1、2015-2016学年安徽省池州市东至二中高二（下）5月段考数学试卷（理科）一选择题：（每小题5分，满分60分）1已知复数z满足=i（i为虚数单位），则z的值为（）AiBiC1D12函数y=（3x2）ex的递增区间为（）A（，0）B（3，1）C（，3）及（1，+）D（，1）及（3，+）3用数学归纳法证明1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）A1+2B1+3C1+3D1+24计算：C+C=（）A29B30C31D325将5名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（）A192种B216种C240种D360种6设函数f（x）=x3+sinx，（xR）若
2、当0时，不等式f（msin）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是（）A1，+）B（，1C（，1）D（，17下列说法正确的是（）A若ab，（a，bR），则a+2ib+2iB数列a1，a2，a3，a7中，恰好有5个a，2个b，（ab），则不同的数列共有23个C半径为r的圆的面积S=r2，则单位圆的面积S=，此推理是演绎推理D若=a，则f（1）=a8已知f（x）=x4x3+2x2+a在x=x1处取得极值2，则dt=（）A+BC+D +或+9已知命题：若数列an（an0）为等比数列，且am=a，an=b（mn，m，nN*），则am+n=；现已知等差数列bn，且bm=a，bn=b，（mn，m，nN
3、*）若类比上述结论，则可得到bm+n=（）ABCD10给出下列四个命题：xN*，C+C+C+C都是偶数；x=1为函数f（x）=xex的极大值点；若x，yR，且x+y2，则x，y中至少有一个大于1；复数（+i）2017的共轭复数是：i其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个11我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（）A18个B15个C12个D9个12函数f（x）是定义域为x|x0的奇函数，且f（1）=1，f（x）为f（x）的导函数，当x0时，f（x）+xf（x），则不等式xf（x）1+ln|x|的解集为（）A（，1）（
4、1，+）B（，1）C（1，+）D（1，1）二填空题：（每小题5分，满分20分）13已知复数z=（a1）+i，（aR）是纯虚数，则复数的模等于14观察下列不等式：1+，1+，1+按照此规律，第六个不等式为15无限循环小数可以化为有理数，如，请你归纳出=（表示成最简分数，n，mN*1612名同学站成前后两排，前排4人，后排8人，现要从后排8人中选2人站到前排，若其他同学的相对顺序不变，则不同的调整方法种数为种三解答题：（满分70分，写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17在数列中，主要是两大问题，一是：求数列的通项；二是：求和已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+an=2（1）写出a1，a2，
5、a3，a4的值（只写结果），并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法，证明你的猜想是正确的（这种求数列通项的方法，称之为数学归纳法）18已知函数f（x）=x+a（2lnx），（a0），讨论f（x）的单调性19设函数f（x）=，（aR，e为自然对数的底数） 若存在b0，1，使f（f（b）=b成立（1）证明：f（b）=b；（2）求a的最大值20已知函数f（x）=1cosx（0x）数列an满足：0a1，an+1=f（an），nN*（）求证：0an（nN*）；（）求证：数列an是递减数列21已知函数f（x）=lnxax2+x，其中a为常数，e为自然对数的底数（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；（2
6、）若函数g（x）=在区间（1，e）内有零点，求a的取值范围22已知函数f（x）=（）求f（x）的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，x1+x202015-2016学年安徽省池州市东至二中高二（下）5月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：（每小题5分，满分60分）1已知复数z满足=i（i为虚数单位），则z的值为（）AiBiC1D1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的四则运算，进行化简即可得到结论【解答】解：由=i得1+z=i（1z）=izi，即（1+i）z=i1，z=，故选：A2函数y=（3x2）ex的递增区间为（）A（，0）B（3，1）C（，3）
7、及（1，+）D（，1）及（3，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可【解答】解：y=2xex+（3x2）（ex）=ex（x22x3），令y0，解得：x3或x1，故f（x）在（，1）递增，在（3，+）也递增，故选：D3用数学归纳法证明1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）A1+2B1+3C1+3D1+2【考点】数学归纳法【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可【解答】解：用数学归纳法证明1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式为：1+2；故选D4计算：C+C=（）A29B30C31D32【考点】排列及排
