1、第34讲 等差、等比数列的性质及综合应用【学习目标】运用类比的思想理解并记忆等差、等比数列的常用性质掌握性质运用的方法与技巧，并能综合等差、等比数列的基本公式进行灵活运用【解析】设an的公差为 d，a1a9a4a66，且 a111，a95，从而 d2.所以 Sn11nn(n1)n212n，当 n6 时，Sn 取最小值【基础检测】1设等差数列an的前 n 项和为 Sn.若 a111，a4a66，则当 Sn 取最小值时，n 等于()A6 B7 C8 D9A【解析】设数列an的公比是 q，则有a7a8a9a4a5a6a4a5a6a1a2a3q9，所以(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)
2、51050，则a4a5a65 2.2已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6()A5 2B7 C6 D4 2A【解析】由条件知等差数列an是首项为正，公差为负的递减数列又a11a101，所以 a110，且a10a110.S2020（a1a20）220（a10a11）20，故当 Sn 取得最小正值时n19.3已知an为等差数列，若a11a101，且它的前 n项和 Sn 有最大值，那么当 Sn 取得最小正值时，n 的值为_19【解析】因为an为等比数列，所以 am1am1a2m，又由 am1am12am0，从而 am2.由等比数列的性质可知前(2m1)项
3、积 T2m1a2m1m，即 22m1128，故 m4.4记等比数列an的前 n 项积为 Tn(nN*)，已知am1am12am0，且 T2m1128，则 m_4【知识要点】1等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anak(nk)d(n，kN*)(2)若an为等差数列，且 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.(3)若an是等差数列，公差为 d，则 an，anm，an2m，(n，mN*)是公差为_的等差数列(4)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.md2等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：_(n，mN)(2)若an为等比数列，且
4、klmn(k，l，m，nN)，则_(3)若等比数列an的公比为 q，则1an 是以1q为公比的等比数列(4)若公比不为1 的等比数列an的前 n 项的和为Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列anamqnmakalaman一、等差数列的性质及应用例1(1)等差数列an中，a9a10a，a19a20b，求 a99a100；(2)若两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知SnTn 7n14n27，求a11b11的值；(3)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d0，S130，S13（a1a13）13213a70，a7S3S5S2n123a1，当 n 是
5、偶数时，Sn23a1112n，单调递增，S2S4S6S2n23a1；综上，当 n1 时，Sn 有最大值为 S12 014;当 n2 时，Sn 有最小值为 S21 007.(2)|(n)|a1a2a3an|，|（n1）|（n）|an1|2 01412n，2 014211 1|(n)|；当 n11 时，|(n1)|(n)|，又(10)0，(11)0，(12)0，（n）的最大值是(9)和(12)中的较大者（12）（9）a10a11a12a3112 0141210 31，(12)(9)，因此当 n12 时，(n)最大(3)|an|随 n 增大而减小，数列an的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增 当
6、 n 是奇数时，调整为 an1，an2，an.则 an1ana112na112n1a12n，2an22a112n1a12n，an1an2an2，an1，an2，an 成等差数列；当 n 是偶数时，调整为 an，an2，an1；则 an1ana112na112n1a12n，2an22a112n1a12n，an1an2an2，an，an2，an1 成等差数列；综上可知，数列an中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列 n 是奇数时，公差 dnan2an1a112n112n 3a12n1；n 是偶数时，公差 dnan 2ana1 12n112n1 3a12n1.无论 n 是奇数还是偶数，
7、都有 dn 3a12n1，则 dndn112，因此，数列dn是首项为34a1，公比为12的等比数列【点评】本例第(3)小问题的求解，实质上是探究数列dn的通项公式，然后依通项公式确定其为等比数列备选题例5在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意 mN*，将数列an中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为 bm，求数列bm的前 m 项和 Sm.【解析】(1)由 a3a4a584，a973 可得 3a484，a428，而 a973，则 5da9a445，d9，a1a43d28271，于是 an1(n1)99n8，即 an9n8(nN*)(2)对任意
8、mN*，9m9n892m，则 9m89n92m8，即 9m189n0)，b1a11，b2a22，b3a33，若数列an唯一，求 a 的值；(2)是否存在两个等比数列an，bn，使得 b1a1，b2a2，b3a3，b4a4 成公差不为 0 的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由【解析】(1)设an的公比为 q，则 b11a，b22aq，b33aq2.由 b1，b2，b3 成等比数列得(2aq)2(1a)(3aq2)，即 aq24aq3a10.由 a0 得 4a24a0，故方程有两个不同的实根 再由an唯一，知方程必有一根为 0，将 q0 代入方程得 a13.(2)假设存在
9、两个等比数列an，bn使 b1a1，b2a2，b3a3，b4a4 成公差不为 0 的等差数列 设an的公比为 q1，bn的公比为 q2，则 b2a2b1q2a1q1，b3a3b1q22a1q21，b4a4b1q32a1q31.由 b1a1，b2a2，b3a3，b4a4 成等差数列得22121 111121 12233121 1121 1121 12()=()2()()b qa qbab qa qb qa qb qa qb qa q即222121122121 11(1)(1)0,(1)(1)0.b qa qb q qa q q q2得 a1(q1q2)(q11)20.由 a10 得 q1q2 或 q11.1)当 q1q2 时，由，得 b1a1 或 q1q21，这时(b2a2)(b1a1)0 与公差不为 0 矛盾；2)当 q11 时，由，得 b10 或 q21，这时(b2a2)(b1a1)0 与公差不为 0 矛盾 综上所述，不存在两个等比数列an，bn使 b1a1，b2a2，b3a3，b4a4 成公差不为 0 的等差数列