1、第30讲 平面向量的综合应用【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【基础检测】1已知向量 a(1，1cos )，b1cos ，12，且 ab，则锐角 等于()A30B45C60D75【解析】ab，(1cos)(1cos)12.即 sin212，又 为锐角，sin 22，45.B2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，m(3bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，则cos A 的值等于()A.36B.34C.33D.32【解析】mn(3bc)cos Aacos C0，再由正弦定理得 3sin Bcos A
2、sin Ccos Acos Csin A 3sin Bcos Asin(CA)sin B，即 cos A 33.C3若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则1a1b的值等于_【解析】AB(a2，2)，AC(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即 ab2a2b0，所以1a1b12.124已知 A(3，3)，O 是原点，点 P(x，y)的坐标满足 3xy0，x 3y20，y0，则OA OP|OP|的取值范围为_【解析】作出可行域，OA 与OP的夹角 6，56，所 以 OA OP|OP|OA|cos 2 3cos(3，3(3，3【知识要点】1向量在平面几何中的应用平
3、面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab，且 b0 R，使 abx1y2x2y10 或x1x2y1y2，a(x1，y1)，b(x2，y2)；(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：ab_；(3)求夹角问题，利用夹角公式ab0 x1x2y1y202平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解和合成与向量的加法和减法相似，可用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 S 的数量积，即 WFS|F|S|
4、cos (为 F 与 S 的夹角)一、几何背景下的向量运算例1平面上的两个向量OA，OB 满足|OA|a，|OB|b，且OA OB，a2b24.向量OP xOA yOB(x，yR)，且 a2x122b2y1221.(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证：MP x12OA y12 OB；(2)求|OP|的最大值，并求此时四边形 OAPB 面积的最大值【解析】(1)证明：因为点 M 为线段 AB 的中点，所以OM 12OA 12OB.所以MP OP OM(xOA yOB)12OA 12OBx12 OA y12 OB.(2)解：设点 M 为线段 AB 的中点，则由OA OB，知|MA|MB|M
5、O|12|AB|1.又由(1)及 a2x122b2y1221，得|MP|2|OP OM|2x122OA 2y122OB 2x122a2y122b21.所以|MP|MO|MA|MB|1.故 P，O，A，B 四点都在以 M 为圆心、1 为半径的圆上，所以当且仅当 OP 为圆 M 的直径时，|OP|max2.这时四边形 OAPB 为矩形，则 S 四边形OAPB|OA|OB|aba2b222，当且仅当 ab 2时，四边形 OAPB的面积最大，最大值为 2.二、向量与函数的综合问题例2已知 a12，32，b(3，1)，若存在实数k 和 t，使 xa(t21)b，yka14b，且 xy.(1)试求函数关系
6、式 kf(t)；(2)若 f(t)3mt1f(ab)对任意的 t(0，)恒成立，求 m 的取值范围【点评】利用向量的数量积是构造函数的一种常用方法【解析】(1)a12，32，b(3，1)，ab0，|a|1，|b|2，xy，xy0，kt210，f(t)t21.(2)f(ab)f(0)1，t23mt10 对任意的大于 0 的实数 t 恒成立，即：3m0)，当且仅当 t1 时等号成立，即 u(t)min2，m，23 为所求三、向量背景下的三角函数问题例3已知向量 m(2sin x，1)，n(3Acos x，Acos2x)(A0)，函数 f(x)mn 的最大值为 6.(1)求 A；(2)将函数 yf(
7、x)的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象求 g(x)在23，3 上的值域【解析】(1)f(x)mn2 3Asin xcos xAcos 2x 3Asin 2xAcos 2x2Asin2x6.因为 f(x)mn 的最大值为 6，又 A0，所以 2A6，即 A3.(2)依 题 意 可 知，g(x)6sinx3，当x23，3 时，x3 3，23，结合正弦函数图象可知，sinx3 32，1，故 g(x)6sinx3 3 3，6.所以，g(x)在23，3 上的值域为3 3，6【点评】三角函数与向量综合往往以向量运算构造问题的题设
