2022年高考数学一轮复习 考点规范练33 基本不等式及其应用（含解析）新人教A版（文）.docx

1、考点规范练33基本不等式及其应用基础巩固1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14lg x(x0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)答案:C解析:因为x0,所以x2+142x12=x,所以lgx2+14lgx(x0),故选项A不正确;当xk,kZ时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,1x2+1=1,故选项D不正确.2.已知a0,b0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=

2、a+1b=2a,故m+n=2(a+b)4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()A.avabB.v=abC.abva+b2D.v=a+b2答案:A解析:设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为sa+sb,从而v=2ssa+sb=2aba+b.0ab,ab2ab2b=a,2a+b1ab,即2aba+bab,av0,b0)对称,则1a+4b的最小值为()A.8B.9C.16D.18答案:B解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+

3、ba+4ab5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.43B.53C.2D.54答案:C解析:由x0,y0,得4x2+9y2+3xy2(2x)(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy30,即xy2,故xy的最大值为2.6.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+)C.(-2,4)D.(-4,2)答案:D解析:因为x0,y0,2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)2x+1

4、y=2+4yx+xy+28,当且仅当4yx=xy,即x=2y时等号成立.由x+2ym2+2m恒成立,可知m2+2m8,即m2+2m-80,解得-4m1,b1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.12答案:C解析:由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3,又a1,b1,所以aba+b22=3,所以lg(ab)lg3,从而1x+1ylg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.8.已知x1,则logx9+log27x的最小值是.答案:263解析:x1,logx9+log27x=2lg3lgx+

5、lgx3lg3223=263,当且仅当x=36时等号成立.logx9+log27x的最小值为263.9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*).则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.答案:58解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x,而x0,所以yx18-225=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.答案:14解析:a-3b+6=0,a-3b=-6.a,bR,2a

6、0,18b0.2a+18b22a-3b=22-6=14,当且仅当2a=18b,即a=-3,b=1时取等号.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若pq0,则提价多的方案是.答案:乙解析:设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a1+p+q2%2.由于(1+p%)(1+q%)0,a为大于2x的常数.(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2x-x的最小值.解:(1)x0,a2x,y=x(a-2x)=122x(a-2x)122x+(a-2x)22=a28,当且仅当x=a4时取等

7、号,故函数y=x(a-2x)的最大值为a28.(2)y=1a-2x-x=1a-2x+a-2x2-a2212-a2=2-a2,当且仅当x=a-22时取等号.故y=1a-2x-x的最小值为2-a2.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10000x-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产

8、量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.051000x万元,依题意得,当0x80时,L(x)=(0.051000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;当x80时,L(x)=(0.051000x)-51x-10000x+1450-250=1200-x+10000x,则L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1200-x+10000x,x80.(2)当0x80时,L(x)=-13(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x80时,L(x)=1200-x+10000x1200-2x10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x时,即x=100时,L(x)取得最大值1000.因为9501000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1000万元.高考预测17.若a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.解:ab=a+b+3,a+b=ab-3,(a+b)2=(ab-3)2.(a+b)24ab,(ab-3)24ab,即(ab)2-10ab+90,故ab1或ab9.因此ab的取值范围是(-,19,+).