1、山西省同煤二中联盟体2020届高三数学3月模拟考试试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合A,B，求交集即可.【详解】或，或，或故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的解法，交集运算，属于中档题.2.已知复数（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意可得，即，.故选B考点：复数的概念及运算.3.已知曲线：，直线：，则是直线与曲线相切的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由直线与曲
2、线相切，明确的取值，再结合充分必要性作出判断.【详解】解:，直线过定点，且曲线也过点.若直线与曲线相切，设切点横坐标为，则切线为，则，解之或，所以是直线与曲线相切的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查计算能力与转化能力，属于中档题.4.已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：考点：1数列求通项；2解三角形5.若，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由则，所以，又由三角函数的基本关系式，且，解得，所以，故选A.考点：三角函数的基本关系式及余弦的
3、倍角公式.6.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制大衍历中发明了一种二次不等距插值算法:若函数在处的函数值分别为，则在区间上可以用二次函数来近似代替:，其中.若令，请依据上述算法，估算的值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，利用，然后分别求出，进而代入，求出，最后即可求解的值【详解】设，则有，则，由，可得，答案选C【点睛】本题考查函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题7.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，所以的图像在点处的切线斜率因为切线
4、与直线垂直，所以，即，所以，所以，所以，故应选考点：1、导数的几何意义；2、裂项相消法8. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】A【解析】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=510，k=8，不
5、满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条件，故输出的k值为10，故选A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答9.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：如图，这是三棱锥的三视图，平面平面，尺寸见三视图，所以，所以故选B考点：三视图，表面积10.由这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）A. 180B. 196C. 210
6、D. 224【答案】C【解析】【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：当个位与百位数字为0，8时，当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案【详解】分两种情况：（1）个位与百位填入0与8，则有个；（2）个位与百位填入1与9，则有个.则共有个.故选：C【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用11.圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法
7、（如图1）：画一个等边三角形为圆心，边长为半径，作圆弧,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为，故选A.12.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设双曲线的右焦点为，由于，因此是的中点，由于是的中点，由双曲线的定义得，得，在，得，
8、故答案为A.考点：双曲线简单几何性质.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知向量，若向量在方向上的投影为3，则实数_【答案】【解析】【分析】由投影的定义列m的关系式，解出m即可【详解】根据投影的概念：；故答案为【点睛】本题考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度，是基础题14.已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，为坐标原点，则的面积是_.【答案】【解析】【分析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出A的坐标，又过M点进而求出直线AB的方程，与抛物线联立求出B的坐标，由面积公式求出三角形AOB的面积【详解】抛物
9、线的准线方程为，设，过点作准线的垂线，如图，由抛物线的定义可知，设直线的方程为，由，得，的面积.故答案为：【点睛】考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题15.若在的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中有理项的个数为_.【答案】4【解析】【分析】利用二项式系数的性质求得n的值，再根据二项展开式的通项公式求得有理项个数.【详解】因为的展开式中二项式系数的和为128，所以，即，所以的展开式的通项为，当时，为自然数，所以有理项的个数为4.故答案：4【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题16.若在有恒成立，则的取值范围为_【答案】【解
10、析】【分析】分离参数，转化为在上恒成立，利用导数求函数的最小值即可.【详解】恒成立即在上恒成立，令，则，在递增，在上递减，故在上，.故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，利用导数求函数的最小值，属于中档题.三、解答题（第17题第21题，每小12分，第22题10分，共6小题70分）17.已知分别为三个内角的对边，.（1）求；（2）若是的中点，求的面积.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边的关系化为角的关系，约去可得的三角函数式，上两角和的正弦公式化简后可求得；（2）已知为中点，因此设，在应用余弦定理得出的一个方程，在和中利用，即分别应用余
11、弦定理把这两个余弦用表示又得一个方程，联立后可解得，选用公式可求得面积试题解析：（1）由可得，即有，因为，.（2）设，则，由，可推出 ，因为，所以，由可推出 ，联立得，故，因此18.已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，确定单调性，进而确定最小值取法，代入即得最小值；（2）先分离得，再利用导数研究函数上单调性，进而确定最小值，即得实数的取值范围.试题解析：（1）函数的定义域为，在，所以当时，取最小值且为（2）问题等价于： 对恒成立，令，则，因为，所以，所以上单调递增
12、，所以，所以点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.19.如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形， ,.（）求证：平面平面；（）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.【答案】（）见解析; （）.【解析】【分析】（1）取AD中点O，连结OP，OB，可得OP，OPAD，OBAD，且OB可得OB2+OP29PB2，从而OP面ABCD，即面PAD面ABCD（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA面BD
13、Q时，PAEQ，所以Q是BC中点由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求解【详解】解：（1）取AD中点O，连结OP，OB，PAD是边长为2的正三角形，OP，OPAD，又ABAD，OBAD，且OB于是OB2+OP29PB2，从而OPOB所以OP面ABCD，而OP面PAD，所以面PAD面ABCD（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA面BDQ时，PAEQ，所以Q是BC中点由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0），C（2，0），D（1，0
14、，0），P（0，0，），Q（1，），设面BDQ的法向量为，由，取面ABD的法向量是，cos二面角ABDQ是钝角，二面角ABDQ的余弦值为20.已知椭圆C过点M（1，），两个焦点为A（1，0），B（1，0），O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点A（1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求BPQ面积的最大值【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）由已知中焦点坐标，可得c值，进而根据椭圆过M点，代入求出a，b可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及基本不等式，求出三角形面积的最大值【详解】（1）椭圆C的两个焦点为A（1，0），B（1，0），故c1，且椭圆的坐
15、标在x轴上设椭圆C的方程为：椭圆C过点M（1，），解得b23，或b2椭圆C的方程为：（2）设直线l的方程为：xky1，P（x1，y1），Q（x2，y2），则由得：（4+3k2）y26ky90则y1+y2，y1y2S2c|y1y2|令t，（t1）则S，y在1，+）上单调递增，故当t1时，y取最小值，此时S取最大值3，当t=1时取等号，即当k=0时，BPQ的面积最大值为3.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及椭圆内三角形面积的最值问题，其中“联立方程，设而不求，韦达定理”是常用步骤，综合运用了对勾函数的单调性求最值，属于中档题21.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个
16、社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、，己知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率
17、依次为、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值；（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.【详解】（1）依题，解得（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件，则；.故.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线
18、的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，求线段的最小值.【答案】（1）曲线普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1曲线消去参数t即可得普通方程，曲线利用sin=y，cos=x可得的直角坐标方程；（2）可设点，利用点到直线的距离公式及二次函数最值即可求解.【详解】（1）由，消去参数，得曲线的普通方程为.将代入到中，得，即曲线的直角坐标方程为.（2）因为是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，所以可设点，线段的最小值即点到直线的距离的最小值，所以，当时，即.【点睛】本题主要考查了曲线的参数方程， 极坐标方程，点到直线的距离，属于中档题.