1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质全盘巩固1设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A当l时，lm且ln；但当lm，ln时，若m、n不是相交直线，则得不到l.即“l”是“lm且ln”的充分不必要条件2已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是()A平行 B异面C相交 D垂直解析：选A因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC或点A、B、C所在的直线，同理，直线m垂直于平面ABC或点A、B、C所在的直线，根据线面或线线垂直的性质定理得lm.
2、3已知P为ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是ABC垂心的充分必要条件是()APAPBPCBPABC，PBACC点P到ABC三边所在直线的距离相等D平面PAB、平面PBC、平面PAC与ABC所在的平面所成的角相等解析：选B条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的充分必要条件4已知两条直线m、n，两个平面、，给出下列四个命题：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn.其中正确命题的序号是()A BC D解析：选C正确；对于，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此是错误的；对于，直线n也可能位于平面内，因此是错误的；对于，由m且，
3、得m，又mn，故n，因此是正确的5如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：选D在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ADC平面ABC.6. 如图，正三角形
4、PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MPMC，则点M的轨迹为()解析：选A取AD的中点E，连接PE，PC，CE.由PEAD知，PE平面ABCD，从而平面PEC平面ABCD，取PC、AB的中点F、G，连接DF、DG、FG，由PDDC知，DFPC，由DGEC知，DG平面PEC，又PC平面PEC，DGPC，又DFDGD，DF平面DFG，DG平面DFG，PC平面DFG，又点F是PC的中点，因此线段DG上的点满足MPMC.7设l，m，n为三条不同的直线，为一个平面，给出下列命题：若l，则l与相交；若m，n，lm，ln，则l；若lm，m
5、n，l，则n；若lm，m，n，则ln.其中正确命题的序号为_解析：显然正确；对，只有当m，n相交时，才有l，故错误；对，由lm，mnln，由l，得n，故正确；对，由lm，ml，再由nln，故正确答案：8. 如图所示，矩形ABCD的边ABa，BC2，PA平面ABCD，PA2，现有数据：a；a1；a；a2；a4.当在BC边上存在点Q(Q不在端点B、C处)，使PQQD时，a可以取_(填上一个你认为正确的数据序号即可)解析：当PQQD时，有QD平面PAQ，所以QDAQ.在矩形ABCD中，设BQx(0x2)，则CQ2x.在RtABQ中，AQ2a2x2，在RtDCQ中，DQ2a2(2x)2.又由AQ2DQ
6、24，得2a22x24x0，则a2(x1)21(0x2)，故a2(0,1，即a(0,1，故符合，不符合答案：(或)9. 如图PAO所在平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PBC，其中真命题的序号是_解析：AE平面PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确；AEPC，AEBC，PB平面PBCAEPB，AFPB，EF平面AEFEFPB，故正确；若AFBCAF平面PBC，则AFAE与已知矛盾，故错误；由可知正确答案：10(2014台州模拟)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD是直角梯形，E为BC的中点，BADAD
7、C90，AB3，CD1，PAAD2.(1)求证：DE平面PAC；(2)求PA与平面PDE所成角的正弦值解：(1)证明：因为PA平面ABCD，DE平面ABCD，所以PADE，取AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以EFAB且EF2，在RtADC和RtDEF中，EFDADC90，DFDC1，EFAD2，所以EFDADC，FEDDAC，所以ACDE.因为PAACA，PA，AC平面PAC所以DE平面PAC.(2)由(1)知平面PDE平面PAC，设DEACG，连接PG，在RtPAG中，作AHPG，垂足为H，则AH平面PDE，所以APH是PA与平面PDE所成的角，由(1)知，在RtAD
8、G中，AD2，tanCAD，所以AGADcosCAD，因为PA平面ABCD，所以PG，sinAPHsinAPG，即PA与平面PDE所成角的正弦值为.11. (2013江苏高考)如图，在三棱锥S ABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明：(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC
9、，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.12. 如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点(1)求证：CD平面SAD；(2)求证：PQ平面SCD；(3)若SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面
10、SAD.(2)证明：取SC的中点R，连接QR，DR.由题意知，PDBC且PDBC.在SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QRBC且QRBC.所以QRPD且QRPD，则四边形PDRQ为平行四边形，所以PQDR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，所以PQ平面SCD.(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD.连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，因为PDCM，且PDCM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以POCO.又因为N为SC的中点，所NOSP.易知SPAD，因为平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，且SPAD，所以SP平面ABCD，所以
11、NO平面ABCD.又因为NO平面DMN，所以平面DMN平面ABCD.冲击名校如图在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动(1)证明：ADC1E；(2)当异面直线AC与C1E 所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积解：(1)证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1.又BCBB1B，BC，BB1平面BB1C1C，所以AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.(2)因为ACA1C1，所以A1C1E
12、是异面直线AC与C1E所成的角，由题设知A1C1E60.因为B1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1，又AA1A1C1，A1B1AA1A1，A1B1，AA1平面A1ABB1，从而A1C1平面A1ABB1，又A1E平面A1ABB1，所以A1C1A1E.故C1E2，又B1C12，所以B1E2.从而V三棱锥C1A1B1ESA1B1EA1C12.高频滚动如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点(1)求证：AB1平面A1BD；(2)设点O为AB1上的动点，当OD平面ABC时，求的值解：(1)证明：取BC的中点为M，连接AM，B1M，在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC
13、平面BCC1B1，ABC为正三角形，所以AMBC，又平面ABC平面BCC1B1BC，故AM平面BCC1B1，又BD平面BCC1B1，所以AMBD.又正方形BCC1B1中，tanBB1MtanCBD，所以BDB1M，又B1MAMM，B1M平面AB1M，AM平面AB1M，所以BD平面AB1M，又AB1平面AB1M，故AB1BD.在正方形BAA1B1中，AB1A1B，又A1BBDB，A1B，BD平面A1BD，所以AB1平面A1BD.(2)取AA1的中点为N，连接ND，OD，ON.因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以NDAC，又AC平面ABC，ND平面ABC，所以ND平面ABC，又OD平面ABC，NDODD，所以平面NOD平面ABC，又平面NOD平面BAA1B1ON，平面BAA1B1平面ABCAB，所以ONAB，注意到ABA1B1，所以ONA1B1，又N为AA1的中点，所以O为AB1的中点，即1.
