1、安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）设i是虚数单位，若复数x满足x（1i）=i，则其虚部为（）AiBiCD2（5分）下列与抛物线y=x2具有公共焦点的双曲线（）AA、16y232x2=1B=1Cy2=1Dx2=13（5分）已知U为全集，集合A，B如图所示，则（CUA）B（）A0，1，3B2，3，4C0，1，3，5D3.54（5分）非零向量，满足|=|+|=2|，则向量，夹角的余弦值为（）ABCD15（5分）已知函数f（x）=cosx，则它可以由y=f（x）的图象按照下列哪种交换得到（）A向右平移个单位B向左平移个单位C
2、向右平移个单位D向左平移个单位6（5分）数列ncos（n）的前n项和为Sn，（nN*），则S2015=（）A2014B2015C1008D10077（5分）设变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y取最大值时最优解不唯一，则a的值为（）A1B0C1或1D18（5分）已知l1：x+2y+1=0，l2：Ax+By+2=0（A，B1，2，3，4），则直线l1与l2不平行的概率为（）ABCD9（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A16+2B24+2C5+2D4+2（1+）10（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）x0的解集为（）A（，30，1）B3，0C（，30，+）D3，+
3、）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11（5分）“手持技术和数学学科整合”是十二五重点研究课题，某县为调查研究数学教师在教学中手持技术的使用情况，采用简单随机抽样的方法，从该县180名授课教师中抽取20名教师，调查他们在上学期的教学中使用手持技术的次数，结果用茎叶图表示，则据此可估计上学期180名教师中使用次数落在15，25）的人数为12（5分）等差数列an中的a1，a4027是函数f（x）=x32x2x+1的两个极值点，则函数y=sin（a2014x+）是周期为13（5分）如图所示，若输入的x=log43，程序框图（算法流程图）的输出结果为14（5
4、分）命题“存在x1，x2+（m2）x+3m0”为假命题，则m的取值范围是15（5分）关于函数f（x）=（a0，b0）有下列命题：函数f（x）的值域为（，0）（0，+）；直线x=k（kR）与函数f（x）图象有唯一交点；函数y=f（x）+1有两个零点；函数定义域为D，则任意xD，f（x）=f（x）；当a=b=1时，以点（0，1）为圆心病情与函数相切的圆的最小面积为3其中所有叙述正确的命题的序号是三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）16（12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知=（2abc，2abc），=（si
5、nA+sinB，sinC），若且sinB=2sinC（）判断ABC的形状；（）求cos（2B+）的值17（12分）函数f（x）=x3+ax2+bx+c（其中a，b，cR），若g（x）=f（x）+f（x）为奇函数，且y=f（x）在（0，f（0）处的切线与直线x+y2=0垂直（）求a，b，c的值；（）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在1，3上的最值18（12分）某公司生产部门调研发现，该公司第二、三季度的用电量与月份线性相关，数据统计如表：月份456789用电量（千瓦时）61627554656但核对电费报表时发现一组数据统计有误（）请画散点图，指出哪组数据有误，并说明理由；（）在排出有误数据后，
6、求用电量与月份之间的回归直线方程=x+，并预测统计有误那个月份的用电量19（13分）设O1，O2，On，是坐标平面上圆心在x轴非负半轴上的一列圆（其中O1为坐标原点），且圆On和圆On+1相外切，并均与直线x+y2=0相切，记圆On的半径为Rn（）求圆O1的方程；（）求数列Rn的通项公式，并求数列RnlogRn的前n项和Sn20（13分）如图，PAB是边长为+1的等边三角形，PC=PD=1，现将PCD沿边CD折起至PCD将四棱锥PABCD，且PCBD（）证明：BD平面PAC；（）求四棱锥PABCD的体积21（13分）已知椭圆C：+=1（ab0）左右焦点，上下顶点依次为F1，F2，B1，B2，若
7、四边形F1B1F2B2的面积为8，且椭圆的离心率为（）求椭圆C的方程；（）已知点M，N在椭圆C上，若M，F2，N三点共线，且=+（R），求直线MN的方程安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）设i是虚数单位，若复数x满足x（1i）=i，则其虚部为（）AiBiCD考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接由复数代数形式的除法运算化简x（1i）=i，则其虚部可求解答：解：x（1i）=i，则其虚部为：故选：D点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）下列与抛物线y=x2具有公
