1、第 2 讲 常用逻辑用语【学习目标】1理解命题的概念及命题构成，了解“若 p，则 q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；3了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；4理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定【基础检测】1命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为()A对任意 xR，都有 x20B不存在 xR，使得 x20C存在 x0R，使得 x200D存在 x0R，使得 x200【解析】全称命题的否定为特称命题，所以答案为D.D 2已知命题 p：xR，使得 x1x0，下列命题为真的是()ApqB(
2、綈 p)qCp(綈 q)D(綈 p)(綈 q)【解析】对于命题 p：当 x1 时，x1x22，所以命题 p 是真命题，则綈 p 是假命题；对于 q，1430，所以不等式 x2x10 的解集为 R，所以命题 q 是真命题，则綈 q 是假命题，所以 pq 为真命题故选 A.A3设 x，yR，则“x2 且 y2”是“x2y24”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】设 A（x，y）|x2，y2，B(x，y)|x2y24，通过画草图可知 AB，则“x2 且 y2”是“x2y24”的充分而不必要条件，故选 A.A4“在ABC 中，若C90，则A、B 都是锐
3、角”的否命题为：_ _【解析】原命题的条件：在ABC 中，C90，结论：A、B 都是锐角否命题是否定条件和结论 即“在ABC 中，若C90，则A、B 不都是锐角”在ABC 中，若C90，则A、B 不都是锐角【知识要点】1命题用 语 言、符 号 或 式 子 表 达 的，可 以_叫做命题，其中判断为真的语句叫做_，判断为假的语句叫做_2四种命题及其关系(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的_是第二个命题的_，那么这两个命题叫做_；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的_判断真假的陈述句真命题假命题结论条件互逆命题逆命题(2)同时否定原命题的_和_，
4、所得的命题是原命题的否命题注意：“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念如果原命题是“若 p，则 q”，那么这个原命题的否定是“若 p，则非 q”，即只否定结论，而原命题的否命题是“若綈 p，则綈 q”，即既否定命题的条件，又否定结论(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得到的命题是原命题的_条件结论逆否命题(4)一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p 和綈 q 分别表示 p，q 的否定，于是四种命题形式是：原命题：若 p，则 q；逆命题：_；否 命 题：_；逆 否 命 题：_若q，则p若綈 p，则綈 q若綈 q，则綈 p(5)四种命题之间的关系注意：(1)两个
5、命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性不一定相同3充分条件与必要条件(1)若_，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件(2)若_，则 p 是 q 的充分必要条件，即充要条件4逻辑联结词命题中的_叫逻辑联结词(1)当 p，q 都是真命题时，pq 是真命题；当 p，q 两个命题中至少有一个是假命题时，pq 是假命题pq“或”、“且”、“非”pq(2)当 p，q 两个命题中至少有一个命题是真命题时，pq 是真命题；当 p，q 两个命题都是假命题时，pq是假命题5全称量词、存在量词(1)全称量词短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做
6、_，并用符号_表示含有全称量词的命题，叫做_，全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”，简记作_全称量词全称命题xM，p(x)(2)存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做_，并用符号_表示含有存在量词的命题，叫做_，特称命题“存在 M中的一个 x，使 p(x)成立”，简记作_(3)两种命题的关系全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题注意：同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.存在量词特称命题x0M，p(x0)命题 全称命题“xA，p(x)”特称命题“x0A，p(x0)”表述方法对所有的 xA，p
