1、第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【考纲下载】1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类方案在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有Nmn种不同的方法完成这件事共有Nmn种不同的方法1选用分类加法计数原理的条件是什么？提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理2选用分步乘法计数原理的条件是
2、什么？提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理1某班班干部有5名男生、4名女生，从9人中选1人参加某项活动，则不同选法的种数为()A9 B5 C4 D72解析：选A分两类：一类从男生中选1人，有5种方法；另一类是从女生中选1人，共有4种方法因此，共有549种不同的选法2一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()A182 B14 C48 D91解析：选C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6848.3某电话局的电话号码为139，若前六位固定，最后五
3、位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A20 B25 C32 D60解析：选C依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为2532.4. 如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为()A6,8 B6,6 C5,2 D6,2解析：选A从甲地经乙地到丙地，分两步：第1步，从甲地到乙地，有3条公路；第2步，从乙地到丙地，有2条公路根据分步乘法计数原理，共有326种走法从甲地到丙地，分两类：第1类，从甲地经乙
4、地到丙地，有6种走法；第2类，从甲地不经过乙地到丙地，有2条水路，即有2种走法根据分类加法计数原理，共有628种走法5计划在四个体育馆举办排球、篮球、足球三个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有_种解析：每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，根据分步乘法计数原理，共有4364种安排方案，其中三个项目的比赛都安排在同一个体育馆进行的4种安排方案不符合题意，所以在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有64460种答案：60考点一分类加法计数原理例1(1)若x，yN*，且xy6，则有序自然数对(x，y)共有_个(2)
5、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_自主解答(1)因为x，yN*，且xy6.所以当x1时，y有5个不同的值；当x2时，y有4个不同的值；当x3时，y有3个不同的值；当x4时，y有2个不同的值；当x5时，y有1个不同的值由分类加法计数原理知，共有5432115个符合条件的有序自然数对(2)当个位数为2时，十位数只能取1；当个位数为3时，十位数有2种取法；当个位数取4时，十位数有3种取法；当个位数为9时，十位数有8种取法依分类加法计数原理知：共有12836个符合条件的两位数答案(1)15(2)36【互动探究】本例(2)中的条件不变，求个位数字小于十位数字的两位数且为偶数的个数解
6、：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个；当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个同理可知；当个位数字是2时，共7个；当个位数字是0时，共9个由分类加法计数原理知，共有1357925个符合条件的两位数 【方法规律】1分类加法计数原理的特点(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类2使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则1从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数
7、列的个数为()A3 B4 C6 D8解析：选D法一：公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8；公比为3时，等比数列可为1,3,9；公比为时，等比数列可为4,6,9，又4,2,1和8,4,2；9,3,1；9,6,4也是等比数列，所以共8个法二：当q1时，分别以1,2,4为首项的有1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.当0qm，n有6种选择；第2类：m2时，使nm，n有5种选择；第3类：m3时，使nm，n有4种选择；第4类：m4时，使nm，n有3种选择；第5类：m5时，使nm，n有2种选择由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个答案：20考点二分步乘法计数原理 例2已知集合M3
8、，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则(1)P可表示平面上_个不同的点(2)P可表示平面上_个第二象限的点自主解答(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第1步，确定a的值，共有6种确定方法；第2步，确定b的值，也有6种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6636.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第1步，确定a，由于a0，所以有2种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是326.答案(1)36(2)6【方法规律】利用分步乘法计数原理解决问题时要注意(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序(2)各步中的方法互相依存，
9、缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件(3)对完成各步的方法数要准确确定1从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)解析：一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有33218个二次函数若二次函数为偶函数，则b0，同上可知共有326个偶函数答案：1862. 如图所示，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能情况共有_
10、种解析：电路不通可能是一个或多个焊接点脱落，问题比较复杂但电路通的情况却只有一种，即各焊接点全未脱落因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26163种可能情况答案：63高频考点考点三 两个计数原理的综合应用 1两个计数原理的应用，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对两个计数原理的考查主要有以下几个命题角度：(1)与数字有关的问题；(2)涂色问题例3(1)(2013福建高考)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13 C12 D1
11、0(2)(2014烟台模拟)如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则涂色方法共有_种自主解答(1)当a0时，关于x的方程为2xb0，此时有序数对(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a0时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)综上，共有13个满足要求的有序数对(2)因为区域1与其他4个区域都相邻，首先考虑区域1，有4种涂法，然后再按区域2,4同色和不同色，分为两类：第1类，区域2,4同色
12、，有3种涂法，此时区域3,5均有2种涂法，共有432248种涂法；第2类，区域2,4不同色，先涂区域2，有3种方法，再涂区域4，有2种方法，此时区域3,5都只有1种涂法，共有4321124种涂法根据分类加法计数原理，共有482472种满足条件的涂色方法答案(1)B(2)72与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的问题可分类解决，每类中又可分步完成；也可以直接分步解决；(2)涂色问题可按颜色的种数分类完成；也可以按不同的区域分步完成1(2014遵义模拟)某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同
13、一个部门则不同的分配方案有()A36种 B38种 C108种 D114种解析：选A分两步完成，第一步分组有CCC种方法；第二步分配到两个部门有A种方法由分步乘法原理得：共有CCCA36种分配方案2如图所示，将四棱锥S ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法共有_种(以数字作答)解析：由题设，四棱锥S ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有54360种染色方法当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2
14、种染法可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故有607420种不同的染色方法答案：420课堂归纳通法领悟2个区别两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事它是独立的、一次的且每次得到的是最后的结果，只需一种方法就完成每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的，并列的，独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏3个注意点利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这