8、共焦点的双曲线（）AA、16y232x2=1B=1Cy2=1Dx2=1考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，判断即可解答：解：抛物线y=x2的焦点坐标（0，2）焦点在y轴上，双曲线=1的焦点坐标（0，2）故选：B点评：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，抛物线的焦点坐标的求法，考查计算能力3（5分）已知U为全集，集合A，B如图所示，则（CUA）B（）A0，1，3B2，3，4C0，1，3，5D3.5考点：Venn图表达集合的关系及运算 专题：集合分析：根据Venn图，确定集合元素即可解答：解：由Venn图可知，CUA
9、=3，5，B=0，1，3，则（CUA）B=0，1，3，5，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础4（5分）非零向量，满足|=|+|=2|，则向量，夹角的余弦值为（）ABCD1考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：先求出=0，再根据向量的夹角公式计算即可解答：解：|=|+|=2|，2+=+2+=4，=0，（）=设向量与夹角为，cos=，故选：A点评：本题考查了向量的数量积，以及向量的夹角公式，属于基础题5（5分）已知函数f（x）=cosx，则它可以由y=f（x）的图象按照下列哪种交换得到（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位考点：函数
10、y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由y=f（x）=sinx=sin（x）=cos（x+），可知把y=f（x）的图象向右平移个单位可以得到函数f（x）=cosx的图象解答：解：f（x）=cosx，y=f（x）=sinx=sin（x）=cos（x+）把y=f（x）的图象向右平移个单位可以得到函数f（x）=cosx的图象，故选：A点评：本题主要考查诱导公式的应用，y=Asin（x+）的图象变化规律，属于基础题6（5分）数列ncos（n）的前n项和为Sn，（nN*），则S2015=（）A2014B2015C1008D1007考点：数列与三角函数的综合；数列的求和 专题：等
11、差数列与等比数列分析：由f（n）=cosn是以T=2为周期的周期函数可得数列每相邻四项的和，则答案可求解答：解：an=ncosn，又f（n）=cosn是以T=2为周期的周期函数a1+a2=1+2=1a3+a4=3+4=1，a5+a6=1，a7+a8=1，a2009+a2010+a2011+a2012=（02010+0+2012）=2，a2013+a2014+a2015=2014S2015=a1+a2+a3+a4+a2015=（1+2）+（3+4）+（2013+2014）2015=1008故选：C点评：本题考查了三角函数的周期性，考查了数列的求和，关键是对规律的发现，是中档题7（5分）设变量x，
12、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y取最大值时最优解不唯一，则a的值为（）A1B0C1或1D1考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，将z=ax+y化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得解答：解：由题意作出其平面区域，将z=ax+y化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，则由目标函数z=ax+y取最大值时最优解不唯一知，y=ax+z与y=4x重合，故a=1；故选D点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题8（5分）已知l1：x+2y+1=0，l2：Ax+By+2=0（A，B1，2，3，4），
13、则直线l1与l2不平行的概率为（）ABCD考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：根据直线平行的条件得到，直线l1与l2平行种数，继而得到不平行的种数，再求出所有的种数，根据概率公式计算即可解答：解：当直线l1、l2平行时有B=2A且A2，有（1，2）一种，而从1，2，3，4任选2个分给A，B，共有44=16种，故直线l1与l2不平行有161=15种，故直线l1与l2不平行的概率为，故选：A点评：本题以直线平行为载体，考查了古典概率的问题，属于基础题9（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A16+2B24+2C5+2D4+2（1+）考点：由三视图求面积、体积 专题：空
