1、第33讲 等差、等比数列的概念及基本运算【学习目标】1掌握等差数列、等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等2掌握等差数列与等比数列的判断方法3掌握等差数列与等比数列求和的方法【基础检测】1下列命题中正确的个数是()若 a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2 一定成等差数列；若 a，b，c 成等差数列，则 2a，2b，2c 可能成等差数列；若 a，b，c 成等差数列，则 ka2，kb2，kc2 一定成等差数列；若 a，b，c 成等差数列，则1a，1b，1c可能成等差数列A4 个B3 个C2 个D1 个B【解析】对于，取 a1，b2，c3，则 a21，b24，c29，错 对于，abc
2、2a2b2c，正确 对于，a，b，c 成等差数列，ac2b.(ka2)(kc2)k(ac)42(kb2)，正确 对于，abc01a1b1c，正确综上选B.2设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a11，公差 d2，Sk2Sk24，则 k()A8 B7 C6 D5【解析】数列an是等差数列，a11，d2.an2n1，又 Sk2Sk24，ak2ak12(k2)2(k1)24k424，k5.D3设首项为 1，公比为23的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43anDSn32an【解析】解法一：在等比数列an中，Sna1anq1q 1an2312332a
3、n.解法二：在等比数列an中，a11，q23，an123n123n1.Sn1123n1233123n 312323n1 32an.D4已知数列an，则“an，an1，an2(nN*)成等比数列”是“a2n1anan2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】若 nN*时，an，an1，an2 成等比数列，则 a2n1anan2，反之，则不一定成立，举反例如数列为 1，0，0，0，应选 A.A【知识要点】1等差、等比数列的定义(1)等差数列：如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的差等于_，则称这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d
4、表示(2)等比数列：如果一个数列从_起，每一项和它的前一项的比为同一常数(不为零)，则称这个数列为等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示第二项同一个常数第二项2等差、等比数列的递推公式数列an为等差数列an1and(d 为常数)an2an1an1an2an1anan2.数列an为等比数列an1an q(q 为常数，且 q0)an2an1an1an a2n1anan2.3等差数列的基本公式(1)通项公式：若等差数列an的首项是 a1，公差是d，则其通项公式为 an_(2)等差中项：如果_成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项，且有 A_(3)前 n 项和的公式：若已
5、知等差数列an的首项 a1和末项 an，则 Sn_；若等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其前 n 项和公式为 Sn_a1(n1)da，A，bab2（a1an）n2na1n（n1）2d4等差数列的前 n 项和公式与函数的关系：Snd2n2a1d2 n，数列an是等差数列的充要条件是 SnAn2Bn(A，B 为常数)5等比数列的基本公式(1)通项公式：设等比数列an的首项为 a1，公比为q，则其通项公式为 an_(2)等比中项：若_成等比数列，那么 G叫做 a 与 b 的等比中项，且 G_(3)前 n 项和公式：当 q1 时，Sn_；当 q1时，Sn_a1qn1a，G，b abna1a1（
6、1qn）1qa1anq1q一、等差数列的基本运算例1数列an是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负(1)求数列的公差 d；(2)求前 n 项和 Sn 的最大值；(3)当 Sn0 时，求 n 的最大值【点评】由题设条件应用通项公式与前 n 项和公式将问题转化为首项 a1 与公差 d 的方程是解题的切入点之一【解析】(1)由已知 a6a15d235d0，a7a16d236d0，解得：235 d236，又 dZ，d4.(2)d0，a70，整理得：n(504n)0，0n0，则等差数列an递增；若 d0，则等差数列an递减4等比数列an的单调性由首项 a1 和公比 q 综合确定若
7、 q0，q1或 a10，0q1，则等比数列an递增；若 a11 或a10，0q1，则等比数列an递减1(2014 辽宁)设等差数列an的公差为 d.若数列12na a 为递减数列，则()Ad0Ca1d0【解析】令 bn12na a，因为数列12na a 为递减数列，所以bn1bn 111111()22212nnnnaaaaaa daa ，所得 a1d60n800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由【解析】(1)设数列an的公差为 d，依题意得，2，2d，24d 成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得 d24d0，解得 d0 或 d4.当 d0 时，an2；当 d4 时，an2