8、列数公式【分析】由题意可得：，解得n，再利用组合数的计算公式即可得出【解答】解：由题意可得：，解得n=6原式=+=12+19=31故选：C5将5名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（）A192种B216种C240种D360种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】先排甲，两个女生可以交换位置，剩下的四个男生站在剩下的四个位置，有4！种排法，即可得出结论【解答】解：甲站好中间的位置，两名女生必须相邻，有四种选法，两个女生可以交换位置，剩下的四个男生站在剩下的四个位置，有4！种排法，所以：244！=192（种）故选：A6设函数f（x）=x3+sinx，（x
9、R）若当0时，不等式f（msin）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是（）A1，+）B（，1C（，1）D（，1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由函数f（x）=x3+sinx，利用函数f（x）的奇偶性与单调性不等式f（msin）+f（1m）0恒成立，转化为：msinm1，再利用0，0sin1，即可得出实数m的取值范围【解答】解：函数f（x）=x3+sinx，则f（x）=f（x），则函数f（x）是奇函数当0时，f（x）=3x2+cosx0，函数f（x）单调递增不等式f（msin）+f（1m）0恒成立，转化为：f（msin）f（1m）=f（m1），msinm1，m恒成立由0知，0s
10、in1，01sin1，1，m1实数m的取值范围是（，1故选：B7下列说法正确的是（）A若ab，（a，bR），则a+2ib+2iB数列a1，a2，a3，a7中，恰好有5个a，2个b，（ab），则不同的数列共有23个C半径为r的圆的面积S=r2，则单位圆的面积S=，此推理是演绎推理D若=a，则f（1）=a【考点】命题的真假判断与应用【分析】由两个虚数不能比较大小判断A；利用排列组合知识求出所有本题的排列数判断B；由“三段论”判断C；利用导数的定义判断D【解答】解：两个虚数不能比较大小，A错误；数列a1，a2，a7中，恰好有5个a，2个b，7个元素进行全排列共有A77种结果，在这些结果中有5个a，2
11、个b，这样前面的全排列就出现了重复，共重复了A55A22次，不同的排列共有=21种结果，故B错误；半径为r的圆的面积S=r2，则单位圆的面积S=，的大前提为：“半径为r的圆的面积S=r2”，小前提为：“单位圆的半径为1”，结论为：“单位圆的面积S=”，此推理是演绎推理，故C正确；由=a，得，即f（1）=a，故D错误故选：C8已知f（x）=x4x3+2x2+a在x=x1处取得极值2，则dt=（）A+BC+D +或+【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求函数的导数，确定函数取得极值的x，建立条件关系求出a，利用积分的几何意义即可求出结论【解答】解：函数的导数为f（x）=x34x2+4x=x（x2
12、4x+4）=x（x2）2，则当f（x）0，得x0，由f（x）0得x0，即当x=0时函数取得极小值，也是唯一的极值，f（x）在x=x1处取得极值2，x1=0，即f（0）=2，则f（0）=a=2，则dt=，设y=，则t2+y2=4，（0t1），则积分的几何意义为阴影部分的面积，则A（1，），则xOA=，yOA=，则阴影部分的面积S=，故选：C9已知命题：若数列an（an0）为等比数列，且am=a，an=b（mn，m，nN*），则am+n=；现已知等差数列bn，且bm=a，bn=b，（mn，m，nN*）若类比上述结论，则可得到bm+n=（）ABCD【考点】类比推理【分析】首先根据等差数列和等比数列的
13、性质进行类比，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的，等比数列中的am+n=可以类比等差数列中的，很快就能得到答案【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的，等比数列中的am+n=可以类比等差数列中的故bm+n=，故选：A10给出下列四个命题：xN*，C+C+C+C都是偶数；x=1为函数f（x）=xex的极大值点；若x，yR，且x+y2，则x，y中至少有一个大于1；复数（+i）2017的共轭复数是：i其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用二项式系数的性质判断；利用导数求出x=1为函数
14、的极小值点判断；由反证法说明正确；利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数（+i）2017的共轭复数判断【解答】解：对于、xN*，C+C+C+C=2n，都是偶数，故正确；对于、由f（x）=xex，得f（x）=ex+xex=ex（x+1），当x（，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0，x=1为函数f（x）=xex的极小值点，故错误；对于、假设x，y均小于等于1，则x+y2，与x+y2矛盾，故正确；对于、复数（+i）2017=，其共轭复数是：i，故正确正确命题的个数是3个故选：C11我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数
