1、专题01 单调性的几个等价命题【方法点拨】1. 函数f(x)为定义域在上的增函数对任意，当时,都有；2. 对任意，当时,都有函数f(x)kx为上的增函数说明：含有地位同等的两个变量x1 , x 2 或𝑞,𝑟等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.【典型题示例】例1 （2021江苏镇江八校12联考）已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(0,1)点，对任意，当时,都有，则不等式)的解集为( )A.(In2, +)B.(-,ln2)C.(In 2,1)D.
2、(0, ln 2)【答案】D【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将化为令，故在R上单增，且可化为即，所以，解之得所以不等式)的解集为(0, ln 2).点评：1. f(x)在单增（减）对任意，当时，都有 ；2. 结构联想，当题目中出现，应移项通分转化为，即F(x)=f(x)ax在单增.例2 (2021江苏南通如皋一抽测22改编)已知函数，对于任意，当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性.【解析】不等式可变形为，即，当，且恒成立，所以函数在上单调递减.令则在上恒成立，即在上恒成立. 设，则
3、.因为当时，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.例3 （2021江苏南通如皋期末12）已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则，的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】构造函数，则因为是定义在上的奇函数，故为定义域是 的偶函数又对任意两个不相等的正数都有，即，故在上为减函数.综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.又，且所以，即,故答案为：D.【巩固训练】1. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D2.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD3.若对x1，x2(m，)，且x1x2，都有1，则m
4、的最小值是()注：(e为自然对数的底数，即e2.718 28)A. Be C1 D.4.（2021江苏扬州中学高三数学开学考试8）已知函数，对任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD5. （2021江苏无锡天一12月八省联考热身卷8）已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A B C D6.设函数是定义在上的奇函数，若对任意两个不相等的正数都有，则不等式的解集为_.7.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是 【答案与提示】1. 【答案】B【解析】因为函数对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，所以.故选
5、B.2. 【答案】A【分析】令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.【解析】由且得：令，可知在上单调递增在上恒成立，即：令，则时，单调递减；时，单调递增 ，解得：本题正确选项：点评：本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.3.【答案】C【解析】由题意，当0mx1x2时，由1，等价于x1ln x2x2ln x1x2x1，即
6、x1ln x2x1x2ln x1x2，故x1(ln x21)x2(ln x11)，故，令f(x)，则f(x2)x1m0，故f(x)在(m，)上单调递减，又由f(x)，令f(x)1，故f(x)在(1，)上单调递减，故m1.4. 【答案】B【解析】因为，不妨设，则可化为，即设则恒成立，即对任意的，且时恒成立，即对任意的，且时恒成立所以在R上单增故在R上恒成立所以，故所以实数的取值范围是， 选B5. 【答案】B【解析】令，则，成立，则为单调增函数，若对任意的恒成立，则，即，即都有，令，则，故选B6.【答案】【解析】构造函数,则因为是定义在上的奇函数,故为定义域是 的偶函数,又对任意两个不相等的正数都有,即,故在上为减函数.又,故.综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.且.故即.根据函数性质解得，故答案为：.7.【答案】，【解析】设，则，令，在上单调递减，时，的取值范围是，故答案为：，
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