1、3.5.2简单线性规划1体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用，会求解简单的线性规划问题2经历在线性约束条件下求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程，提高用线性规划解决实际问题的能力线性规划中的基本概念名称定义目标函数要求_的函数，叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的_线性目标函数如果目标函数是_，则称为线性目标函数线性约束条件如果约束条件是_，则称为线性约束条件线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的_问题，称为线性规划问题最优解使目标函数达到_的点的_，称为问题的最优解可行解满足线性约束条件的_，叫做可行解可行域由所有_组成的集合叫做可行域简单线性规划应用问题
2、的求解步骤：(1)设：设出变量x，y，写出约束条件及目标函数(2)作：作出可行域(3)移：作一组平行直线l，平移l，找最优解(4)解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值(5)答：写出答案总之：求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值【做一做1】如果实数x，y满足条件那么2xy的最大值为()A2 B1 C2 D3【做一做2】配制A，B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)：药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元、200元现有原料甲20千克，原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为_百元一、图解法求最值的实质剖析：设目标
3、函数为zAxByC(AB0)，由zAxByC得yx.这样，二元一次函数就可以视为斜率为，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行线于是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题当B0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小(1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误二、常见的线性规划问题类型剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在
4、人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务(2)线性规划问题的常见类型有：物资调运问题例如已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？产品安排问题例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排
5、产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？下料问题例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？题型一 求线性目标函数的最值问题【例1】设z2y2x4，式子中x，y满足条件试求z的最大值和最小值分析：作出线性约束条件下的可行域，然后作出与直线2y2x0平行的直线，通过平移直线，在可行域内求出最大值和最小值反思：求目标函数zaxbyc(ab0，c0)的最值，与求目标函数zaxby(ab0)的最值的方法是一样的，因为在zaxbyc中，c为非零常数，故仍可设taxby，只要求出taxby的最值，则zaxbyc的最值即可求得，在本题中，通过平移直线，得到y轴上的截距的最值，也就得到了t的
6、最值题型二 求非线性目标函数的最值问题【例2】已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范围分析：(1)中zx2y210y25(x0)2(y5)2的几何意义为平面区域内的点(x，y)到(0,5)的距离的平方；(2)z2的几何意义为平面区域内的点(x，y)与(1，)连线斜率的2倍关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合知识求解反思：(1)对形如z(xa)2(yb)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题(2)对形如z(ac0)型的目标函数，可先变形为z的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与(，)连线斜率的倍的范围、最
7、值等，注意斜率不存在的情况题型三 简单的线性规划问题【例3】某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之先作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值题型四 最优整数解的问题【例4】电视台为某个广告公司特约播放两套片集其中片集甲每集播放时间为21
8、分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每集播放时间为11分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为20万广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(包含广告时间)电视台每周应播放两套片集各多少集，才能获得最高的收视率？分析：设每周片集甲播放x集，片集乙播放y集，它们每集的广告时间都是1分钟，则xy不少于6分钟我们还应注意到片集一共的播放时间里要包括广告时间，不超过86分钟反思：如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图，打好网格的办法
9、求得题型 五易错辨析【例5】已知二次函数f(x)ax2bx(a0)满足1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的范围是()A3,12 B(3,12)C(5,10) D5,10错解：由于f(2)4a2b，要求f(2)的范围，可先求a与b的范围由f(1)ab，f(1)ab，得两式相加得a3，又2ba1.式与式相加得0b.64a12，32b0.34a2b12.即3f(2)12.故选A.错因分析：这种解法看似正确，实则使f(2)的范围扩大了事实上，这里f(2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a且b时才能使4a2b3，而此时ab0，不满足式同理可验证4a2b也不能等于12.
10、出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了1目标函数z3xy，将其看成直线方程时，z的意义是()A该直线的截距 B该直线的纵截距C该直线纵截距的相反数 D该直线的横截距2设变量x，y满足约束条件则目标函数z2xy的最小值为()A2 B3C4 D93设E为平面上以三点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界)，则z4x3y，(x，y)E的最大值与最小值分别为()A14，18 B14，18C18,14 D18，144已知变量x，y满足则
11、z3xy的最大值是_5已知变量x，y满足约束条件1xy4，2xy2.若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_答案：基础知识梳理最大值或最小值不等式组关于变量的一次函数关于变量的一次不等式(或等式)最大值或最小值最大值或最小值坐标解可行解【做一做1】B作出可行域，可知当直线z2xy过点(0，1)时，z最大【做一做2】8设药剂A，B分别配x剂、y剂，则作出可行域如图阴影部分所示令z0得直线x2y0，平移此直线过点M时z最大，由得M(，)，调整得最优解(2,3)，zmax2238(百元)典型例题领悟【例1】解：作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所
12、示)，即可行域将z2y2x4变形为yxz2，这是斜率为1，随z变化的一组平行直线(如图所示)(z2)是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最大当然，直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z2y2x4取得最大值；当直线截距最小时，z的值最小，即在满足约束条件时目标函数z2y2x4取得最小值由图可知，当直线z2y2x4经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大解方程组得A点的坐标为(0,2)所以zmax2y2x4222048.当直线z2y2x4经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小解方程组得B点的坐标为(1,1)所以zmin2y2x4212144.【例2】解：作出可行域，如图阴影部
13、分所示可求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)(1)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作MNAC于N，则|MN|.所以|MN|2，所以zx2y210y25的最小值为.(2)z2表示可行域内点(x，y)与定点Q(1，)连线斜率的2倍kQA，kQB，故z的取值范围是，【例3】解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米食y(百克)，所需费用为z0.5x0.4y，且x，y满足作出可行域，如下图阴影部分所示令z0，作直线l0：0.5x0.4y0，即直线5x4y0.由图形可知，把直线l0平移至过点A时，z取最小值由得A(，)答：每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科
14、学又费用最少【例4】解：设每周片集甲播放x集，片集乙播放y集，则有要使收视率最高，则只要z60x20y最大即可，由图可知，当直线60x20y0经过点A时，z取得最大值由得所以当x2，y4时，z60x20y取得最大值200万故电视台每周片集甲和片集乙分别播放2集和4集，其收视率最高【例5】正解：解法一：f(2)4a2b2f(1)f(1)f(1)f(1)3f(1)f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10，故选D.解法二：数形结合法在坐标平面aOb上，作出直线ab2，ab4，ab1，ab2，则表示平面上的阴影部分(包括边界)，如下图阴影部分所示令m4a2b，则b2a.显然m为直线系4a2b
15、m在b轴上截距2倍的相反数当直线b2a过阴影部分中点A(，)时，m取最小值5；过点C(3,1)时，m取最大值10.f(2)5,10，故选D.随堂练习巩固1C由目标函数z3xy，得y3xz.令x0，得yz.也就是说，z表示该直线纵截距的相反数，故选C.2B作出平面区域如下图阴影部分所示，z表示直线z2xy在y轴的截距，z的最小值为过点A(1,1)的直线，此时z2113.3A当动直线z4x3y通过点B时，z取最大值，通过点C时，z取最小值，即zmax4(1)3(6)14，zmin4(3)3218.4165(1，)变量x，y满足约束条件1xy4，2xy2.在直角坐标系中画出可行域如图阴影部分所示，得四边形ABCD，其中A(3,1)，kAD1，kAB1，目标函数zaxy(其中a0)中的z表示斜率为a的直线截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB1，即a1，即a1，所以a的取值范围为(1，)