15、”共有（）A18个B15个C12个D9个【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】先设满足题意的“六合数”为，根据“六合数”的含义得a+b+c=4，于是满足条件的a，b，c可分四种情形，再对每一种情形求出种数，即可得出“六合数”中首位为2的“六合数”共有多少种【解答】解：设满足题意的“六合数”为，则a+b+c=4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情形：（1）一个为4，两个为0，共有3种；（2）一个为3，一个为1，一个为0，共有A=6种；（3）两个为2，一个为0，共有3种；（4）一个为2，两个为1，共有3种则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种故选B12函数f（x）是定义域为x|x0的奇
16、函数，且f（1）=1，f（x）为f（x）的导函数，当x0时，f（x）+xf（x），则不等式xf（x）1+ln|x|的解集为（）A（，1）（1，+）B（，1）C（1，+）D（1，1）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合【分析】通过g（x）=xf（x）ln|x|，为偶函数，且当x0时，g（x）0，即函数g（x）在区间（0，+）上为增函数，解不等式求出即可【解答】解：令g（x）=xf（x）ln|x|，则g（x）为偶函数，且当x0时，g（x）0，即函数g（x）在区间（0，+）上为增函数，不等式xf（x）1+ln|x|即为g（x）g（1），即有g（|x|）g（1），化为|x|1，解得：
17、x1或x1故选：A二填空题：（每小题5分，满分20分）13已知复数z=（a1）+i，（aR）是纯虚数，则复数的模等于【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】解法一：复数z=（a1）+i，（aR）是纯虚数，可得a1=0，解得a利用复数的运算法则化简复数，再利用模的计算公式即可得出解法二：复数z=（a1）+i，（aR）是纯虚数，可得a1=0，解得a代入复数，利用复数积的模的运算性质即可得出【解答】解：解法一：复数z=（a1）+i，（aR）是纯虚数，a1=0，解得a=1则复数=，则复数|=，解法二：复数z=（a1）+i，（aR）是纯虚数，a1=0，解得a=1则复数=，则复数|=，故答案为：14观察下列
18、不等式：1+，1+，1+按照此规律，第六个不等式为1+【考点】归纳推理【分析】将所给的不等式的右边进行变形，按此规律写出第六个不等式即可【解答】解：有题意可得：1+=，1+=，1+=，所以第六个不等式为：1+=，即1+，故答案为：1+15无限循环小数可以化为有理数，如，请你归纳出=（表示成最简分数，n，mN*【考点】类比推理；数列的求和【分析】由题意， =0.017+0.00017+0.0000017+，利用等比数列的求和公式，取极限，即可得到结论【解答】解：由题意， =0.017+0.00017+0.0000017+=当n+时， =故答案为：1612名同学站成前后两排，前排4人，后排8人，现
19、要从后排8人中选2人站到前排，若其他同学的相对顺序不变，则不同的调整方法种数为840种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】先从后排的8人中抽2人，再把抽出的2人插入前排，其他人的相对顺序不变，利用乘法原理可得结论【解答】解：从后排的8人中抽2人有种方法，把抽出的2人插入前排，其他人的相对顺序不变有种方法，故共有=840种不同调整方法故答案为：840三解答题：（满分70分，写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17在数列中，主要是两大问题，一是：求数列的通项；二是：求和已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+an=2（1）写出a1，a2，a3，a4的值（只写结果），并猜想an的通项公式；（2
20、）用数学归纳法，证明你的猜想是正确的（这种求数列通项的方法，称之为数学归纳法）【考点】数学归纳法【分析】（1）由Sn+an=2（nN*），分别令n=1，2，3，4，即可得出a1，a2，a3，a4猜想an=，（2）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【解答】解：（1）Sn+an=2，S1+a1=2，a1=，同理可得a2=，a3=，a4=，猜想an=，（2）下面用数学归纳法证明（i）当n=1时，a1=成立；（ii）假设当n=k时，猜想成立，即ak=，那么当n=k+1时，ak+1=Sk+1Sk=ak+1+2+ak2+，2ak+1=ak+=+=，ak+1=，当n=k
21、+1时猜想成立，由（i），（ii）可知，对nN*，an=18已知函数f（x）=x+a（2lnx），（a0），讨论f（x）的单调性【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，设g（x）=x2ax+2，二次方程g（x）=0的判别式=a28，然后讨论的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间【解答】解：f（x）的定义域是（0，+），设g（x）=x2ax+2，二次方程g（x）=0的判别式=a28当=a280，即时，对一切x0都有f（x）0，此时f（x）在（0，+）上是增函数当=a28=0，即时，仅对有f（x）=0，对其余的x0都有f（x）0，此时f（x）在
22、（0，+）上也是增函数 当=a280，即时，方程g（x）=0有两个不同的实根，0x1x2x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+0_0+f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增此时f（x）在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增19设函数f（x）=，（aR，e为自然对数的底数） 若存在b0，1，使f（f（b）=b成立（1）证明：f（b）=b；（2）求a的最大值【考点】函数的最值及其几何意义【分析】（1）利用反证法，即可证明（2）根据题意，问题转化为“存在b0，1，使f（b）=f1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b0，1由y=f（