8、条件，因此依据向量知识转化为三角函数问题是问题求解的切入点四、向量与三角形中的三角函数问题综合例4已知在锐角ABC 中，两向量 p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A，1sin A)，且 p 与 q是共线向量(1)求 A 的大小；(2)求函数 y2sin2BcosC3B2取最大值时，B的大小【解析】(1)pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，sin2A34，sin A 32，ABC 为锐角三角形，A60.(2)y2sin2BcosC3B2 2sin2Bcos180BA3B2 2sin2Bcos(2B60)1co
9、s 2Bcos(2B60)1cos 2Bcos 2Bcos 60sin 2Bsin 60 112cos 2B 32 sin 2B1sin(2B30)，当 2B3090，即 B60时，函数取最大值 2.备选题例5已知ABC 中，AC1，ABC34，BACx，记 f(x)AB BC.(1)求函数 f(x)的解析式及定义域；(2)设 g(x)2mf(x)1，x0，4，是否存在正实数 m，使函数 g(x)的值域为1，2？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)由正弦定理ABsin4 x BCsin x1sin34，BC 2sin x，AB 2sin4 x.f(x)AB BC 2sin
10、4 x 2sin xcos4 2sin x22 cos x 22 sin x sin xcos xsin2x12sin 2x1cos 2x2 22 sin2x4 12，x0，4.【点评】与三角形有关的向量数量积问题关键是分析向量的夹角与三角形内角的关系(2)存在正实数 m1，使函数 g(x)的值域为1，2.g(x)2mf(x)1 2 msin2x4 m 1，x0，4.假设存在正实数 m 符合题意，x0，4，4 2x 4 34，22 sin2x4 1.又 m0，g(x)的值域为1，（21）m1，又g(x)的值域为1，2，(21)m1 2，m1.1用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向
11、量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题3几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量
12、有公共点，两直线不能平行，只能重合(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积 ab0，尽量用坐标运算1(2014 安徽)已知两个不相等的非零向量 a，b，两组向量 x1，x2，x3，x4，x5 和 y1，y2，y3，y4，y5 均由 2 个 a 和3 个 b 排列而成记 Sx1y1x2y2x3y3x4y4x5y5，Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值则下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号)S 有 5 个不同的值若 ab，则 Smin 与|a|无关若 ab，则 Smin 与 b 无关若|b|4|a
13、|，则 Smin0.若|b|2|a|，Smin8|a|2，则 a 与 b 的夹角为4.【解析】由题意 S 有三种结果，如下：S1aaaabbbbbb；S2aaabbabbbb；S3ababbababb.故错误；S1S2S2S3(a)2(b)22ab|a|2|b|22|a|b|(|a|b|)20，S 中最小为 S3.若 ab，则 SminS3(b)2 与|a|无关，故正确；若 ab，则 SminS34ab|b|2 与|b|有关，故错误；若|b|4|a|，则 SminS34ab|b|24|a|b|cos|b|24|a|b|(b)2|b|2|b|20，故正确；若|b|2|a|，SminS34ab|b
14、|28|a|2cos 4|a|2 8|a|2，2cos 1，3，故错误所以正确的编号为.【命题立意】知识：向量数量积定义，比较两数大小的方法能力：根据题设条件得到 S 有三种可能值考查抽象概括能力根据 S 的三种可能值并确定出最小值及正确命题的编号，考查分析、解决问题的能力，运算求解能力及逻辑思维能力试题难度：较大2(2014 陕西)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上(1)若PAPBPC0，求OP；(2)设OP mAB nAC(m，nR)，用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值【解析】(1)因为
15、PAPBPC0，所以(OA OP)(OBOP)(OC OP)0，即得OP 13(OA OB OC)(2，2)，最后求得|OP|2 2.(2)因为OP mAB nAC，所以(x，y)(m2n，2mn)，即xm2ny2mn，两式相减得：mnyx，令 yxt，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上，当直线 yxt 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为 1.【命题立意】知识：向量的坐标形式及运算，向量的模，线性规划能力：用线性规划知识确定目标函数的最值，考查运算求解能力；解题过程要作出图形，考查了数形结合的思想试题难度：中等 1已知 a 与 b 均为单位向量，其
