1、基本不等式的应用(习题课)A级基础巩固1设0ab，且ab1，则下列四个数中最大的是()A.Ba2b2C2ab Da解析：选B法一：因为0ab，所以1ab2a，所以a.又因为a2b22ab，所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1ab2，所以ab，所以a2b2(ab)22ab12ab1，即a2b2，故选B.法二(特值检验法)：取a，b，则2ab，a2b2.因为，所以a2b2最大，故选B.2若0ab，则下列不等式一定成立的是()Aba BbaCba Dba解析：选C0ab，2bab，b.ba0，aba2，a.故ba.3某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平
2、均增长率为x，则()Ax BxCx Dx解析：选B由条件知A(1a)(1b)A(1x)2，所以(1x)2(1a)(1b)，所以1x1，故x.4某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是()A4.6 m B4.8 mC5 m D5.2 m解析：选C设直角三角形两直角边长分别为x m，y m，则xy1，即xy2.周长lxy2224.83(m)，当且仅当xy时等号成立结合实际问题，可知选C.5(多选)若x0，y0且xy4，则下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.1解析：选BC若x0，y0，由xy
3、4，得，故A错误；(xy)(22)1，当且仅当xy2时，等号成立，故B正确；x0，y0，xy4，且xy2，2，故C正确；2，xy4，当且仅当xy2时，等号成立，故D错误6已知abc，则与的大小关系是_解析：abc，ab0，bc0，当且仅当abbc，即2bac时等号成立答案：7为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mgL1)随时间t(单位：h)的变化关系为C，则经过_h后池水中该药品的浓度达到最大解析：C.因为t0，所以t24.所以C5，当且仅当t，即t2时，C取得最大值答案：28某公司租地建仓库，每月租地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与
4、仓库到车站的距离成正比若在距离车站10 km处建仓库，则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元那么要使每月的两项费用之和最小，仓库应建在离车站_ km处解析：设仓库建在离车站x km处，每月租地费用y1(k10)，每月运输费用y2k2x(k20)把x10，y12代入y1，得k120；把x10，y28代入y2k2x，得k2，故每月两项费用之和yx28，当且仅当x，即x5时等号成立答案：59已知a，b，c为不全相等的正数，且abc1.求证：.证明：因为a，b，c都是正数，且abc1，所以22，22，22，三个不等式左、右两边分别相加，得22()，当且仅当abc时，等号成立又因为a，b，c不
5、全相等，所以.102020年1月， 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状，高度恒定)改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元问：(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少？(2)为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？解：(1)设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则方舱医院的面积Sxy，总造价z40x245y20xy40x90y20
6、xy.由条件知z188 000，即4x9y2xy18 800.x0，y0，y.令t92x，则x(t9)，Sxy9 41829 41823979 4188 836，当且仅当t，即t291时等号成立故S的最大值为8 836 m2.(2)由(1)知，当S8 836 m2时，t291，t92x，x141，则y.方舱医院的面积S达到最大值8 836 m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m.B级综合运用11(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是()A(1，4) B(6，8)C(7，12) D.解析：选AC设矩形的边长分别为x，y，则xyl，
7、Sxy.对于A，(1，4)，则xy2，xy1，根据基本不等式得xy，符合题意；对于B，(6，8)，则xy4，xy6，根据基本不等式得xy，不符合题意；对于C，(7，12)，则xy6，xy7，根据基本不等式得xy，符合题意；对于D，则xy，xy3，根据基本不等式得xy，不符合题意故选A、C.12几何原本中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CDAB，CEOD于点E，设ACa，BCb，
8、则该图形可以完成的“无字证明”为()A.(a0，b0)B.(a0，b0，ab)C.(a0，b0)D.(a0，b0，ab)解析：选D由ACa，BCb，可得半圆O的半径DO，易得DC，DE.DEDCDO，(a0，b0，ab)故选D.13已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_解析：不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则(xy)(1)29，2，即a4，故正实数a的最小值为4.答案：414(1)已知a，b，cR，求证：(abc)；(2)若0x1，a0，b0，求证：(ab)2.证明：(1) ， (ab)(当且仅当ab时，等号成立)同理， (bc)(当且仅当bc时，等号成
9、立)，(ac)(当且仅当ac时，等号成立)三式相加得 (ab)(bc)(ac)(abc)(当且仅当abc时，等号成立)(2)0x1，1x0.又a0，b0，左边(x1x)a2b2b2a2a2b22a2b22ab(ab)2右边.故(ab)2.C级拓展探究15志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AECE，ABAD，矩形的周长为8 cm.(1)设ABx cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；(2)计划在ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽解：(1)由题意可得AD(4x) cm，且x4x0，可得2x4.则CEAExDE，在RtADE中，AE2AD2DE2，即(xDE)2(4x)2DE2，化简得DE4(2x4)(2)SADEADDE(4x)22128，当且仅当x2时取等号，此时4x42，即队徽的长和宽分别为2 cm，(42) cm时，ADE的面积取得最大值