1、三十二直线与圆锥曲线的位置关系 (15分钟30分)1双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则双曲线的离心率是()A B2 C D【解析】选C.由1(a0，b0)得yx(a0，b0)，将yx代入yx21，得xx21，化简，得ax2bxa0(a0)，令0，得b24a20，即b2a，所以c2a2b2a24a25a2，5，即.2若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm1或0m1C0m5且m1 Dm1且m5【解析】选D.由于直线ykx1恒过点M(0，1)，要使直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上从而有解得m1且m5.3已知直线y
2、kx1和双曲线x2y21的右支交于不同两点，则k的取值范围是_【解析】由直线ykx1和双曲线x2y21联立方程组，消y得(1k2)x22kx20，因为该方程有两个不等且都大于1的根，所以解得1kb0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，求ABF.【解析】由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为ykxa(k0)，与椭圆方程联立，消去y整理得(b2a2k2)x22ka3xa4a2b20，由(2ka3)24(b2a2k2)(a4a2b2)0，得k，从而yxa交x轴于点A，又F(c，0)，易知0，故ABF90. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20
3、分)1以双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆(O为坐标原点)与C的渐近线相切，则C的渐近线方程为()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0【解析】选B.由以双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆(O为坐标原点)与C的渐近线相切，可得c，可得c2b，所以c24b2a2b2，所以ab，则C的渐近线方程为：xy0.2已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若12，则抛物线C的方程为()Ax28y Bx24yCy28x Dy24x【解析】选C.由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy，
4、联立消去x得y22pmyp20，显然方程有两个不等实根设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212，得p4(舍负)，即抛物线C的方程为y28x.3已知直线l与抛物线y26x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2，则直线l恒过定点()A(6，0) B(3，0)C(2，0) D(，0)【解析】选C.设直线l的方程为：xmyn，联立方程消去x得：y26my6n0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y26n，因为k1k2，所以，所以，所以n2，所以直线l的方程为：xm
5、y2，所以直线l一定过点(2，0).4平行四边形ABCD内接于椭圆1，直线AB的斜率k12，则直线AD的斜率k2等于()A B C D2【解析】选C.设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GOAD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得，整理得k12，即.又G，所以kOG，即k2.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的()A最大值为 B最大值为1C最小值为 D最小值为【解析】选AD.如图
6、：设直线A2M的方程为y(x2)2x，代入椭圆方程1，并整理得7x216x40，所以2x，所以x，所以M点坐标为.设直线A2N的方程为y2(x2)42x，同理可得N点坐标为，因为kA1M，kA1N，所以直线PA1斜率的最大值为，最小值为.6在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1，0)，且点P(0，1)在C1上直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，则()A椭圆C1的方程为y21B椭圆C1的方程为1C直线l的方程yx或yxD直线l的方程yx或yx【解析】选AC.根据椭圆的左焦点为F1(1，0)，知a2b21，又根据点P(0，1)在椭圆上，知b1，所以a，所以椭
7、圆C1的方程为y21.因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykxm(k0)，代入椭圆方程得(kxm)21，即x22kmxm210，由题意可知此方程有唯一解，此时4k2m24(m21)0，即m22k21.把ykxm(k0)代入抛物线方程得y2ym0，由题意可知此方程有唯一解，此时1mk0，即mk1.联立得解得k2，所以或所以直线l的方程为yx或yx.三、填空题(每小题5分，共10分)7如图，过抛物线y24x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若3，则直线AB的方程为_，|AB|_【解析】抛物线的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x1
8、，设C(1，m)，B(a，b)，因为3，所以(2，m)3(a1，b)(3a3，3b)，则3a32，m3b，即a，此时b24，得b，即m2，则C(1，2)，则AB的斜率k，则直线方程为y(x1)，代入y24x得3x210x30，得x1x2，即|AB|x1x222.答案：y(x1)8F1，F2为椭圆E：1的左、右焦点，A为短轴的一个端点，连接AF2并延长交椭圆于B点，则ABF1的面积为_【解析】F1，F2为椭圆E：1的左、右焦点，由对称性不妨设A为短轴的上端点，即A(0，).连接AF2，可得AF2的方程：1，即xy，联立消去x，可得3y22y20，可得yB.则ABF1的面积为：2.答案：四、解答题
9、(每小题10分，共20分)9若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合【解析】因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解，消去y，得(a1)x12ax，整理得(a1)2x2(3a2)x10.当a10，即a1时，方程是关于x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解当a10，即a1时，方程是关于x的一元二次方程，判别式(3a2)24(a1)2a(5a4)，令0，解得a0或a.当a0时，原方程组有唯一解当a时，原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是.10已知点A(1，0)，B(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且kMAkMB2.(
10、1)求点M的轨迹C的方程；(2)过定点(0，1)作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|，求直线PQ的方程【解析】(1)设M(x，y)，则kMA，kMB(x1)，所以2，所以x21(x1).(2)当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是ykx1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2k(x1x2)，联立消去y得(k22)x22kx10.因为4k24(k22)8(k21)0，所以kR，x1x2，x1x2，所以|PQ|2，所以|PQ|2，k22，k，所以直线PQ的方程是yx1.【创新迁移】1蒙日圆涉及的是几何学中的一
11、个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：1(a0)的蒙日圆为x2y24，则a()A1 B2 C3 D4【解析】选A.因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找特殊点分别为(，0)，(0，)，则两条切线分别是x，y，则两条直线的交点为P(，)，而P在蒙日圆上，所以()2()24，解得a1.2已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x24y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当ABC的面积最大时，求直线l的方程【解析】(1)由已知得抛物线的焦点为(0，)，故设椭圆方程为1(a).将点A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍去)，故所求椭圆方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由得4x22mxm240，则8m216(m24)8(8m2)0，得2m2.由x1x2m，x1x2，得|BC|x1x2|.又点A到BC的距离为d，故SABC|BC|d，当且仅当2m2162m2，即m2时取等号当m2时，满足2m2.故直线l的方程为yx2.