1、第二课时基本计数原理的应用 组 数 问 题例1(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取三个不同数字组成三位数，则三位数的个数为()A120B80C90 D100(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)思路点拨(1)分三步，即分百位、十位、个位；(2)此题可利用间接法，即先求出不受限制条件的个数，再减去不符合要求的个数即得解精解详析(1)分三步：第一步，取1个数字排在百位上，不能取0，有5种方法；第二步，从余下的五个数字中取1个作十位，有5种方法；第三步，从余下的4个数字中取1个作个位，有4种方法根据分步乘法计数原理，共有554100种方
2、法，即得100个三位数(2)若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，则个位、十位、百位、千位每个“位置”都有两种选择，所以共有2416个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16214个满足要求的四位数答案(1)D(2)14一点通对于组数问题的计数，一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步来计数当分类较多时，可先求出总个数，再减去不符合条件的数的个数1由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为()A15 B12C10 D5解析：分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个由分类加法计数原理知共有偶数
3、5个答案：D2由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数中，且能被5整除的数共有_个解析：能被5整除的数个位为5或0，若个位为0，千位有5种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有54360个；若个位为5，千位有4种排法，百位有4种排法，十位有3种排法，共有44348个故能被5整除的且没有重复数字的四位数共有6048108个答案：108种植与涂色问题例2如图所示，要给三、维、设、计四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？思路点拨从“三”或“计”区域开始涂色，分四步完成精解详析三、维、设、计四个区域依次涂色，
4、分四步完成第一步，涂三区域，有3种选择；第二步，涂维区域，有2种选择；第三步，涂设区域，由于它与三、维区域颜色不同，有1种选择；第四步，涂计区域，由于它与维、设区域颜色不同，有1种选择所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方法共有32116种一点通涂色(种植)问题的一般思路：为便于分析问题，先给区域(种植品种)标上相应序号；按涂色(种植)的顺序分步或按颜色(种植品种)恰当选取情况分类；选择适当的计数原理求解3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A24种 B18种C12种 D6种解析：法一：(直接法)若黄瓜种在第一
5、块土地上，则有326种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有326种不同的种植方法故不同的种植方法共有6318种法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有43224种方法，其中不种黄瓜有3216种方法，故共有不同的种植方法24618种答案：B操场宿舍区餐厅教学区4.如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色若有6种不同的颜色可选，则有_种不同的着色方法解析：法一：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区
6、和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色根据分步乘法计数原理，共有6544480种着色方法法二：分两类：第一类，操场与教学区用同一种颜色，有654120种着色方法；第二类，操场与教学区不同色，有6543360种着色方法根据分类加法计数原理，共有120360480种不同的着色方法答案：480两个计数原理的综合应用例3(10分)有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同选法？思路点拨第(1)问属于分类问题
7、，用分类加法计数原理；第(2)问属于分步问题，用分步乘法计数原理；第(3)问是综合类问题，需先分类再分步精解详析(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法由分类加法计数原理知，有38516种选法(2)分三步：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法由分步乘法计数原理，共有385120种选法(3)可分两类，每一类又分两步第一类，选一名老师再选一名男同学，有3824种选法；第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3515种选法由分类加法计数原理，共有241539种选法一点通应用分类加法计数原理和分
8、步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏，各类中的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时，分步必须做到每步均是完成事件必须的、缺一不可的步骤5a，b，c，d排成一行，其中a不排第一、b不排第二、c不排第三、d不排第四的不同排法有()A9种 B18种C23种 D24种解析：依题意，符合要求的排法可分为三类，即第一个可排b，c，d中的一个把第一个排b的不同排法逐一列出如下：badcbcdabdac共3种不同的排法同理可得，第一个排c，d各有3种不同的排法，故符合题意的不同排法共有9种答案：A6有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向
9、排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？解：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成339种不同的信号；每次升3面旗可组成33327种不同的信号根据分类加法计数原理，共可组成392739种不同的信号1使用两个原理解题的本质：2利用两个计数原理解决实际问题的常用方法：1由0,1,2三个数字组成的三位数(允许数字重复)的个数为()A27B18C12 D6解析：分三步，分别取个位、十位、百位上的数字，分别有3种、3种、2种取法，故共可得33218个不同的三位数答案：B2三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则
10、不同的传递方式共有()A4种 B5种C6种 D12种解析：若甲先传给乙，则有甲乙甲乙甲，甲乙甲丙甲，甲乙丙乙甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法答案：C3某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有()A180种 B360种C720种 D960种解析：分五步完成，第i步取第i个号码(i1,2,3,4,5)由分步
11、乘法计数原理，可得车牌号码共有53444960种答案：D4已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16C13 D10解析：分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面故可以确定8513个不同的平面答案：C5如图，从AC有_种不同的走法解析：分为两类，不过B点有2种方法，过B点有224种方法，共有426种方法答案：66在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有_种(用数
12、字作答)解析：分两步：第一步，先选垄，如图，共有6种选法.第二步，种植A，B两种作物，有2种选法因此，由分步乘法计数原理知，不同的选垄种植方法有6212种答案：127由数字1,2,3,4.(1)可组成多少个三位数？(2)可组成多少个没有重复数字的三位数？(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字？解：(1)百位数字共有4种选法；十位数字共有4种选法；个位数字共有4种选法根据分步乘法计数原理，共可组成4364个三位数(2)百位数字共有4种选法；十位数字共有3种选法；个位数字共有2种选法由分步乘法计数原理知，共可组成43224个没有重复数字的三位数(3)组
13、成的三位数分别是432,431,421,321，共4个. 8把一个圆分成3个扇形，现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问(1)有多少种不同的涂法？(2)若分割成4个扇形呢？解：(1)不同的涂色方法是54360种(2)如图所示，分别用a，b，c，d记这四个扇形先考虑给a，c涂色，分两类：第一类给a，c涂同种颜色，共5种涂法；再给b涂色，有4种涂法；最后给d涂色，也有4种涂法由分步乘法计数原理知，此时共有544种涂法第二类给a，c涂不同颜色，共有54种涂法；再给b涂色，有3种方法；最后给d涂色，也有3种方法此时共有5433种涂法由分类加法计数原理知，共有54454332
14、60种涂法_1.2排列与组合12.1排列 排列的定义1在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念师生三人站成一排，校长站在中间问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？提示：不是问题2：有几种排法？提示：2种，男师女，女师男2从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动问题3：安排这项活动需分几步？分别是什么？提示：分两步，第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学问题4：有几种排法？提示：上午有3种，下午有2种，因此共有326种排法问题5：甲乙和乙甲是相同的排法吗？提示：不是甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲
15、下午1一般地，从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.排列数及排列数公式两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏问题1：从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？提示：4312个问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？提示：43224个问题3：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？提示：n(n1)(n2)(nm1)种排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示排列数公式An(n1)(n2)(nm1)阶乘式A(n，mN，mn)特殊情况An！，A1,0！11对于排列定义的理解：(1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列(2)两个排列相同的条件：元素相同；元素的排列顺序相同2排列与排列数的区别：“排列”是指从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，而是具体的一件事“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，是一个数符号A只表示排列数