1、第五章函 数 应 用1方程解的存在性及方程的近似解11利用函数性质判定方程解的存在性水平1 1函数f(x)x2的零点是(0，0).()2函数yf(x)在a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有唯一一个零点()3若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点()4若函数yf(x)在(a，b)上f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内一定没有零点()5若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)f(b)0()【解析】1.提示：.函数的零点不是点，是一个实数2提示：.在(a，b)内至少有一个零点34提
2、示：.如函数f(x)(x1)2在区间(0，2)上有f(0)f(2)0，但是在区间(0，2)上有零点1.5提示：.如函数f(x)(x1)2在区间(0，2)上只有零点1，但是f(0)f(2)0.题组一求函数零点、判断函数零点所在区间1函数f(x)3x2的零点为()Alog32 B3 C2 Dlog23【解析】选A.由f(x)3x20，得3x2，即xlog32.2函数f(x)log2x的零点所在的大致区间是()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】选C.由题意，f(2)10，所以f(2)f(3)0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.5方程log3
3、xx3的解所在的区间为()A(0，2) B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】选C.令f(x)log3xx3，则f(1)log311320，f(2)log3223log30，f(4)log3443log3120，则函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)，所以方程log3xx3的解所在的区间为(2，3).6函数f(x)ln xx2的零点所在的区间是()A B(1，2)C(e，3) D(2，e)【解析】选B.因为函数的定义域为(0，)，是单调增函数，又f(1)010，故有f(1)f(2)0，所以函数零点所在的区间是(1，2).题组二判断函数零点的个数1函数f(x)x的零点的个数为()A0
4、 B1 C2 D3【解析】选B.令f(x)0，则xx0，xx，画出yx，yx的图象如图所示，由图可知，yx，yx的图象有一个交点，即f(x)0有一个零点2函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4【解析】选B.易知函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数方程|log0.5x|的根的个数函数y1|log0.5x|与y2的图象的交点个数两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点3已知0a1，则函数ya|x|logax|的零点的个数为()A1 B2C3 D4【解析】选B.函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)
5、的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数画出函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2.4函数f(x)2xlg (x1)2的零点个数为()A4 B3C2 D1【解析】选D.方法一：因为f(0)10210，所以f(x)在(0，2)上必定存在零点又显然f(x)2xlg (x1)2在(1，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点方法二：如图，在同一坐标系中，作出
6、h(x)22x和g(x)lg (x1)的图象由图知，g(x)lg (x1)和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg (x1)2有且只有一个零点题组三由函数的零点求参数的取值范围1若函数f(x)x(aR)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是()A2 B0C1 D3【解析】选A.f(x)x(aR)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a2时，f(1)1210.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合2若关于x的函数f(x)x2(m2)x2m1在(0，1)内有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是_【解析】已知函数f(x)x2(m2)x2m1在区间
7、(0，1)内有且仅有一个零点，当0时，(m2)24(2m1)0，解得m62，若m62，方程的根为x2，舍去；当m62，方程的根为x2，符合题意；当0时，(m2)24(2m1)0，解得m62，由题可得f(0)f(1)0，所以(2m1)(1m22m1)0，解得m，又当f(0)0时，m，此时方程另一根为x，舍去；当f(1)0时，m，此时方程另一根为x，符合题意，综上所述：实数m的取值范围是m或m62.答案：m或m623若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_【解析】令|2x2|b0，得|2x2|b，由题意可知，函数y|2x2|与yb的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，
8、0b2.答案：(0，2)易错点一因“望文生义”而致误函数f(x)x23x2的零点是()A(1，0) B(2，0)C(1，0)，(2，0) D1，2【解析】选D.由f(x)x23x20得，x1和2.【易错误区】错误的原因是没有理解零点的概念，“望文生义”，认为零点就是一个点而函数的零点是一个实数，既是f(x)0成立的实数x，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标易错点二因忽略区间端点而致误已知二次函数f(x)x2(m1)x2m在0，1上有且只有一个零点，求实数m的取值范围是_【解析】(1)当方程x2(m1)x2m0在0，1上有两个相等实根时，(m1)28m0且01，此时无解 (2)当方程x2