7、(x)成立；对一切 xA，p(x)成立；对每一个 xA，p(x)成立；任取一个 xA，p(x)成立；凡 xA，都有 p(x)成立.使 p(x)成立；存在 xA，使 p(x)成立；至少有一个 xA，使 p(x)成立；对有些 xA，p(x)成立；对某个 xA，p(x)成立；有一个 xA，使 p(x)成立.一、四种命题与逻辑联结词例1(1)已知 a，b，c 都是实数，则命题“若 ab，则 ac2bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A4B2C1D0(2)给出下列结论：命题“若綈 p，则 q”的逆否命题是“若 p，则綈 q”；命题“nN*，n23n 能被 10 整除”的
8、否定是“nN*，n23n 不能被 10 整除”；命题“xR，x22x30”的否定是“xR，x22x30”其中结论正确的是_(填写序号)B(3)已知 p：函数 yx2mx1 在(1，)内单调递增，q：函数 y4x24(m2)x1 大于零恒成立若p 或 q 为真，p 且 q 为假，则 m 的取值范围是_【解析】(1)原命题是一个假命题，因为当 c0 时，不等式的两边同乘上一个 0 得到的是一个等式；原命题的逆命题是一个真命题，因为当 ac2bc2 时，一定有 c20，所以必有 c20，两端同除一个正数，不等式方向不变，即若 ac2bc2，则 ab 成立根据命题的等价关系，四个命题中有 2 个真命题
9、(2)由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故不正确；特称命题的否定是全称命题，故正确；虽然全称命题的否定是特称命题，但对结论的否定错误，故不正确所以只有正确，故填.(1，2)3，)(3)设 p，q 都为真则由 p：函数 yx2mx1 在(1，)内单调递增m21，解得 m2.由 q：函数 y4x24(m2)x1 大于零恒成立4(m2)24410，解得 1m3.p 或 q 为真，p 且 q 为假，p，q 中一个为假，另一个为真 当 p 真，q 假时，根据命题与集合之间的对应关系，得 p 真时，m2，q 假时，m1 或 m3.p 真 q 假时，m2，m1或m3m3
10、.当 p 假，q 真时，根据命题与集合之间的对应关系，得 p 假时，m2，q 真时，1m3.p 假 q 真时，m2，1m31m2.综合可得，m 的取值范围为(1，2)3，)【点评】(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”(2)判断命题的真假，如果不易直接判断，可应用互为逆否命题的等价性来判断：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价(3)分清“否命题”与“命题的否定”的区别“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原
11、命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”是否定原命题，只否定命题的结论(4)由“p 或 q”为真，“p 且 q”为假判断出 p 和 q 一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求 m 的范围逻辑联结 词 与 集 合 的 运 算 具 有 一 致 性，逻 辑 联 结 词 中“且”“或”“非”恰 好 分 别 对 应 集 合 运 算 的“交”“并”“补”二、充分条件与必要条件例2(1)已知向量 a(1，2)，b(2，3)，则“4”是“向量 mab 与向量 n(3，1)的夹角为钝角”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)设 a0 且 a1，则“函数 f
12、(x)ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)(2a)x3在 R 上是增函数”的_条件(3)设 p：实数 x 满足 x24ax3a20，其中 a0，q：实数 x 满足x2x60，x22x80.若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是_A充分不必要(1，2【解析】(1)m(2，23)，m，n 的夹角为钝角的充要条件是 mn0 且 mn(0)mn0，即 3(2)(23)0，即 3；若 mn，则 23，23，解得 17，故 mn(0)不可能，所以，m，n 的夹角为钝角的充要条件是 3，“0)，若x10，4，x20，4，使得 g(x1)f(x2)成立，则实数 m 的取值范围是()
