1、1在直角坐标系中，设任意角终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r，则sin ；cos ；tan .2任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应3三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限典例1已知角的终边经过点P(12m，5m)(m0)，求sin ，cos ，tan 的值解：r13|m|，若m0，则r13m，为第四象限角，sin ，cos ，tan .若m
2、0，则r13m，为第二象限角，sin ，cos ，tan .对点训练1(1)是第四象限角，P(，x)为其终边上一点，且sin x，则cos 的值为()A. B. C. D(2)若0，则点P(tan ，cos )位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：(1)选A由定义可得sin x，x0，可得x，cos .(2)选B0，tan 0，点P(tan ，cos )位于第二象限.三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式化简的顺序是：(1)先用诱导公式化为同角三角函数(2)再用同角三角函数关系化简用同角三角函数关系化简时，有两种思路：化弦法：当切函数的项
3、比较少时，常常化弦达到化简的目的；化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简典例2已知4，求(sin 3cos )(cos sin )的值解：4，解得tan 2.(sin 3cos )(cos sin )sin cos sin2 3cos2 3sin cos .对点训练2化简下列各式：(1)；(2)tan 36tan 54.解：(1)原式cos2sin22sin21.(2)原式tan 36tan 541tan 36tan 54.(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线周期变换(0)周期
4、变换(0)振幅变换A(A0)和周期变换(0)相位变换(0)振幅变换A(A0)注意二者平移量的不同(3)由已知条件确定函数yAsin(x)的解析式，需要确定A，其中A，易求，下面介绍求的几种方法平衡点法由yAsin(x)Asin知它的平衡点的横坐标为，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1，则可求.确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程利用单调性将函数yAsin(x)的图象与ysin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出.典例3已知函数f(x)Asin(x)的图象上的一个最低点为M，周期为.(1)求
5、f(x)的解析式；(2)将yf(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数yg(x)的图象，写出函数yg(x)的解析式；(3)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值解：(1)由题可知T，2.又f(x)min2，A2.由f(x)的最低点为M，得sin1.0，.f(x)2sin.(2)y2siny2sin2siny2sin2sin x，g(x)2sin x.(3)0x，2x.当2x，即x0时，f(x)min2sin 1，当2x，即x时，f(x)max2sin .对点训练3函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图
6、象大致是()解析：选D当x时，sin x0，tan x0，tan xsin x0.ytan xsin x(sin xtan x)2tan x.同理，当x时，sin x0，故tan xsin x0.ytan xsin x(tan xsin x)2sin x.综上可知，选项D正确4如图，是函数yAsin(x)k(A0，0)的一段图象(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过ysin x变换得来的？解：(1)由图象知A，k1，T2，2.ysin(2x)1.当x时，2，.所求函数解析式为ysin1.(2)把ysin x向左平移个单位，得到ysin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到
7、ysin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到ysin，最后把函数ysin的图象向下平移1个单位，得到ysin1的图象.(1)函数ysin x和ycos x的周期是2，ytan x的周期是；函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期是，yAtan(x)的周期是.(2)函数ysin x和ycos x的有界性为：1sin x，cos x1，函数ytan x没有最值有界性可用来解决三角函数的最值问题(3)函数ysin x在上递增，在上递减；函数ycos x在2k，2k上递增，在2k，2k上递减；函数ytan x在上递增，以上kZ.(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公
8、式将角化到同一单调区间内；求形如f(x)的单调区间时，采用整体代换的方法将x视为整体求解相应x的范围即可，注意的符号及f对单调性的影响典例4函数yAsin(x)(A0，0)在x(0，7)内取到一个最大值和一个最小值，且当x时，y有最大值3，当x6时，y有最小值3.(1)求此函数解析式；(2)写出该函数的单调递增区间解：(1)由题可知A3，5，T10.，.y3sin.(2)令2kx2k，得10k4x10k，kZ.函数的单调递增区间为x|10k4x10k，kZ对点训练5函数f(x)3sin的图象为C.图象C关于直线x对称；函数f(x)在区间内是增函数；由y3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以