9、(m1)x2m0有两个不相等的实根时，有且只有一根在0，1上时，当只有一个根在0，1上时，有f(0)f(1)0，即2m(m2)0，解得2m0.当f(0)0时，m0，f(x)x2x0，解得x10，x21，合题意当f(1)0时，m2，方程可化为x23x40，解得x11，x24，合题意综上所述，实数m的取值范围为2，0.答案：2，0【易错误区】错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：在0，1上有二重根；终点的函数值可能为0.所以在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化水平1、2限时30分钟分值60分战报得分_一、选择题(每小题5分
10、，共30分)1(多选)下列函数中，是奇函数且存在零点的是()Ayx3x Bylog2xCy2x23 Dyx|x|【解析】选AD.A中，yx3x为奇函数，且存在零点x0，与题意相符；B中，ylog2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y2x23为偶函数，与题意不符；D中，yx|x|是奇函数，且存在零点x0，与题意相符2函数f(x)2xlog2x3的零点所在区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】选B.因为函数f(x)2xlog2x3在定义域上为增函数又f(1)2log21310，所以f(1)f(2)2，令(2x2)ln (x2)0，因为2x20，可得ln (x2)0
11、，解得x3.所以函数的零点只有1个【易错警示】本题容易出现忽视定义域的错误，误认为零点个数为2.4(多选)函数f(x)|x24x|m恰好有两个不同零点，则m的值可以是()A5 B4 C2 D0【解析】选AD.由f(x)0可得m|x24x|，作出y|x24x|的函数图象如图所示：因为f(x)恰好有两个不同的零点，所以直线ym与y|x24x|的图象有两个不同的交点，所以m0或m4.【变式备选】已知函数f(x)=mx2+2x-1有且仅有一个正实数的零点,则实数m的取值范围是_.【解析】当m=0时,零点为x=,满足题意.当m0时,=4+4m0,解得m0或-1m0,设x1,x2是函数的两个零点,则x1+
12、x2=-,x1x2=-.若m=-1,函数只有一个零点1,满足题意;若-1m0,则x1,x2一正一负,满足题意.综上,实数m的取值范围是-10,+).答案:-10,+)5若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是()A1和 B1和C和 D和【解析】选B.因为函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，所以即所以g(x)6x25x1，所以g(x)的零点为1和.6(多选)已知函数f(x)，若函数g(x)f(x)m恰有2个零点，则实数m可以是()A1 B0 C1 D2【解析】选ABC.画出函数f(x)的图象，x1，)时，f(x)(x2)21.若函数g(x)f(x)m恰
13、有2个零点，则实数m1或m0.因此m可以为1，0，1.二、填空题(每小题5分，共20分)7函数f(x)log2x3xk的零点所在的区间是，则k的取值范围是_【解析】f(1)3k，f(2)19k10k，因为函数f(x)的零点所在的区间是，由零点存在定理可知f(1)f(2)(3k)(10k)0，解得3k10.答案：3k108已知函数f(x)3xx，g(x)log3x2，h(x)log3xx的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是_.【解析】画出函数y3x，ylog3x，yx，y2的图象，如图所示：观察图象可知，函数f(x)3xx，g(x)log3x2，h(x)log3xx的零点依次是点A，
14、B，C的横坐标，由图象可知abc.答案：abc9已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_【解析】函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示：由图可知，a1，解得a1答案：1，)作出函数f(x)的图象，如图所示：,yf(f(x)m)有四个零点，,所以f(x)2m，f(x)1m各有两个根，,所以blc(avs4alco1(12m4，,11m4，),解得3m1.答案：3，1) 10奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(
15、2)所示，函数f(g(x)，g(f(x)的零点个数分别为m，n，则mn_图(1)图(2)【解析】由题干中函数图象知f(1)0，f(0)0，g0，g(0)0，g(2)1，g(1)1，所以f(g(2)f(1)0，f(g(1)f(1)0，ff(0)0，f(g(0)f(0)0，所以f(g(x)有7个零点，即m7.又g(f(0)g(0)0，g(f(1)g(0)0，所以g(f(x)有3个零点，即n3.所以mn10.答案：10三、解答题11(10分)判断函数f(x)ln xx23的零点的个数【解析】由于f(1)ln 112320，所以f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1，2)上是不间断的
16、，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是单调递增的，所以零点只有一个【一题多解】(图象法)函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象如图：由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点，从而ln xx230只有一个根，即函数yln xx23只有一个零点已知aR，函数f(x)(1)求f(1)的值(2)求函数f(x)的零点【解析】(1)当x0时，f(x)1，所以f(1)10.(2)当x0时，f(x)1，函数无零点当x0时，令f(x)0，即10，解得x10.所以1是函数f(x)的一个零点当x0时，令f(x)0，即(a1)x10.(*)当a1时，由(*)得x0，所以是函数f(x)的一个零点；当a1时，方程(*)无解；当a1时，由(*)得x0(舍去).综上所述，当a1时，函数f(x)的零点是1和；当a1时，函数f(x)的零点是1.
