1、3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性水平11函数y2x在定义域上是减函数()2若函数yf(x)在区间1，3上单调递减，则函数yf(x)的单调递减区间是1，3.()3函数f(x)x2，因为12，且f(1)f(2)，则f(x)是R上的减函数()4若函数f(x)在(，0)和(0，)上单调递减，则f(x)在(，0)(0，)上单调递减()5若函数f(x)在区间(1，2和(2，3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1，3)上单调递增()【解析】1.2提示：.“f(x)在区间1，3上单调递减”是“yf(x)的单调递减区间是1，3”的必要不充分条件3提示：.因为20，f(2)f(0)，所以f(x)在R上
2、是减函数错误另外：特殊数据可以判断函数的不单调性，不能判断函数的单调性，函数单调性的定义中，x1，x2D且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)00或(x1x2)f(x1)f(x2)00.4提示：.如函数f(x)在定义域(，0)(0，)上不是单调递减5提示：.函数f(x)满足在区间(1，2和(2，3)上均单调递增，但是f(x)在区间(1，3)上不单调题组一根据函数单调性的定义判断函数的单调性1定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有0，则必有()A函数f(x)先增后减B函数f(x)先减后增C函数f(x)是R上的增函数D函数f(x)是R上的减函数【解析】选C.由0知，当ab
3、时，f(a)f(b)；当ab时，f(a)f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数2给出下列命题，其中正确的是()A若函数f(x)的定义域为0，2，则函数f(2x)的定义域为B函数f(x)的单调递减区间是(，0)(0，)C若定义在R上的函数f(x)在区间(，0上单调递增，在区间(0，)上也单调递增，则f(x)在R上单调递增Dx1，x2是f(x)定义域内的任意的两个值，且x1f(x2)，则f(x)是减函数【解析】选D.对于A，若函数f(x)的定义域为0，2，则函数f(2x)的定义域为0，1，故A错误；对于B，函数f(x)的单调递减区间是(，0)和(0，)，故B错误；对于C，比如f(x)，故C错误；
4、对于D，为单调性的定义，正确题组二简单复合函数的单调性1(多选)已知f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论中不正确的是()Ayf(x)2是增函数By(f(x)0)是减函数Cyf(x)是减函数Dy|f(x)|是增函数【解析】选ABD.设f(x)x，在R上递增对于A选项，yx2在(，0)上递减，故A选项结论错误对于B选项，y在(，0)和(0，)上递减，但不能说y是减函数，故B选项结论错误对于C选项，yx是减函数证明一般性：由于f(x)是定义在R上的增函数，根据复合函数单调性同增异减可知yf(x)是R上的减函数故C选项结论正确对于D选项，y|x|在(，0)上递减，故D选项结论错误2函数y的单调递增
5、区间为()A BC D【解析】选D.令tx23x20，解得1x2，所以函数的定义域为1，2，因为t在上递增，在上递减且y在(0，)上递增，所以函数的单调递增区间为.题组三求函数的单调区间1函数f(x)x22x3的单调递减区间是()A(，1) B(1，)C(，2) D(2，)【解析】选B.易知函数f(x)x22x3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x1，所以其单调减区间是(1，).2如图所示的是定义在区间5，5上的函数yf(x)的图象，则函数的单调递减区间是_，单调递增区间是_【解析】观察图象可知，单调递增区间为5，2)，1，3)，单调递减区间为2，1)，3，5.答案：2，1)和3，55，2)
6、和1，3)题组四分段函数和抽象函数的单调性1函数f(x)的单调性为()A在(，0)和0，)上单调递增B在(，0)和0，)上单调递减C在(，)上单调递增D在(，)上单调递减【解析】选C.如图，画出f(x)的图象，可得f(x)的增区间为(，).2已知函数f(x)的定义域为R，满足f(ab)f(a)f(b)且f(0)1，当x0时，f(x)1，则f(x)的值域为_，单调区间为_【解析】当x0，所以f(x)1，又因为f(0)1，所以f(0)ff(x)f(x)1，所以0f(x)1，所以f(x)的值域为.对于任意的实数x1，x2，若x10，所以f(x2x1)1，f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(
7、x1)f(x1)，即f(x2)f(x1)，所以f(x)在上是增函数，f(x)的增区间为.答案：(0，)(，)易错点一混淆“单调区间”和“在区间单调”已知函数f(x)x2ax的单调递增区间为1，)，则实数a的取值范围为()A2 Ba2Ca2 Da2【解析】选A.函数f(x)x2axa2的图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x，函数的单调递增区间为，依题意，得1a2.易错点二对分段函数的单调性理解错误(多选)(2021长治高一检测)已知函数f(x)是R上的增函数，则实数a的取值可以是()A0 B2 C1 D3【解析】选BD.由题意，函数yx2ax5的图象开口朝下，对称轴为x，因为函数f(x)是R上
