求不等式 F(x)0 的解集；(2)若 a0，且 0 xmn1a，比较 f(x)与 m 的大小【解析】(1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn)，当 m1，n2 时，不等式 F(x)0，即 a(x1)(x2)0.当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为x|x1 或x2；当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为x|1x2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a0，
6、且 0 xmn1a，xm0，1anax0.f(x)m0，即 f(x)m.1，11a二、简单指数、对数不等式的解法例3(1)已知 f(x)logax(a0，a1)，且当 x0 时，ax1，则 f11x 1 的解集是_(2)函数 f(x)x38（x0）ex9（x0，x1，x2 是方程 x2ax20 的两非零实根，有 x1x2a，x1x22，|x1x2|（x1x2）24x1x2a28.因为1a1，所以|x1x2|a283.要使不等式 m2tm1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，当且仅当 m2tm13，即 m2tm20对任意 t1，1恒成立，所以m2m20m2m20m2或 m2，所以，存在
7、实数 m，使得不等式 m2tm1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，m 的取值范围是m|m2 或 m2【解析】当 x1 时，无解 当1x0 时，1x20；f(1x2)f(2x)(1x2)211 恒成立 当 0 x1 时，1x20，2x0，f(1x2)f(2x)(1x2)21(2x)21，即 1x22x，即(x1)22，0 x 21，当 1x20 时，无解 综上知1x 21.备 选 题 例5 已 知 函 数f(x)x21 （x0）1（x0），则满足不等式 f(1x2)f(2x)的 x的取值范围是_【点评】本题考查分段函数、二次不等式的解法和抽象不等式的解法()1 2 1，1解一元一次不
8、等式 axb(a0)的实质就是由不等式性质将不等式两边同乘以1a，并注意由 a 的取值的正负确定不等式的解2解一元二次不等式的基本思想是：(1)解一元二次不等式主要采用判别式法、求根法，应结合上表深刻理解不等式 ax2bxc0(a0)的解集与对应的一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根以及二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象之间的关系(2)解一元二次不等式要注意密切联系一元二次方程、二次函数的图象，一元二次方程的根就是二次函数与 x 轴交点的横坐标，对应不等式的解集就是使函数图象在 x 轴上方或下方的部分所对应的 x 的集合，方程的根就是不等式解集区间的端点3解指数、对数不等式既要运
9、用相应的指数、对数函数的单调性，又要注意化异底为同底和定义域优先原则【解析】因为 Mx|x23x40 x|1x4，Nx|0 x5，所以 MNx|1x40 x5x|0 x41(2014 全国大纲)设集合 Mx|x23x40，Nx|0 x5，则 MN()A(0，4 B0，4)C1，0)D(1，0B2(2014 全国新课标)设函数 f(x)3sin xm，若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x20f(x0)2m2，则 m 的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)C【解析】函数 f(x)的极值点满足xm 2 k，即 xmk12，kZ，且极值为 3，问题
10、等价于存在 k0 使之满足不等式 m2k01223m2.因为k122的最小值为14，所以只要14m234，解得 m2 或 m2或x2得 x1 或 x 2，选 B.解法二：数形结合法 1已知 f(x)x1，x0 x2，x2 的解集是()A(，2)(3，)B(，2)(1，)C(，1)(2，)D(，1)(2，)B2已知集合 Ax|x22x31，则 AB()Ax|x1Bx|x1Cx|1x0 时，由 f(a)f(a)得 log2alog12a，即 log2alog21a，即 a1a，解得 a1；当 af(a)得 log12(a)log2(a)，即 log21a log2(a)，即1aa，解得1a0，lo
11、g12（x），xf(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，)D(，1)(0，1)C【解析】由题意知，(xy)*(xy)(xy)1(xy)1 对一切实数 x 恒成立，x2xy2y10 对于 xR 恒成立，故 124(1)(y2y1)0，4y24y30，解得12y32.5在 R 上定义运算：x*yx(1y)若不等式(xy)*(xy)1 对一切实数 x 恒成立，则实数 y 的取值范围是()A.12，32B.32，12C(1，1)D(0，2)A【解析】由不等式 x2x2nx(nN*)，可得其解集为(0，2n1)，其中整数解有 2n 个，即 an2n
12、，S100100（2200）210 100.6设关于 x 的不等式 x2x2nx(nN*)的解集中整数的个数为 an，数列an的前 n 项和为 Sn，则 S100的值为_.10 100【解析】(1)f(1)3a(6a)ba26ab3.f(1)0，a26ab30，244b，当 b6 时，0，f(1)0 的解集为；当 b6 时，3 b6a0 的解集为；当 b6 时，f(1)0 的解集为a|3 b6a0；(2)当不等式 f(x)0 的解集为(1，3)时，求实数 a，b 的值(2)不等式3x2a(6a)xb0 的解集为(1，3)，f(x)0 与不等式(x1)(x3)0 同解 3x2a(6a)xb0.(1)判断 f(x)在1，1上的单调性，并予以证明；(2)解不等式 fx12 f1x1.【解析】(1)因为 x1，1时，f(x)f(x)且f(1)1，所以 f(1)f(1)10，所以f（b）f（a）b（a）0.当 ba，即 x2x1 时，有 f(b)f(a)0，即 f(x2)f(x1)；当 ba，即 x2x1 时，有 f(b)f(a)0，即 f(x2)f(x1)所以 f(x)在1，1上是增函数(2)因为 f(x)在1，1上单调递增，所以 fx12 f1x1 1x121，1 1x11，x12 1x132x12，x2或x0，x1或1x32 32x1，所以原不等式的解集为32，1.