14、间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体内挖去一个圆柱得到的组合体，求出正方体的表面积，圆柱的侧面积和底面积，进而可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体内挖去一个圆柱得到的组合体，正方体的棱长为2，故表面积为：622=24，圆柱的底面直径为2，故底面半径为1，底面面积为：，底面周长为：2，侧面面积为：4，故组合体的表面积S=242+4=24+2，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状10（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）x0的解集为（）A（，30，1）B3，0C（，30，+）D3，+）考点：
15、其他不等式的解法 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由x0时，运用二次不等式的解法，求得x的范围；再由x0时，通过函数y=ex1x的导数，判断单调性，即可得到ex1x0成立，则有x0再求并集即可得到解集解答：解：当x0时，f（x）x0即为x2+3x0，解得，x0或x3，则有x3；当x0时，f（x）x0即为ex1x0，由y=ex1x的导数为y=ex1，当x0时，y0，则y=ex1x递增，即有ex1x0成立，则有x0故不等式的解集为（，30，+）故选：C点评：本题考查分段函数的运用：解不等式，考查二次不等式的解法，考查导数的运用：判断单调性，考查运算能力，属于中档题二、填空题
16、（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11（5分）“手持技术和数学学科整合”是十二五重点研究课题，某县为调查研究数学教师在教学中手持技术的使用情况，采用简单随机抽样的方法，从该县180名授课教师中抽取20名教师，调查他们在上学期的教学中使用手持技术的次数，结果用茎叶图表示，则据此可估计上学期180名教师中使用次数落在15，25）的人数为63考点：简单随机抽样 专题：概率与统计分析：根据茎叶图以及简单抽样的性质进行求解即可解答：解：由茎叶图可知样本中落在区间15，25）上的频数为7，从而180名教师中使用次数落在15，25）的人数为180人，故答案为：63点评：本题
17、主要考查茎叶图的应用，比较基础12（5分）等差数列an中的a1，a4027是函数f（x）=x32x2x+1的两个极值点，则函数y=sin（a2014x+）是周期为3考点：数列与函数的综合；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列分析：求出函数的导数，利用极值点以及等差数列的性质求出a2014的值，然后通过函数的周期求解即可解答：解：函数f（x）=x32x2x+1，导数f（x）=3x24x1，a1，a4027是函数f（x）=x32x2x+1的两个极值点，a1，a4027是3x24x1=0的两个实数根，则=a1+a4027=2a2014，a2014=，函数y=sin（a20
18、14x+）=sin（x+），所以函数的周期为：T=3故答案为：3点评：本题考查函数的极值的求法，等差数列的应用，三角函数的周期的求法，是难度不大的综合题目13（5分）如图所示，若输入的x=log43，程序框图（算法流程图）的输出结果为8考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，得出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果解答：解：0log431，则按照循环结构知y=23=8故答案为：8点评：本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力，属于基础题14（5分）命题“存在x1，x2+（m2）x+3m0”为假命
19、题，则m的取值范围是1，+）考点：特称命题 专题：简易逻辑分析：根据特称命题的性质建立不等式关系即可解答：解：命题“存在x1，x2+（m2）x+3m0”为假命题，命题“任意x1，x2+（m2）x+3m0”为真命题，等价为（x1）2（x1）+1+（x1）m0，x1，x10，即m（x1）+1恒成立，（x1）+1=12=1，当且仅当x1=，即x=2时取等号，m1，故答案为：1，+）点评：本题主要考查含有量词的命题的应用，结合不等式恒成立，利用参数分类法利用基本不等式的性质是解决本题的关键15（5分）关于函数f（x）=（a0，b0）有下列命题：函数f（x）的值域为（，0）（0，+）；直线x=k（kR）