9、得到图象C.以上三个论断中，正确论断的个数是()A0 B1C2 D3解析：选Cf3sin3sin 3，直线x为对称轴，对；由x2x，由于函数y3sin x在内单调递增，故函数f(x)在内单调递增，对；f(x)3sin 2，而由y3sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y3sin 2的图象，得不到图象C，错 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在0360的范围内，与510终边相同的角是()A330 B210C150 D30解析：选B因为5103602210，因此与510终边相同的角是210
10、.2若sin ，则sin()A BC. D.解析：选Asincos ，又，sin ，cos .3已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 B.C2sin 1 Dsin 2解析：选B如图，由题意知1，BC1，圆的半径r满足sin sin 1，所以r，弧长AB2r.4函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx解析：选Cf(x)sin的图象的对称轴为xk，kZ，得xk，当k1时，则其中一条对称轴为x.5化简得()Asin 2cos 2 Bcos 2sin 2Csin 2cos 2 Dcos 2sin 2解析：选C，20.原式sin 2cos 2.6
11、函数f(x)tan的单调增区间为()A.，kZB(k，(k1)，kZC.，kZD.，kZ解析：选C令kxk，kZ，解得kxk，kZ，选C.7已知sin，则sin的值为()A. B C. D解析：选C，sinsinsin.8设是第三象限的角，且cos ，则的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B是第三象限的角，2k2k，kZ.kk，kZ.在第二或第四象限又cos ，cos 0，0，|)的一段图象如图所示，则函数的解析式为()Ay2sinBy2sin或y2sinCy2sinDy2sin解析：选C由图象可知A2，因为，所以T，2.当x时，2sin2，即sin1，又
12、|0)，对任意x有ff，且fa，那么f等于()Aa B2aC3a D4a解析：选A由ff，得f(x1)fff(x)，即1是f(x)的周期而f(x)为奇函数，则fffa.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知tan ，那么cos sin 的值是_解析：因为，所以cos 0，所以cos .sin ，所以cos sin .答案：14设f(n)cos，则f(1)f(2)f(3)f(2 015)等于_解析：f(n)cos的周期T4，且f(1)coscos ，f(2)cos，f(3)cos，f(4)cos.所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，所以f(1)f(2)f(3)f(2 01
13、5)f(1)f(2)f(3).答案：15定义运算a*b为a*b例如1*21，则函数f(x)sin x*cos x的值域为_解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为.答案：16给出下列4个命题：函数y的最小正周期是；直线x是函数y2sin的一条对称轴；若sin cos ，且为第二象限角，则tan ；函数ycos(23x)在区间上单调递减其中正确的是_(写出所有正确命题的序号)解析：函数ysin的最小正周期是，则y的最小正周期为，故正确对于，当x时，2sin2sin 2，故正确对于，由(sin cos )2得2sin cos ，为第二象限角，所以sin cos
14、，所以sin ，cos ，所以tan ，故正确对于，函数ycos(23x)的最小正周期为，而区间长度，显然错误答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin cos 2.解：由1，得tan .(1).(2)sin2sin cos 2sin2sin cos 2(cos2sin2).18(12分)已知函数f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间解：(1)f2sin2sin (2)令2kx2k，kZ，所以2kx2k，kZ，解得6kx26k，kZ，所以函数f
15、(x)2sin的单调递增区间为6k，26k，kZ.19(12分)已知函数f(x)3sin.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)写出f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间解：(1)列表如下：xx02sin010103sin03030描点画图如图所示(2)由图可知，值域为3，3，最小正周期为2，对称轴为xk，kZ，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)20(12分)如图，函数y2sin(x)，xR的图象与y轴交于点(0，1)(1)求的值；(2)求函数y2sin(x)的单调递增区间；(3)求使y1的x的集合解：(1)因为函数图象过点(0，1)，所以2sin 1，即s
16、in .因为0，所以.(2)由(1)得y2sin，所以当2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ时，y2sin是增函数，故y2sin的单调递增区间为，kZ.(3)由y1，得sin，所以2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ，所以y1时，x的集合为.21(12分)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)，在同一周期内，当x时，f(x)取得最大值3；当x时，f(x)取得最小值3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)若x时，函数h(x)2f(x)1m的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围解：(1)由题意，A3，T2，2.由22k，kZ，得2k，kZ，又因为0，2.(2)点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0，点P的坐标为.点P在y2cos的图象上，且x0，cos，且4x0.4x0或4x0.x0或x0.