23、x）的图象与y=f1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b0，1因此，将方程化简整理得ex=x2x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围【解答】解：（1）假设f（b）b，则f（b）b或f（b）b，f（x）=，（aR，e为自然对数的底数）在其定义域为增函数，f（f（b）f（b）或f（f（b）b，这与f（f（b）=b成立相矛盾，故假设不成立，f（b）=b；（2）由f（f（b）=b，可得f（b）=f1（b）其中f1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b0，1使f（f（b）
24、=b成立”，转化为“存在b0，1，使f（b）=f1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b0，1，y=f（x）的图象与y=f1（x）的图象关于直线y=x对称，y=f（x）的图象与函数y=f1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b0，1，根据=x，化简整理得ex=x2x+a记F（x）=ex，G（x）=x2x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，可得，即，解之得1ae即实数a的取值范围为1，e故选：A20已知函数f（x）=1cosx（0x）数列an满足：0a1，an+1=f（an），nN*（）求证：
25、0an（nN*）；（）求证：数列an是递减数列【考点】数列递推式；数列的函数特性【分析】（）利用数学归纳法即可证明：0an（nN*）；（）构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明数列an是递减数列【解答】解：（）当n=1时，显然成立，假设n=k时，0ak，则cosak（0，1），ak+1=1cosak（0，1），当n=k+1时，原不等式成立，由可知0an（nN*）；（）要证数列an是递减数列，即证an+1an，即证f（an）an，即1cosanan，令g（x）=x+cosx1，0x，g（x）=1sinx0，g（x）=x+cosx1在0x上单调递增，当x0时，g（x）g（0）=0，即x1co
26、sx，0x，1cosanan，即数列an是递减数列21已知函数f（x）=lnxax2+x，其中a为常数，e为自然对数的底数（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；（2）若函数g（x）=在区间（1，e）内有零点，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）当a=1时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最值；（2）若函数g（x）=在区间（1，e）内有零点，可得函数f（x）=lnxax2+x在区间（1，e）内有零点，令f（x）=0，可得a=+，构造函数，求导数，确定单调性，即可求a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lnxx2+
27、x，f（x）=，0x1时，f（x）0，函数单调递增；x1时，f（x）0，函数单调递减，x=1时，函数f（x）取得极大值，也是最大值f（1）=0，无最小值；（2）函数g（x）=在区间（1，e）内有零点，可得函数f（x）=lnxax2+x在区间（1，e）内有零点，令f（x）=0，可得a=+，令h（x）=+，则h（x）=，在区间（1，e）内h（x）=0，函数单调递增，h（1）=1，h（e）=，1h（x），1a22已知函数f（x）=（）求f（x）的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，x1+x20【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【分析】（）利用导数的运算法则求出
28、f（x），分别解出f（x）0与f（x）0的x取值范围即可得到单调区间；（）当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，不妨设x1x2由（I）可知：x1（，0），x2（0，1）利用导数先证明：x（0，1），f（x）f（x）而x2（0，1），可得f（x2）f（x2）即f（x1）f（x2）由于x1，x2（，0），f（x）在（，0）上单调递增，因此得证【解答】解：（）易知函数的定义域为R=，当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0函数f（x）的单调递增区间为（，0），单调递减区间为（0，+）（）当x1时，由于，ex0，得到f（x）0；同理，当x1时，f（x）0当f（x1）=f（x2）（x1x2）时，不妨设x1x2由（）可知：x1（，0），x2（0，1）下面证明：x（0，1），f（x）f（x），即证此不等式等价于令g（x）=，则g（x）=xex（e2x1）当x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）g（0）=0即x（0，1），f（x）f（x）而x2（0，1），f（x2）f（x2）从而，f（x1）f（x2）由于x1，x2（，0），f（x）在（，0）上单调递增，x1x2，即x1+x202016年11月18日