1、45定积分与微积分基本定理45.1曲边梯形的面积*4.5.2计算变力所做的功45.3定积分的概念45.4微积分基本定理1.了解定积分的实际背景以及“化整为零，以直代曲”的思想方法2.了解定积分的概念，理解定积分的几何意义3了解微积分基本定理的内容和含义，会用微积分基本定理求函数的定积分1曲边梯形由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)2定积分的概念设f(x)是在区间a，b上有定义的函数，在a，b之间取若干分点ax0x1x20)围成曲边梯形，将区间1，2进行100等分后第一个小区间上曲边梯形的面积是_解析：将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为f(1)1，故
2、面积10.01.答案：0.01利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义，求：(1)dx；(2)(2x1)dx.【解】(1)在平面上，y表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆如图(1)所示，其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)在平面上，f(x)2x1为一条直线.(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)所示，其面积为S(17)312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积注意分割点的准确性
3、(2)一般地，如果图形的面积是直线段或圆弧围成时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要考虑函数的正负，是否具有对称性 1.由函数yx的图象，直线x1，x0，y0所围成的图形的面积可表示为()A(x)dxB|x|dxCxdx D xdx解析：选B.由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S|x|dx.2利用定积分的几何意义证明cos xdx2 cos xdx成立证明：函数ycos x，x是偶函数，故曲线ycos x，x与坐标轴围成图形的面积S1等于曲线ycos x，x与坐标轴围成图形的面积S2，于是由定积分的几何意义，有cos xdxS1S22S22 cos xdx.微积分基本定理的综合应用(1)
4、若(2x3x2)dx0(k0)，则k等于_(2)已知x(0，1，f(x)(12x2t)dt，则f(x)的值域是_【解析】(1)(2x3x2)dx(x2x3)|k2k30，所以k0(舍)或k1.(2)(12x2t)dt(12x)tt222x，即f(x)2x2，因为x(0，1，所以f(1)f(x)f(0)，即0f(x)S2，故应填.答案： A基础达标1.dx等于()A2ln 2B2ln 2Cln 2 Dln 2解析：选D.因为(ln x)，所以取F(x)ln x，所以dxln 4ln 2ln 2.2设axdx，bx2dx，cx3dx，则a，b，c的大小关系是()Acab BabcCabc Dacb
5、解析：选B.根据定积分的几何意义，易知x3dxx2dxbc，故选B.3下列等式成立的是()A.xdxbaB.xdxC.|x|dx2|x|dxD.(x1)dxxdx解析：选C.由y|x|为偶函数，图象关于y轴对称，得|x|dx2|x|dx，故选C.4若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1 BC. D1解析：选B. 因为f(x)x22f(x)dx，所以f(x)dx|2f(x)dx，所以f(x)dx.5若(xa)dxcos 2xdx，则a()A1 B1C2 D4解析：选C.(xa)dx|a，cos 2xdxsin 2x|0，所以a，解得a2，故选C.6若dx3ln 2，且a1，则a_解
6、析：dx(x2ln x)|a2ln a1，故有a2ln a13ln 2，解得a2.答案：27已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_解析：(kx1)dx|(2k2)k1，所以2k14，解得k2.答案：8设f(x)kxb，若f(x)dx2，f(x)dx3.则f(x)的解析式为_解析：由(kxb)dx2，得2，即kb2，由(kxb)dx3，得3，即(2k2b)3.所以kb3，由联立解得，k1，b，所以f(x)x.答案：f(x)x9计算下列定积分：(1)dx；(2) (cos x2x)dx.解：(1)因为dxdxln xln(x1)ln .(2) (cos x2x)dx2(22)10已知(x3
7、ax3ab)dx2a6且f(t)(x3ax3ab)dx为偶函数，求a，b.解：因为f(x)x3ax是奇函数，所以(x3ax)dx0，所以(x3ax3ab)dx(x3ax)dx(3ab)dx0(3ab)1(1)6a2b，所以6a2b2a6，即2ab3.又f(t)(x3ax3ab)dx(3ab)x|(3ab)t为偶函数，所以3ab0.由得a3，b9. B能力提升11函数F(x)t(t4)dt在1，5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0和最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值解析：选B.F(x)(t24t)dt|x32x2(1x5)F(x)x24x，由F(x)0，得x0或4.列表如下：
8、x1(1，0)0(0，4)4(4，5)5F(x)5005F(x)极大值极小值因为极大值F(0)0，极小值F(4)，所以函数F(x)的最大值为0，最小值为.故选B.12.dx_解析：dxdxdxln(x1)ln(x2)|lnlnln.答案：ln13计算(|2x3|32x|)dx.解：设y|2x3|32x|则(|2x3|32x|)dx3(4x)dx6dx34xdx(2x2)|36x|2x2|32(2)(3)266232245.14(选做题)如图，设点P在曲线yx2上，从原点向A(2，4)移动，记直线OP与曲线yx2所围成的图形的面积为S1，直线OP、直线x2与曲线yx2所围成的图形的面积为S2.(1)当S1S2时，求点P的坐标；(2)当S1S2有最小值时，求点P的坐标和最小值解：(1)设点P的横坐标为t(0t2)，则P点的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为ytx.S1(txx2)dxt3，S2(x2tx)dx2tt3.因为S1S2，所以t.点P的坐标为.(2)令SS1S2t32tt3t32t，St22，令S0得t220.因为0t2，所以t，因为0t时，S0；t0.所以当t时，S1S2有最小值，此时点P的坐标为(，2)