1、课时素养检测十三基本不等式的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知x,则y=有()A.最大值B.最小值C.最大值1D.最小值1【解析】选D.y=,因为x,所以x-20,所以2=1,当且仅当x-2=,即x=3时取等号,故y的最小值为1.2.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8B.4C.2D.0【解析】选A.由x+2y-xy=0,得+=1,且x0,y0.所以x+2y=(x+2y)=+44+4=8,当且仅当x=2y时等号成立.3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最
2、少)的是()A. 6.5 mB. 6.8 mC. 7 mD. 7.2 m【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,所以ab=4,l=a+b+2+=4+26.828(m).因为要求够用且浪费最少,所以选7 m最合理.4.若对任意x0,a恒成立,则a的取值范围是()A.aB.aC.a0,a恒成立,所以对x(0,+),a,而对x(0,+),=,当且仅当x=时等号成立,所以a.5.若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A.B.+1C.2D.a2+b28【解析】选D.4=a+b2(当且仅当a=b时,等号成立),即2,ab4,选项A,C不成立;+=1,选
3、项B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab8.6.若正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为()A.0B.1C.D.3【解析】选B.由已知得z=x2-3xy+4y2,(*)则=1,当且仅当x=2y时取等号,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,所以+-=+-=-+11.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知abc且+恒成立,则实数m的最大值为_.【解析】由题意得,a-b0,b-c0,a-c0,因为+,所以+m,即+m,又2+1+3+2(当且仅当a-b=(b-c)时取等号).所以实数m的最大值为3+2.答案:3+28.周长为+1的直角
4、三角形面积的最大值为_.【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b,则+1=a+b+2+,解得ab,当且仅当a=b=时取“=”,所以直角三角形面积S,即S的最大值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知ab0,求a2+的最小值.【解析】因为ab0,所以a-b0,a2+a2+=a2+2=4,当且仅当b=a-b,a2=2,ab0,即a=,b=时取等号,所以a2+的最小值是4.10.某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑,已知该品牌电脑的进价为3 000元/台,为节约资金决定分批购入,若每批都购入x(xN*)台,且每批需付运费300元,储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑
5、的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k),若每批购入20台,则全年需付运费和保管费7 800元.(1)记全年所付运费和保管费之和为y元,求y关于x的函数.(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少,则每批应购入电脑多少台?【解析】(1)由题意,得y=300+k3 000x.当x=20时,y=7 800,解得k=0.04.所以y=300+0.043 000x=300+120x(xN*).(2)由(1),得y=300+120x2=23 600=7 200.当且仅当=120x,即x=30时,等号成立.所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少,每批应购入电脑30台.(30分钟60分)一、选择题
6、(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知ab,则+b-a的最小值为()A.3B.2C.4D.1【解析】选A.因为a0,由基本不等式可得+b-a=1+(b-a)1+2=3,当且仅当=b-a(ba),即当b-a=1时,等号成立,因此,+b-a的最小值为3.2.已知a0,b0,+=,若不等式2a+b9m恒成立,则m的最大值为()A.8B.7C.6D.5【解析】选C.由已知,可得6=1,所以2a+b=6(2a+b)=66(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,所以9m54,即m6.3.(多选题)已知a,b(0,+),且a+b+=5,则a+b的()A.
7、最大值是3B.最大值是4C.最小值是2D.最小值是1【解析】选BD.因为a+b+=(a+b)=5,又a,b(0,+),所以a+b=,当且仅当a=b时,等号成立,即(a+b)2-5(a+b)+40,解得1a+b4.4.已知a0,b0,若不等式+恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.7【解析】选B.因为a0,b0,所以+=5+m,由a0,b0得,+2=4(当且仅当a=b时取“=”).所以5+9,所以m9.二、填空题(每小题5分,共20分)5.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为_.【解析】因为x2+2y22=2,当且仅当x=y时取“=”,所以x2+2y2的最小值为2.答
8、案:26.若点A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则+的最小值为_.【解析】因为点A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上,所以2m+n=1,所以+=+=4+8.答案:87.若a,bR,ab0,则的最小值为_.【解析】因为a,bR,ab0,所以=4ab+2=4,当且仅当即时取得等号.答案:48.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要_小时.【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则t=+2=8(小时),当且仅当=,即v=100时等号成立,此时t=8小
9、时.答案:8三、解答题(每小题10分,共20分)9.是否存在正实数a和b,同时满足下列条件:a+b=10;+=1(x0,y0)且x+y的最小值为18,若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由.【解析】因为+=1,所以x+y=(x+y)=a+b+a+b+2=(+)2,又x+y的最小值为18,所以(+)2=18.由得或故存在实数a=2,b=8或a=8,b=2满足条件.10.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AE=CE,ABAD,矩形的周长为8.(1)设AB=x,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范围.(2)计划在ADE区域涂上蓝色代表星空,如果要使ADE的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽.【解析】(1)由题意可得AD=4-x,且x4-x0,可得2x4,由CE=AE=x-DE,在直角三角形ADE中,可得AE2=AD2+DE2,即(x-DE)2=(4-x)2+DE2,化简可得DE=4-(2x4).(2)SADE=ADDE=(4-x)=22=12-8,当且仅当x=2,4-x=4-2,即队徽的长和宽分别为2,4-2时,ADE的面积取得最大值.