1、第五章 数列 第32讲 数列的概念与通项公式【学习目标】1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数3会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项4会用数列的递推关系求其通项公式【基础检测】1已知数列an满足 an111an，若 a112，则a2 015()A.12 B2 C1 D1【解析】由 a112，an111an得 a211a12，a311a21，a411a312，a511a42，于是a3n112，a3n22，a3n31，因此 a2 015a367122，故选 B.B2已知数列an的前 n 项和 Sn 满足：SnSmSnm，且 a1
2、1，那么 a10()A1 B9C10 D55【解析】根据题意，在 SnSmSnm 中，令 n1，m9 可得：S1S9S10，即 S10S9S1a11，又a10S10S9，即 a101，故选 A.A3 已 知 数 列 an 的 通 项 公 式 an 1n（n3）(nN*)，那么 1130是这个数列的第_项【解析】令 an 1130，即1n（n3）113011013，得 n10.104数列an的通项公式是 ann2kn2，若对所有的 nN*，都有 an1an 成立，则实数 k 的取值范围是_【解析】an1an，即(n1)2k(n1)2n2kn2，则 k(2n1)对所有的 nN*都成立，而当n1 时
3、，(2n1)取得最大值3，所以 k3.(3，)【知识要点】1数列的定义按照_排列着的一列数称为数列；数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数_按项数分类无穷数列项数_递增数列an1_an 递减数列 an1_an 按项与项间的大小关系分类常数列an1an其中nN有界数列存在正数 M，使|an|M 按其他标准分类摆动数列an 的符号正负相间，如 1，1，1，1，一定的顺序有限无限6(nN*)时，an0.令 n2n300，解得 0n6.当 0n6(nN*)时，an0.(3)由 ann2n30n1223014nN*，知an是递增数列，且 a1a2a5a60a7a8a
4、91)【解析】(1)当 n1 时，a1S15，当 n2 时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1.15,1,2 3,2.nnnan (2)解法一：当 n2 时，anSnSn1（n1）an2nan12，即ann an1n1(n2)所以ann 是首项为a11 1的常数数列，所以ann 1，即 ann(nN*)解法二：同上，得(n1)annan1.同理得 nan1(n1)an，所以 2nann(an1an1)，即 2anan1an1，所以an成等差数列 又由 a11，得 a2S2a1，得 a22，得 an1(n1)n(nN*)解法三：同上，得 anan1 nn1(n2)，所 以 an ana
5、n1 an1an2an2an3 a3a2 a2a1 a1nn1n1n232211n，当 n1 时 a11，也满足 ann，所以 ann(nN*)(3)a11，且 ana112a213a3 1n1an1(n1)a2a11，an1a112a213a3 1n1an11nan(n1)an1an1nan(n2)an1n1n an，an1n1ann(n2)ann an1n1a22 12，ann2(n2)1(1)(2).2nnan n【点评】本题的关键是应用1(1)1(3)nnnS naSSn.求数列的通项要特别注意验证 a1 的值是否满足“n2”的一般性通项公式四、数列通项的应用例4数列an的前 n 项和
6、为 Sn，a11，an12Sn1，等差数列bn满足 b33，b59.(1)分别求数列an，bn的通项公式；(2)若对任意的 nN*，Sn12 kbn 恒成立，求实数 k 的取值范围【解析】(1)由 an12Sn1 得 an2Sn11(n2)得 an1an2(SnSn1)，an13an，an3n1；b5b32d6，d3，bn3(n3)33n6.(2)Sna1（1qn）1q13n13 3n12，3n1212 k3n6 对任意 nN*恒成立，即 k2（3n6）3n对任意 nN*恒成立，令 cn3n63n，cncn13n63n3n93n1 2n73n1，当 n3 时，cncn1，当 n4 时，cn0，
7、n10.又 nN*，2.5已知数列an满足 a11，an1 anan2(nN*)若bn1(n)1an1，b1，且数列bn是递增数列，则实数 的取值范围为()A 2 B 3C 2 D 3A【解析】依题意，得 a2 015a450410，a2 018a21 009a1 009a425331.6已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，则 a2 015_；a2 018_01【解析】(1)因为 an2Sn13，a13，则 a22S132a139，a32S232(a1a2)327，a42S332(a1a2a3)381.(2)由题知 an2Sn13(n2，nN*)，an12Sn3(nN
8、*)，得 an1an2(SnSn1)2an，即 an13an(n2，nN*)因为 a23a1 也满足式，即 an13an(nN*)，所以an是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an3n(nN*)7已知数列an的前 n 项和为 Sn，a13 且满足an2Sn13，n2，nN*.(1)求 a2，a3，a4；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)当 n1 时，a1S13；当 n2 时，anSnSn1(n22n)(n1)22(n1)2n1.又 n1 时，2113 成立，所以 an2n1(nN*)(2)bn2n(an12)2n(2n11)，1112(211)2(29)12(211)2(213)3.5,4.5nnnnnnnnbbnnbbnnnn 由 所以 3.5n4.5，所以 n4，所以最小项为 b448.8已知数列an的前 n 项和 Snn22n(nN*)(1)求通项 an；(2)若 bn2n(an12)(nN*)，求数列bn的最小项