13、A1，2 B.1，43C.23，2D.23，43AB【解析】(1)当 p 为真时，有 a1；当 q 为真时，4a24(2a)0，解得 a1 或 a2.若命题“p 且 q”是真命题，则 a2 或 a1.(2)因为 f(x)2sin2x3，当 x20，4 时，f(x2)1，2；而 x10，4 时，由于 m0，所以 mcos2x6 m2，m，从而 g(x1)3m2 3，3m，若x10，4，x20，4，使得 g(x1)f(x2)成立，则3m2，3m2 31，解得 1m43.【点评】含全称量词、存在量词的问题，应充分理解量词的含义并转化运用四、综合应用例4(1)下列命题错误的是()A“x2”是“x23x
14、20”的充分不必要条件B命题“x23x20，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x23x20”C命题“对任意 k0，方程 x2xk0 有实根”的否定是“存在 k0，方程 x2xk0 无实根”D若命题 p：xAB，则綈 p：xA 且 xBB(2)已知 mR，命题 p：x0，1，都有不等式2x2m23m 成立；命题 q：x1，1，使得max 成立若 p 为真命题，则 m 的取值范围为_；当 a1 时，若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，则 m的取值范围为_【解析】(1)命题“x23x20，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x23x20”(2)对任意 x0，1，不等式 2x2m23m恒成立
15、，(2x2)minm23m，即 m23m2，解得1m2.因此，若 p 为真命题时，m 的取值范围是1，2 1，2(，1)(1，2a1，且存在 x1，1，使得 max 成立，m1，命题 q 为真时，m1.p 且 q 为假，p 或 q 为真，p，q 中一个是真命题，一个是假命题 当 p 真 q 假时，则1m2，m1，解得 1m2；当 p 假 q 真时，m1或m2，m1，即 m1.综上所述，m 的取值范围为(，1)(1，2【点评】1.全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词(特称命题的否定是将存在量词改为全称量词)，并将结论否定；而命题的否定是直接
16、否定结论即可 2“綈 p”形式常用否定词语.正面词语 大于()是都是所有的任意一个至少一个 反面词语 不大于()不是 不都是至少一个不 某个不一个也没有 3.pq：p，q 中有一个为真，则 pq 为真；pq：p，q 中有一个为假，则 pq 为假，即一假即假；綈 p 与 p 的真假相反备选题例5设数列an、bn、cn满足：bnanan2，cnan2an13an2(n1，2，3，)证明：an为等差数列的充分必要条件是cn为等差数列且 bn bn1(n1，2，3，)【解析】必要性：设是an公差为 d1 的等差数列，则 bn1bn(an1an3)(anan2)(aa1an)(an3an2)d1d10
17、所以 bnbn1(n1，2，3，)成立 又 cn1cn(an1an)2(an2an1)3(an1an2)d12d13d16d1(常数)(n1，2，3，)所以数列an为等差数列 充分性：设数列cn是公差为 d2 的等差数列，且bnbn1(n1，2，3，)，cn2n2an13an2 cn2an22an33an4 得 cncn2(anan2)2(an1an3)3(an2an4)bn2bn13bn2 cncn2(cncn1)(cn1cn2)2d2 bn2bn13bn22d2 从而有 bn12bn23bn32d2 得(bn1bn)2(bn2bn1)3(bn3bn2)bn1bn0，bn2bn10，bn3b
18、n20，由得 bn1bn0(n1，2，3，)，由此不妨设 bnd3(n1，2，3，)，则 anan2d3(常数)由此 cnan2an13an2cn4an2an13d3，从而 cn14an12an25d3 两式相减得 cn1cn2(an1an)2d3，因此 an1an12(cc1cc)d312d2d3(常数)(n1，2，3，)所以数列an是等差数列1逻辑中“或”、“且”、“非”的含义与集合中“并”、“交”、“补”的含义非常类似，在一定条件下可相互转化2判定复合命题真假的办法是：首先判定简单命题的真假，再判定复合命题的真假3否命题与命题的否定是两个不同的概念，要会区别，另外要掌握一些常见词的否定词
19、4原命题它的逆否命题，原命题的逆命题原命题的否命题，因此，判定四种命题的真假时，只需判定其中两个，或者当判定原命题困难时，可改为判定其逆否命题5因为“pq”“綈 q綈 p”，意思为若“pq”等价于没有 q 就没有 p，所以 p 是 q 的充分条件等价于 q 是 p 的必要条件，他们是同一逻辑关系的不同表述6求充要条件与证充要条件一样，必须注意充分性与必要性两个方面，二者的差异是：证明时，条件结论都已知道，但求充要条件时，一般不知道条件，故必须先由结论出发，求出必要条件，再验证充分性7要判断一个全称命题的真假，必须对限定的集合 M 中的每一元素 x，验证 p(x)是否成立要判断一个特称命题是真命