15、件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；(3)复杂问题一般是先分类再分步 数学思想(十二)计数原理中的分类讨论由于计数原理一个是分类计数原理，一个是分步计数原理，解决与计数原理有关问题时，要分清两个原理的区别，一般要考虑问题有几种情况，即分类；考虑每种情况有几个步骤，即分步要求既要合理分类，又要合理分步典例(2013山东高考)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279解题指导排三位数可分步来完成，但要注意有重复数字这一条
16、件解析十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第1步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)；第2步，排十位数字，有9种方法；第3步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有998648个没有重复数字的三位数可以组成所有三位数的个数：91010900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900648252.答案B题后悟道1.本题主要考查两个计数原理，注意到有重复数字三位数这一条件是解题的关键2对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点同时注意分类的全面与到位，不要出现重复或遗漏的现象已知a，b0,1,2，9，若满足|ab|1，则称a，b“心有灵犀”则a，b“心有灵犀”的情形的种数为()
17、A9 B16 C20 D28解析：选D当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数；当a为其他数时，b都可以取3个数故共有28种情形全盘巩固1将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A2 160 B720 C240 D120解析：选B分步来完成此事第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有1098720种分法2a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是()A20 B16 C10 D6解析：选B当a当组长时，则共有144种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有
18、4312种选法因此共有41216种选法3. (2014汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同涂法的种数为()A400 B460 C480 D496解析：选C从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，则有654(13)480种不同涂法4集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9 B14 C15 D21解析：选BPx,1，Qy,1,2，且PQ，xy,1,2当x2时，y3,4,5,6,7,8,9，共有7
19、种情况；当xy时，x3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况共有7714种情况即这样的点的个数为14.5(2014济南调研)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16 C13 D10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定8513个不同的平面6(2014杭州模拟)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面
20、组”的个数是()A60 B48 C36 D24解析：选B长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6636，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6212，故符合条件的“平行线面组”的个数是361248.7在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足ab，且a，b都是集合1,2,3,4,5,6中的元素，又点P到原点的距离|OP|5.则这样的点P的个数为_解析：依题意可知：当a1时，b5,6两种情况；当a2时，b5,6两种情况；当a3时，b4,5,6三种情况；当a4时，b3,4,5,6四种情况；当a5或6，b各有6种情况所以共有22346623种情况答案：238集合Na，b，c
21、5，4，2,1,4，若关于x的不等式ax2bxc0恒有实数解，则满足条件的集合N的个数是_解析：依题意知，最多有10个集合N，其中对于不等式ax2bxc0，且b24ac0，因此只有当a，c同号时才有可能，共有2种情况，因此满足条件的集合N的个数是1028.答案：89将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i1，2，6)，若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法有_种(用数字作答)解析：分两步：第1步，先排a1，a3，a5，若a12，有2种排法；若a13，有2种排法；若a14，有1种排法，所以共有5种排法；第2步，再排a2，a4，a6，共有6种排法，故有5630种
22、不同的排列方法答案：3010有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有36729种不同的报名方法(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有654120种不同的报名方法(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都
23、可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得共有63216种不同的报名方法11某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？解：用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法第1类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6，分6步完成这件事，共有33221136种不同的播放方式第2类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有33221136种不同的播放方式第3类：宣传广告与公益广告的播
24、放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有33221136种不同的播放方式由分类加法计数原理得：6个广告共有363636108种不同的播放方式12. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种(用数字作答)解：法一：从题意来看，6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求解(1)2与5同色，则3,6也同色或4,6也同色，所以共有4322148种栽种方法；(2)3与5同色，则2,4或4,6同色，所以共有4322148种栽种方法；(3)2与4且3与6同色，
25、所以共有432124种栽种方法所以共有484824120种栽种方法法二：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1,2,3有432种不同的栽法，不妨设1,2,3已分别栽种A，B，C，则4,5,6的栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见根据分步乘法计数原理，共有4325120种不同的栽种方法冲击名校1设集合I1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法的种数为()A50 B49 C48 D47解析：选B根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A，B中没有相同的元素，且都不是空集，按A中元素分情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加即可第1类，当A
26、中最大的数是1时，A是1，B可以是2,3,4,5的非空子集，即有24115种选法；第2类，当A中最大的数是2时，A可以是2或1,2，B可以是3,4,5的非空子集，即有2(231)14种选法；第3类，当A中最大的数是3时，A可以是3，1,3，2,3，1,2,3，B可以是4,5的非空子集，即有4(221)12种选法；第4类，当A中最大的数是4时，A可以是4，1,4，2,4，3,4，1,2,4，1,3,4，2,3,4，1,2,3,4，B是5，即有818种选法综上可知，共有151412849种不同的选择方法2若m，n均为非负整数，在做mn的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而mn称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数为_解析：第1步，110，或101，共2种组合方式；第2步，909，或918，或927，或936，或990，共10种组合方式；第3步，404，或413，或422，或431，或440，共5种组合方式；第4步，202，或211，或220，共3种组合方式根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为21053300.答案：300