1、单元质检八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:由三视图得到空间几何体,如图所示,则PA平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,所以PAAD,PAAB,PABC.又BCAB,ABPA=A,所以BC平面PAB,所以BCPB.在PCD中,PD=22,PC=3,CD=5,所以PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为PAB,PAD,PBC,共3个.2.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列
2、四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;若mn,m,n,则.则假命题的个数为()A.4B.3C.2D.1答案:B解析:若ml,且m,则l是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行时,也会满足前面的条件;若,则是错误的,垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的;若mn,m,n,则是错误的,平面和可以是任意的夹角.故选B.3.(2020山东,4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂
3、直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处的水平面所成的角为()A.20B.40C.50D.90答案:B解析:由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则AOB=40,COA=50.又CAO=90,OCA=40.晷针与点A处的水平面所成角为40,故选B.4.如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,BAD=60,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P
4、的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为()A.29B.49C.23D.43答案:A解析:MN=2,则DP=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球面的一部分,则球的体积为V=43r3=43.BAD=60,ADC=120,120为360的13,只取半球的13,则V=431312=29.5.九章算术是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图,四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,则这个几何体的体积是()A.203B.83+23C.1023D.823答案:C解析:过E作EG平面ABCD,垂足为G,过F作FH
5、平面ABCD,垂足为H,过G作PQAD,交AB于Q,交CD于P,过H作MNBC,交AB于N,交CD于M,如图所示.四边形ABCD是矩形,棱EFAB,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,四边形PMNQ是边长为2的正方形,EG=(3)2-12=2,这个几何体的体积V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-NBCM=131222+12222=423+22=1023.6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,平面过直线BD,平面AB1C,平面AB1C=m,平面过直线A1C1,平面AB1C,平面ADD1A1=n,则m,n所成角的余弦值为()A.0B.12C.22D.32答案:D
6、解析:如图所示,BD1平面AB1C,平面过直线BD,平面AB1C,平面即为平面DBB1D1.设ACBD=O.平面AB1C=OB1=m.平面A1C1D过直线A1C1,与平面AB1C平行,而平面过直线A1C1,平面AB1C,平面A1C1D即为平面.平面ADD1A1=A1D=n,又A1DB1C,m,n所成角为OB1C,由AB1C为正三角形,则cosOB1C=cos6=32.故选D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M,则四棱锥M-EFGH的体积为.答案:112解析:
7、由题意可知,四棱锥M-EFGH的底面EFGH为正方形且边长为22,其高为12,所以V四棱锥M-EFGH=1322212=112.8.已知球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,ABC是边长为2的正三角形,平面SAB平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为.答案:33解析:记球O的半径为R,由ABC是边长为2的正三角形,且O,A,B,C四点共面,易求R=23.作SDAB于D,连接OD,OS,易知SD平面ABC,注意到SD=SO2-OD2=R2-OD2,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值为1223=33,因此高SD的最大值为232-332=1.因为三棱锥S-
8、ABC的体积为13SABCSD=133422SD=33SD,所以三棱锥S-ABC的体积的最大值为331=33.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.答案:(1)证明如图,连接BD交AC于点O,连接EO.因为底面ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又因为E为PD的中点,所以EOPB.因为EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)解因为PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以A
9、B,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,1),D(0,3,0),E0,32,12,AE=0,32,12.设B(m,0,0)(m0),则C(m,3,0),AC=(m,3,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则n1AC=0,n1AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,-1,3.由题意得n2=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量.由题设|cos|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体
10、积V=131233212=38.10.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由.答案:(1)证明因为平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.(2)解如图,取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABC
11、D.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.如图,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意,得A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nPD=0,nPC=0,即-y-z=0,2x-z=0.令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).因为PB=(1,1,-1),所以cos=nPB|n|PB|=-33.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.(3)解设M是棱PA上一点,则存在0,1使得AM=AP.因此点M(0,1-,),BM=(-1,-,).因为BM平面PCD,所
12、以BM平面PCD当且仅当BMn=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0.解得=14.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时AMAP=14.11.(15分)如图,ADBC,且AD=2BC,ADCD,EGAD,且EG=AD,CDFG,且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60,求线段DP的长.解:依题意,以D为原点,分别以DA,DC,DG的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,
13、0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M0,32,1,N(1,0,2).(1)证明:依题意DC=(0,2,0),DE=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则n0DC=0,n0DE=0,即2y=0,2x+2z=0,不妨令z=-1,可得n0=(1,0,-1).又MN=1,-32,1,可得MNn0=0.又因为直线MN平面CDE,所以MN平面CDE.(2)依题意,可得BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,则nBC=0,nBE=0
14、,即-x=0,x-2y+2z=0,不妨令z=1,可得n=(0,1,1).设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量,则mBC=0,mCF=0,即-x=0,-y+2z=0,不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因此有cos=mn|m|n|=31010,于是sin=1010.所以,二面角E-BC-F的正弦值为1010.(3)设线段DP的长为h(h0,2),则点P的坐标为(0,0,h),可得BP=(-1,-2,h).易知,DC=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故|cos|=|BPDC|BP|DC|=2h2+5.由题意,可得2h2+5=sin60=32,解得h=330,2.所以,线段DP的长为33.
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