1、阶段质量检测(二)柯西不等式与排序不等式及其应用(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1已知a，b均为正实数，且a2b10，则a2b2的最小值为()A5B10C20 D302已知x0，y0，且4x3y12，则xy的最大值是()A1 B2C3 D43函数ylog2(x1)的最小值为()A3 B3C4 D44设x1，x2，x3取不同的正整数，则m的最小值是()A1 B2C. D.5已知(x1)2(y2)24.则3x4y的最大值为()A1 B10C11 D216已知不等式(xy)a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为()A2 B4C. D167
2、已知x3y5z6，则x2y2z2的最小值是()A. B.C. D68已知3x22y22，则3x2y的取值范围是()A0， B，0C， D5,59设a，b，c为正数，ab4c1，则2的最大值是()A. B.C2 D.10若a0，b0，c0，且a(abc)bc42，则2abc的最小值为()A.1 B.1C22 D22二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11函数y2的最大值是_12(湖南高考)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_13已知x22y21，则x2y41的最大值是_14函数y2的最大值是_三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15(本小题满分12分
3、)设a，b，cR，求证：.16(本小题满分12分)已知x22y23z2，求3x2yz的最小值17(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.18.(本小题满分14分)设非负实数1，2，n满足12n1，求yn的最小值答 案1选C根据柯西不等式有(a2b2)(122)(a2b)2100.a2b220，当且仅当a2时取等号2选C由4x3y2，6，xy3，故选C.3选Bx1x10，ylog2log2log2(26)log283.4选C设a1，a2，a3是x1，x2，x3的一个排
4、列且满足a1a2a3.a11，a22，a33，又1，x11当且仅当x11，x22，x23时取等号5选D(x1)2(y2)2(3242)3(x1)4(y2)2，即(3x4y11)2100.3x4y1110,3x4y21.当且仅当时取等号6选B因为(xy)(11)24，当且仅当xy1时等号成立，因此若不等式(xy)a对任意正实数x，y恒成立，则a4，故应选B.7选C由柯西不等式，得x2y2z2(123252)(x2y2z2)(1x3y5z)262当且仅当x时取等号8选C|3x2y|3x2y.9选B1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23，即所求最大值为
5、.10选Da(abc)bc(ab)(ac)42，且ab0，ac0，2abc(ab)(ac)2222(1)(当且仅当abac，即bc时等号成立)，2abc的最小值为22，故选D.11解析：y ，当且仅当x时取等号答案：12解析：由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236，故a24b29c212，从而a24b29c2的最小值为12.答案：1213解析：x22y21，x2y2y21.又x2y41x2y2y21，x2y2y23，x2y411.即x2y41当且仅当x2y2时取等号x2y41的最大值是.答案：14解析：根据柯西不等式，知y12 .答案：15证明：设abc
6、0，则a3b3，a3b3a2ab2ba2bb2aab(ab)，同理：b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)，.16解：(x22y23z2)2(3x2yz)2，(3x2yz)2(x22y23z2)12.23x2yz2.当且仅当x，y，z时3x2yz取最小值，最小值为2.17解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.18解：为了利用柯西不等式，注意到(21)(22)(2n)2n(12n)2n1，所以(2n1)(21)(22)(2n)2n2，所以yn，yn.当且仅当12n时等号成立，从而y有最小值.