8、(n1)44n2.从而得数列an的通项公式为 an2 或 an4n2.(2)当 an2 时，Sn2n，显然 2n60n800 成立 当 an4n2 时，Snn2（4n2）22n2.令 2n260n800，即 n230n4000，解得 n40 或 n60n800 成立，n 的最小值为 41.综上，当 an2 时，不存在满足题意的正整数 n；当 an4n2 时，存在满足题意的正整数 n，其最小值为 41.【解析】由等差数列定义可知正确；由 2an1anan2an2an1an1an，可知正确；对于，因 an1anp(n1)q(pnq)pan为等差数列，可知正确，故选 D.1给出下列等式：an1anp
9、(p 为常数，nN*)；2an1anan2(nN*)；anpnq(p，q 为常数，nN*)，则无穷数列an为等差数列的充要条件是()ABCDD2已知数列 a，a(1a)，a(1a)2，构成等比数列，则实数 a 满足()Aa1Ba0 或 a1Ca0 Da0 且 a1【解析】显然a（1a）aa（1a）2a（1a）1a，但a0 且 1a0，故选 D.D3下面是关于公差 d0 的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列ann 是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4【解析】因为 d0，所
10、以 an1an，所以 p1 是真命题因为 n1n，但是 an 的符号不知道，所以 p2 是假命题同理 p3 是假命题由 an13(n1)dan3nd4d0，所以 p4 是真命题D4等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 6S55S35，则 a4_13【解析】6S55S35，6(5a110d)5(3a13d)5，a13d13，即 a413.5等比数列an的公比 q0，已知 a21，an2an16an，则an的前 4 项和 S4_152【解析】an2an1anq2anq6an，q2q60，又 q0，q2，由 a2a1q1 得 a112，S412（124）12152.6设公比为 q(q0)的等比数列
11、an的前 n 项和为Sn，若 S23a22，S43a42，则 q_32【解析】解法一：S4S2a3a43a22a3a43a42，将 a3a2q，a4a2q2 代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化简得 2q2q30，解得 q32(q1 不合题意，舍去)解法二：设等比数列an的首项为 a1，由 S23a22，得 a1(1q)3a1q2.由 S43a42，得 a1(1q)(1q2)3a1q32.由得 a1q2(1q)3a1q(q21)q0，q32.7设数列an满足：a11，an13an，nN.(1)求an的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)已知bn是等差数列，Tn 为其前 n 项和，且
12、b1a2，b3a1a2a3，求 T20.【解析】(1)由题意知an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 an3n1，Sn13n13 12(3n1)(2)b1a23，b313913，b3b1102d，所以公差 d5，故 T202032019251 010.8设数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2anSn1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)在数列an的任意相邻两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列bn；an 和 an1 两项之间插入 n 个数，使这 n2 个数构成等差数列，求 b2 015的值；(3)对于(2)中的数列bn，若 bman，试求 b1b2b3bm.(用
13、n 表示)【解析】(1)当 n1 时，由 2a1S11a11，又 2an1Sn11，与 2anSn1 相减得 an12an，故数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 an2n1.(2)设 an 和 an1 两项之间插入 n 个数后，这 n2个数构成的等差数列的公差为 dn，则 dnan1ann1 2n1n1，又(12362)622 015，故 b2 015a63d6226226163125126261；(3)依题意，b1b2b3bm 3（a1a2）24（a2a3）25（a3a4）2（n1）（an1an）2(a2a3an1)123a15a27a3(2n1)an12nan，考虑到 an12an，令 M3a15a27a3(2n1)an，则 2M3a25a37a4(2n1)an1 2MM2(a1a2a3an)a1(2n1)an1M(2n1)2n1，所以 b1b2b3bm12M12nan(3n2)2n212.