1、专题17 几类函数的对称中心及应用【方法点拨】1.三次函数的对称中心为(，)，其中，即，.记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程，分母中.2. 一次分式函数（或称双曲函数）的对称中心为.记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）.3. 指数复合型函数的对称中心为.记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.【典型题示例】例1 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .【答案】【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减令，则
2、为R上的单调递减的奇函数由得即因为为奇函数，故所以又在R上单减，所以，解之得所以实数的取值范围是.例2 （2021江苏镇江中学开学初）设是函数的导数，是的导数，若方程0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心设，数列的通项公式为，则 【解析】令得，对称中心为，所以对于任意恒成立因为，所以所以所以【巩固训练】1. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，则（ ）A、0 B、7 C、14 D、212. 函数y=的对称中心是 3. 已知函数（其中）图象关于点P(1，3)成中心对称，则不等式的解集是 4. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于
3、 三点，若点使，则的值为_.5. 已知函数的图象关于坐标原点对称，则实数的值为_.6. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .7.已知，则的值为 8.已知函数 =，若对，恒成立，则的取值范围是 【答案与提示】1.【答案】D【提示】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心. 函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.2.【答案】（4，-1）【解析】3.【答案】【解析】函数的对称中心为(1，a)，与P(1，3)比较得a3.此时，不等式，即，由序轴标根法即得解集为.4.【答案】1【提示】过定点（2,2）， 对于三次函数，令 得，又，所以也关于点（2,2）对称，所以，.5.【答案】16.【答案】【解析】的对称中心是，其定义域为R且单增（下略）.7.【答案】【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若，尝试去求的值，易得.【思路二】主动发现函数的对称性，设，则其对称中心为，则的对称中心也为，故.8.【答案】.