8、的增函数，所以，解得3a2.所以实数a的取值可以是2，3.【易错误区】分段函数是将一个函数分成几段，而不是几个函数，同时，分段函数的单调性是对某区间内的，一定要分清楚端点处的取值水平1、2限时30分钟分值50分战报得分_一、选择题(每小题5分，共25分)1如图是函数yf(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选B.由图象，可知函数yf(x)的单调递减区间有2个【加练备选】函数y=f(x)在区间-2,2上的图象如图所示,则此函数的增区间是()A.-2,0B.0,1C.-2,1D.-1,1【解析】选C.由图可知,自左向右看图象为上升的,是增函数,则函数的增区间
9、是-2,1.2下列说法正确的是()A定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2(a，b)，且x1x2，满足f(x1)f(x2)，则f(x)在(a，b)上单调递增B定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2(a，b)，使得x1x2时，有f(x1)f(x2)，则f(x)在(a，b)上单调递增C若f(x)在区间I1上单调递增，在区间I2上也单调递增，那么f(x)在I1I2上也一定单调递增D若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，则x1x2【解析】选D.对于选项A，B，根据增函数的概念可知，应是：对于任意的x1，x2(a，b)，且x1x2，满足f(x1
10、)f(x2)，则f(x)在(a，b)上单调递增，故A，B错误；对于选项C，设函数为y，x(，0)(0，)，显然y在(，0)和(0，)上都单调递增，但整体不是增函数，故C错误；对于选项D，根据单调函数的性质，f(x)在区间I上单调递增，即f(x)随x增大而增大，因此，由f(x1)f(x2)(x1，x2I)，可得x10，则称函数f(x)为“理想函数”给出下列四个定义域为(0，)的函数：f(x)1；f(x)x2；f(x)；f(x)x2x；能被称为“理想函数”的有_个()A0 B1 C2 D3【解析】选C.依题意，定义在(0，)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，恒有0，
11、不妨设x1x20，可得x2f(x1)x1f(x2)0，即x2f(x1)x1f(x2)，即，所以函数y在(0，)上单调递增即f(x)为“理想函数”的等价条件是函数y在(0，)上单调递增y(x0)在(0，)上单调递减，不符合；yx(x0)在(0，)上单调递增，符合；y(x0)在(0，)上单调递减，不符合；yx1(x0)在(0，)上单调递增，符合综上所述，符合题意5(多选)如果函数f(x)在a，b上是增函数，对于任意的x1，x2a，b(x1x2)，则下列结论中正确的是()A0B(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(a)f(x1)f(x2)f(b)D1，则x0的取值范围是_【解析】当x1，解得0x0
12、1，6，x03.综上所述，x0的取值范围是(0，2)(3，).答案：(0，2)(3，)8已知函数f(x)2ax24(a3)x5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是_函数f(x)在R上不具有单调性；当a1时，f(x)在(，0)上单调递减；若f(x)的单调递减区间是(，4，则a的值为1；若f(x)在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是.【解析】当a0时，f(x)12x5，在R上是减函数，错误；当a1时，f(x)2x28x5，其单调递减区间是(，2，因此f(x)在(，0)上单调递减，正确；由f(x)的单调递减区间是(，4得，a的值不存在，错误；在中，当a0时，f(x)12x5，在(，3)上
13、是减函数；当a0时，由，得0f(x2x2).【解析】(1)因为f(1)f(1)0，所以0，解得b0，所以f(x).(2)f(x)是增函数，证明如下：设实数x1，x2满足1x1x21，则f(x1)f(x2)，因为1x1x21，所以x1x210，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在定义域1，1上是增函数(3)由(2)及函数的单调性定义可得，解得x21.【加练备选】已知函数f(x)=,x2,4.(1)用定义证明f(x)在定义域内是单调递减函数;(2)求该函数的值域.【解析】(1)根据题意,f(x)=1+,设2x1x24,f(x1)-f(x2)=-=-=,又由2x10,x2
14、-10,x1-10,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),则函数f(x)在定义域内是单调递减.(2)由(1)的结论,函数f(x)在2,4内是单调递减,则其最大值为f(2)=2,最小值为f(4)=.即函数f(x)的值域为.(2021肇庆高一检测)已知函数f(x)x.(1)求证：f(x)在上是增函数；(2)求f(x)在上的值域【解析】(1)设任意两个x1，x2(1，)，并且x1x11，所以x1x21，所以x1x210，故0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在区间(1，)上单调递增(2)由(1)可知f(x)在2，4上单调递增，所以当x2，4时，f(2)f(x)f(4).又因为f(2)2，f(4)4，所以f(x)在2，4上的最大值为，最小值为，即f(x)在2，4上的值域为.