20、与函数f（x）图象有唯一交点；函数y=f（x）+1有两个零点；函数定义域为D，则任意xD，f（x）=f（x）；当a=b=1时，以点（0，1）为圆心病情与函数相切的圆的最小面积为3其中所有叙述正确的命题的序号是考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：根据于函数f（x）=（a0，b0），逐一分析函数的定义域，值域，零点个数，奇偶性等性质，进而得到5个结论的真假，可得答案解答：解：函数f（x）=（a0，b0）的定义域为x|xa，值域为：（，（0，+），故错误；当k=a时，直线x=k（kR）的函数f（x）图象无交点，故错误；令f（x）+1=0，则|x|=ab，若ab，则方程无两解，即函
21、数y=f（x）+1有无两个零点，故错误；函数定义域为D，则任意xD，f（x）=f（x），故正确；当a=b=1时，f（x）=，则点（0，1）为圆心的圆与函数图象相切时，若切点横坐标在（1，1）之间，则半径为2，若切点横坐标在（，1）（1，+），设其中一个切点坐标为（x，），（x1）则R2=3，故半径最小值为，则圆的最小面积为3，故正确；故所有叙述正确的命题的序号是，故答案为：点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的定义域，值域，零点个数，奇偶性等性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域
22、内）16（12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知=（2abc，2abc），=（sinA+sinB，sinC），若且sinB=2sinC（）判断ABC的形状；（）求cos（2B+）的值考点：三角形的形状判断；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：（）利用向量的数量积的坐标运算及正弦定理可得a=c，再由余弦定理可得cosB=0，从而可判断ABC为钝角三角形；（）由（）知，cosB=，则sinB=，利用二倍角公式可求得cos2B的值，再利用两角和的余弦即可求得cos（2B+）的值解答：解：（）由得：=0，即（2abc）（sinA+sinBsinC）=0，1分由正弦定理得
23、：（2abc）（a+bc）=0，2分而a+bc0，故2abc=03分又sinB=2sinC得：b=2c，因此a=c4分由于cosB=0，所以，故ABC为钝角三角形6分（）由（）知，cosB=，则sinB=8分故cos2B=2（）21=，sin2B=2（）=10分因此cos（2B+）=（）（）=12分点评：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的余弦函数，考查数量积的坐标运算与余弦定理的由于，考查运算求解能力，属于中档题17（12分）函数f（x）=x3+ax2+bx+c（其中a，b，cR），若g（x）=f（x）+f（x）为奇函数，且y=f（x）在（0，f（0）处的切线与直线x+y2=0垂直（）
24、求a，b，c的值；（）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在1，3上的最值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（）求出导数，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件可得b=1，由奇函数的定义可得a=3，b+c=0，即可得到a，b，c的值；（）求出g（x）的解析式，求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极小值，也为最小值，求出端点的函数值，即可得到最大值解答：解：（）f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f（x）=3x2+2ax+b，g
25、（x）=f（x）+f（x）为奇函数，即有g（x）=x3+（a+3）x2+（2a+b）x+b+c为奇函数，即有g（x）=g（x），则a=3，b+c=0，y=f（x）在（0，f（0）处的切线斜率为k=b，由于切线与直线x+y2=0垂直，即有b=1，c=1，故a=3，b=1，c=1；（）g（x）=x35x，g（x）=3x25=3（x）（x+），令g（x）0，可得x或x，令g（x）0，可得x即有g（x）的增区间为（，），（，+），减区间为（，）x=处，g（x）取得极小值，也为最小值，且为，而g（1）=4，g（3）=12，则g（x）的最大值为12故g（x）在1，3上的最小值为，最大值为12点评：本题考查
26、导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题18（12分）某公司生产部门调研发现，该公司第二、三季度的用电量与月份线性相关，数据统计如表：月份456789用电量（千瓦时）61627554656但核对电费报表时发现一组数据统计有误（）请画散点图，指出哪组数据有误，并说明理由；（）在排出有误数据后，求用电量与月份之间的回归直线方程=x+，并预测统计有误那个月份的用电量考点：线性回归方程 专题：应用题；概率与统计分析：（）散点图如图所示，因为供水量与月份线性相关，点（7，55）离其它点所在区域较远，故（7，55）有误；（）求出=6.