16、夹角为，有下列四个命题p1：|ab|1 0，23p2：|ab|1 23，p3：|ab|1 0，3p4：|ab|1 3，其中的真命题是()Ap1，p4Bp1，p3Cp2，p3Dp2，p4A【解析】由|ab|1 可得：a22abb21，|a|1，|b|1，ab12.故 0，23.当 0，23时，ab12，|ab|2a22abb21，即|ab|1；由|ab|1 可得：a22abb21，|a|1，|b|1，ab12.故 3，反之也成立答案：A.【解析】f(x)13x312|a|x2abx 在 R 上有极值，即 f(x)x2|a|xab0 有两个不同的实数解，故|a|24ab0cosa，b12，又a，b
17、0，所以a，b3，.2已知|a|2|b|0，且关于 x 的函数 f(x)13x312|a|x2abx 在 R 上有极值，则 a 与 b 的夹角范围为()A.0，6B.6，C.3，D.3，23C【解析】AB|AB|AC|AC|BC 0，BAC 的平分线垂直 BC，ABAC.又 AB|AB|AC|AC|12|AB|AC|cosBAC|AB|AC|12cosBAC12BAC60.ABC 为等边三角形3已知非零向量AB 与AC 满足AB|AB|AC|AC|BC 0，且 AB|AB|AC|AC|12，则ABC 为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形D【解析】由题意OP(x
18、，y)，OM(1，1)，ON(0，1)，OQ(2，3)，OP OM xy，OP ON y，OQ OP 2x3y，即在0 xy10y1条件下，求 z2x3y 的最大值，由线性规划知识知，当 x0，y1 时有最大值 3.4已知在平面直角坐标系中，O(0，0)，M(1，1)，N(0，1)，Q(2，3)，动点 P(x，y)满足不等式 0OP OM1，0OP ON 1，则 zOQ OP 的最大值为_3【解析】(1)证明：ab(cos x，1sin x)，ac(cos x，sin x1)，(ab)(ac)(cos x，1sin x)(cos x，sin x1)cos2xsin2x10.(ab)(ac)(2
19、)|a|（1cos x）2（1sin x）2 32（sin xcos x）32 2sinx4 32 2 21.当 sinx4 1，即 x4 2k(kZ)时，|a|有最大值 21.5设 a(1cos x，1sin x)，b(1，0)，c(1，2)(1)求证：(ab)(ac)；(2)求|a|的最大值，并求此时 x 的值6在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c.若AB AC CA CB k(kR)(1)判断ABC 的形状；(2)若 k2，求 b 的值【解析】(1)AB AC cbcos A，CA CB bacos C，bccos Aabcos C，根据正弦定理，得 sin Ccos
20、Asin Acos C，即 sin Acos Ccos Asin C0，sin(AC)0，AC，即 ac.则ABC 为等腰三角形(2)由(1)知 ac，由余弦定理，得 AB AC bccos Abcb2c2a22bcb22.AB AC k2，即b22 2，解得 b2.7已知平面上三点 A、B、C，向量BC(2k，3)，AC(2，4)(1)若三点 A、B、C 不能构成三角形，求实数 k 应满足的条件；(2)若ABC 为直角三角形，求 k 的值【解析】(1)由三点 A、B、C 不能构成三角形，得A、B、C 在同一条直线上，即向量BC 与AC 平行，BC AC，4(2k)230，解得 k12.(2)
21、BC(2k，3)，CB(k2，3)，AB AC CB(k，1)ABC 为直角三角形，则当BAC 是直角时，AB AC，即AB AC 0，2k40，解得 k2；当ABC 是直角时，AB BC，即AB BC 0，k22k30，解得 k3 或 k1；当ACB 是直角时，AC BC，即AC BC 0，162k0，解得 k8.综上得 k2，1，3，8【解析】f(x)cos x，12(3sin x，cos 2x)3cos xsin x12cos 2x 32 sin 2x12cos 2x cos 6 sin 2xsin6 cos 2xsin2x6.(1)f(x)的最小正周期为 T2 22，即函数 f(x)的最小正周期为.8已知向量 acos x，12，b(3sin x，cos 2x)，xR，设函数 f(x)ab.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在0，2 上的最大值和最小值(2)0 x2，6 2x6 56.由正弦函数的性质，当 2x6 2，即 x3 时，f(x)取得最大值 1.当 2x6 6，即 x0 时，f(0)12，当 2x6 56，即 x2 时，f2 12，f(x)的最小值为12.因此，f(x)在0，2 上最大值是 1，最小值是12.