1、 A基础达标1若两个不重合的平面与的法向量分别是a(1，0，2)，b(1，0，2)，则平面与平面的关系是()A平行B垂直C相交但不垂直 D无法判断解析：选A.因为ab，所以ab.所以.2在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.0 B.0C.0 D.0解析：选C.因为PA平面ABCD，所以BDPA.又ACBD，所以PCBD.故选项B正确，选项A和D显然成立故选C.3已知平面的法向量是(2，3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()A B6C6 D.解析：选B.因为，所以的法向量与的法向量也互相平行所以.所以6.4若直线l的方向向量为a，平面的法向量
2、为n，则能使l的是()Aa(1，0，0)，n(2，0，0)Ba(1，3，5)，n(1，0，1)Ca(0，2，1)，n(1，0，1)Da(1，1，3)，n(0，3，1)解析：选D.因为an(1，1，3)(0，3，1)10(1)3310，所以an，所以l.5已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：选D.设平面ABC的法向量为n(x，y，z).(1，1，0)，(1，0，1)由n0，n0，得得xyz，令z1，得xy1，所以n(1，1，1)，|n|，得平面ABC的单位法向量为(，)故选D.6已知(2，2，1)，
3、(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是_解析：设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则，令z2，则n(1，2，2)，|n|3，n(，)答案：(，)7下列命题中：若u，v分别是平面，的法向量，则uv；若u，v分别是平面，的法向量，则uv0；若u是平面的法向量且向量a与共面，则ua0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确的命题序号是_解析：中，有可能重合；正确；中，因为u，a，所以ua.所以ua0，正确；正确答案：8.如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则点M的坐标为_解析：因为M在EF上，不妨设ME的长
4、度为x，所以M，A(，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，0)，所以(，0，1)，(0，1)，.设平面DEB的法向量为n(a，b，c)，易求得其中一个法向量为n(1，1，)，所以有n0，即xx0，所以x，所以x1，所以M.答案：9设u、v分别是平面、的法向量，根据下列条件，判断、的位置关系(1)u(2，2，5)，v(6，4，4)；(2)u(1，2，2)，v(2，4，4)解：(1)易知uv262(4)54128200，所以uv，所以.(2)由题意知v2u，即uv，所以(或与重合)10在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，侧棱长为且侧棱垂直于底面，E、F分别是AB1
5、、CB1的中点，求证：平面D1EF平面AB1C.证明：把四棱柱如图放置在空间直角坐标系中，则各点坐标为A(，0，0)，C(0，0)，B1(，)，D1(0，0，)，E(，)，F(，)设平面AB1C的法向量为n1(1，1，1)，则n1应垂直于和.而(，0)，(0，)，所以n110及n1110.所以n1(1，1，)再假设平面D1EF的法向量为n2(1，2，2)，则n2应垂直于、，而，所以n2220，n2220.所以21，2.所以n2(1，1，)由于n1n2111120，所以nn2.因此平面D1EF平面AB1C.B能力提升11已知平面上的两个向量a(2，3，1)，b(5，6，4)，则平面的一个法向量为
6、()A(1，1，1) B(2，1，1)C(2，1，1) D(1，1，1)解析：选C.显然a与b不平行，设平面的法向量为n(x，y，z)，则所以令z1，得x2，y1，所以n(2，1，1)12在正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1平面ACC1A1？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由解：如图所示，以D为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，C1(0，a，a)设P(0，0，m)易知BD平面ACC1A1，即(a，a，0)为平面ACC1A1的法向量要使平面APC1平面A
7、CC1A1，即使与，为共面向量即存在实数x和y，使得xy.因为(a，a，a)，(a，0，m)，所以解得可见点P存在，且当点P为DD1中点时，平面APC1平面ACC1A1.13(选做题)如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BBCD90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.证明：以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为PC平面ABCD，所以PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以PBC30.因为PC2，所以BC2，PB4.所以D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M.所以(0，1，2)，(2，3，0)，.(1)令n(x，y，z)为平面PAD的法向量，则即所以令y2，得n(，2，1)因为n2010，所以n，又CM平面PAD，所以CM平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(，2，1)，(，2，1)因为PBAB，所以BEPA.又因为(，2，1)(2，3，0)0.所以，所以BEDA，又因为PADAA，所以BE平面PAD，又因为BE平面PAB，所以平面PAB平面PAD.