27、4，=30.2，可得b，a，可得用电量与月份之间的回归直线方程=x+，x=7时，即可预测统计有误那个月份的用电量解答：解：（）散点图如图所示，因为供水量与月份线性相关，点（7，55）离其它点所在区域较远，故（7，55）有误；（）=6.4，=30.2，b=9.98，a=30.29.986.4=33.67，y=9.98x33.67，x=7时，y=9.98733.67=36.19点评：本题考查回归直线方程，考查散点图，考查学生的计算能力，比较基础19（13分）设O1，O2，On，是坐标平面上圆心在x轴非负半轴上的一列圆（其中O1为坐标原点），且圆On和圆On+1相外切，并均与直线x+y2=0相切，记
28、圆On的半径为Rn（）求圆O1的方程；（）求数列Rn的通项公式，并求数列RnlogRn的前n项和Sn考点：数列与解析几何的综合 专题：计算题；等差数列与等比数列；直线与圆分析：（）设圆O1的方程为x2+y2=R12，由直线和圆相切的条件d=r，运用点到直线的距离公式可得半径，即可得到圆的方程；（）设直线x+y2=0与x轴相交于A，直线与圆On切于点Bn，与圆On+1切于点Bn+1，运用直角三角形的性质和两圆外切的条件可得数列Rn为首项为，公比是的等比数列，运用等比数列的通项公式，以及数列求和的方法：错位相减法，即可求得前n项和Sn解答：解：（）设圆O1的方程为x2+y2=R12，由直线和圆相切
29、的条件可得R1=，即圆O1的方程为x2+y2=3；（）设直线x+y2=0与x轴相交于A，直线与圆On切于点Bn，与圆On+1切于点Bn+1，则tanOnABn=，即OnABn=30，则|OnA|=2|OnBn|=2Rn，|On+1A|=2Rn+1，由于圆On和圆On+1相外切，则|OnOn+1|=|OnA|On+1A|=2（RnRn+1）=Rn+Rn+1，则有Rn+1=Rn，即有数列Rn为首项为，公比是的等比数列，则Rn=（）n1=，记bn=Rn=（）n1（n）=（2n3）（）n1，Sn=1+1+3（）2+（2n3）（）n1，Sn=1+1（）2+3（）3+（2n3）（）n，两式相减可得Sn=1
30、+2+2（）2+2（）n1（2n3）（）n=12+（2n3）（）n=2n（）n则有Sn=n（）n1点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，同时考查直线和相切的条件以及两圆相外切的条件，考查运算能力，属于中档题20（13分）如图，PAB是边长为+1的等边三角形， PC=PD=1，现将PCD沿边CD折起至PCD将四棱锥PABCD，且PCBD（）证明：BD平面PAC；（）求四棱锥PABCD的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）根据正弦定理以及直线和平面垂直的判定定理即可证明BD平面PAC；（）求出四棱锥的高和底
31、面积的大小，结合四棱锥的体积公式即可求四棱锥PABCD的体积解答：证明：（）连接AC交BD于O，在ABC中，BC=，则AC2=（）2+222，即AC=，由正弦定理得，即sinCAB=，即CAB=45，同理得DBA=45，即AOB=90，即BDAC，PCBD，且PCAC=C，故BD平面PAC；（）取CD中点E，连接OE，PE，PD=PC，CDPE，而AC=BD，AO=BO，则OC=OD，CDOE，即CD平面POE，从而OPCD，由（）知，OPBD，BDCD=D，故OP平面ABCD，即棱锥PABCD的高为OP在直角三角形POC中，OP=，则，则四棱锥PABCD的体积V=点评：本题主要考查空间四棱锥
32、的体积的计算，以及空间直线和平面垂直的判断，考查学生的计算和推理能力21（13分）已知椭圆C：+=1（ab0）左右焦点，上下顶点依次为F1，F2，B1，B2，若四边形F1B1F2B2的面积为8，且椭圆的离心率为（）求椭圆C的方程；（）已知点M，N在椭圆C上，若M，F2，N三点共线，且=+（R），求直线MN的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用参数a，b，c表示出四边形F1B1F2B2的面积（2）以题意，可先给出点M，N的坐标，然后由题意列出关于点的坐标的方程组，解出点M，N的坐标，则非常可求解答：解：（1）因为四边形F1B1F2B2，所以=，即bc=4又，结合a2=b2+c2解得故椭圆C的方程为（2）由已知得F2（2，0）因为M，F2，N三点共线，且所以设M（x1，y1），N（x2，y2），则，所以（2x1，y2）=2（x21，y2），所以，即，又M，N在椭圆C上，所以，将代入中的上式得，将与中的下一个式子联立解得故，所以，故直线MN的方程为，即点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与椭圆的位置关系的问题的解决方法，属于中档题