20、题，只要能在集合 M 中找到一个元素x0，使 p(x0)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题8注意：一个全称命题的否定是特称命题，如命题“xM，p(x)成立”的否定“x0M，p(x0)不成立”；特称命题的否定是全称命题，如命题“x0M，p(x0)成立”的否定“xM，p(x)不成立”【解析】依题意可知，命题 p 为真命题，命题 q 为假命题由真值表可知 pq 为假，pq 为真，p(綈 q)为真，(綈 p)q 为假【命题立意】本题考查复合命题真假性的判定属容易题1(2014 湖南)已知命题 p：若 xy，则xy，命题 q：若 xy，则 x2y2.在命
21、题pq；pq；p(綈 q)；(綈 p)q 中，真命题是()ABCDC2(2014 安徽)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B【解析】ln(x1)001x11x0，而(1，0)是(，0)的真子集，所“x0”是“ln(x1)0”的必要不充分条件【命题立意】本题考查对数函数的性质与充要条件的意义属中档题3(2014 新课标全国)不等式组xy1，x2y4 的解集记为 D，有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命题是()Ap2，p3
22、Bp1，p4Cp1，p2Dp1，p3C【命题立意】本题考查量词的含义和线性规划及转化化归思想和数形结合思想属中档题【解析】不等式组表示的区域 D如图中的阴影部分所示，设目标函数 zx2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，1)处取得最小值，且 zmin220，即 x2y 的取值范围是0，)，故命题 p1，p2 为真，命题 p3，p4 为假1已知命题 p：xR，sin x12x.则綈 p 为()AxR，sin x12xBxR，sin x12xCxR，sin x12xDxR，sin x12xD【解析】由特称命题的否定知 D 正确【解析】若 f(x)ax3 在区间1，1上存在零点，则
23、f(1)f(1)0，即(3a)(a3)0，a3 或 a3，“a4”是“a3 或 a3”的充分不必要条件，“a4”是“函数 f(x)ax3 在区间1，1上存在零点”的充分不必要条件2“ax1Cx(，0)，2xcos x【解析】xR，sin xcos x 2，x(，0)，2x3x,sin4 cos4，所以 A、C、D 都是假命题令f(x)exx1，则 f(x)ex10 对于 x(0，)恒成立，故 f(x)在 x(0，)上单调递增，f(x)f(0)0，所以 exx1，B 是真命题B5已知命题 p：xR，(m1)(x21)0，命题q：xR，x2mx10 恒成立若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围
24、为()Am2Bm2 或 m1Cm2 或 m2D1m2【解析】若 pq 为假命题，则 p 与 q 至少有一个为假命题若 p 假 q 真，则m10，m240，解得1m2；若 q 假 p 真，则m10，m240，解得 m2；若 q 假 p 假，则m10，m240，解得 m2.综上可得：m2 或 m1.B6命题：“若 x22，则|x|2”的逆否命题是_【解析】“若 p，则 q”的逆否命题是“若非 q，则非 p”因此命题：“若 x22，则|x|2”的逆否命题是“若|x|2，则 x22”若|x|，则x2227设集合 U(x，y)|xR，yR，A(x，y)|2xym0，B(x，y)|xyn0，那么点 P(2
25、，3)A(UB)的充要条件是_ _【解析】P(2，3)A(x，y)|2xym0，43m0 即 m1，又P(2，3)(UB)(x，y)|xyn0，23n0，即 n1 且 n1 且 n1且n0 知，A(n)B(n)C(n)均大于 0，于是 B（n）A（n）a2a3an1a1a2an q（a1a2an）a1a2anq；C（n）B（n）a3a4an2a2a3an1q（a2a3an1）a2a3an1q；即B（n）A（n）C（n）B（n）q，所以三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列 充分性：若对于任意 nN*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列，则 B(n)qA(n)，C(n)qB(n)，于是 C(n)B(n)qB(n)A(n)，得 an2a2q(an1a1)，即 an2qan1a2qa1.由 n1 有 B(1)qA(1)，即 a2qa1，从而 an2qan10.因为 an0，所以an2an1a2a1q，故数列an是首项为a1，公比为 q 的等比数列，综上所述，数列an是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列