1、2020-2021学年河北省唐山市迁西一中高一（下）期中数学试卷一单项选择题（共8小题）.1复数z满足z1i，则|z|（）A2BCD2已知向量，满足|1，1，则（2）（）A4B3C2D03已知i是虚数单位，复数的共轭复数是（）AiBiC1D14在ABC中，已知A60，a，b，则B等于（）A45或135B60C45D1355在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BC1与B1D1所成角为（）A30B45C60D906已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，且，则为（）ABCD7已知直线l、m，平面、则下列条件能推出lm 的是（）Al，m，B，l，mCl，mDl，m8已知平面内一点P
2、及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是（）A点P在线段AB上B点P在线段BC上C点P在线段AC上D点p在ABC外部二多项选择题（共4个小题，每题5分，共20分）9已知复数z，则（）Az2021是纯虚数B若|z1z|1，则|z1|的最大值是2Cz的共轭复数为iD复数+zi在复平面内对应的点在第二象限10下列命题为假命题的是（）A若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C垂直于同一条直线的两条直线相互平行D若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直11下列说法正确的是（）A若向量，则M，P，Q三点共线B若非零
3、向量和不共线，若和共线，则k1C与向量垂直的单位向量可以是D平面上三点的坐标分别为A（2，1），B（1，3），C（3，4），若点D与A，B，C三点能构成平行四边形四个顶点则D的坐标可以是（4，6）12正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则（）A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面AEF的距离相等三填空题（共4小题，每题5分，共20分）13若复数z（a2a）+ai（i是虚数单位，aR）是纯虚数，则a 14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a2，b2，sinB+co
4、sB，则角A的大小为 15如图：在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1面ABC，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件 时，有AB1BC1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）16已知ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且csinBa，则B 四解答题（共6小题，共70分）17已知|4，|3，（23）（2+）61求：（1）与的夹角；（2）|+|18在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（BC）4sinBsinC1（1）求A；（2）若a3，sin，求b19在acosC+asinCbc0；（sinBsinC）2sin2AsinBsinC；2c
5、osA（ccosB+bcosC）a这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答问题：ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 _（1）求A；（2）若a3，且向量（1，sinB）与（2，sinC）共线，求ABC的面积20如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求四棱锥PABCD的侧面积21如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90（1）证明：直线BC平面PAD；（2）若PCD面积为2，求四棱锥PABCD的体积22如图，在长方体
6、ABCDA1B1C1D1中AA1AD1，E为CD中点（1）求证：B1EAD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由参考答案一单项选择题（共8小题）.1复数z满足z1i，则|z|（）A2BCD解：z1i，|z|故选：C2已知向量，满足|1，1，则（2）（）A4B3C2D0解：向量，满足|1，1，则（2）22+13，故选：B3已知i是虚数单位，复数的共轭复数是（）AiBiC1D1解：，复数的共轭复数是i故选：B4在ABC中，已知A60，a，b，则B等于（）A45或135B60C45D135解：由正弦定理知：sinB0BB45或135又ab，
7、BA，BB45故选：C5在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BC1与B1D1所成角为（）A30B45C60D90解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1AD1连接AB1，B1D1，AD1，则AD1AB1B1D1，AD1B1为等边三角形，故AD1B160，即AD1与B1D1所成角为60，即BC1与B1D所成角为60故选：C6已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，且，则为（）ABCD解：如图，设，则，故选：B7已知直线l、m，平面、则下列条件能推出lm 的是（）Al，m，B，l，mCl，mDl，m解：l，m，可知lm 或l与m是异面直线所以A不正确；，l，m，满足平面与平
8、面培训的性质定理，所以B正确；l，m，可知lm 或l与m是异面直线所以C不正确；l，m，可知lm 或l与m是相交直线所以D不正确；故选：B8已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是（）A点P在线段AB上B点P在线段BC上C点P在线段AC上D点p在ABC外部解：，即，得由共线向量定理知，A、P、C三点共线，且|2|，即点P在线段AC上，P且为AC的一个三等分点，如右图所示故选：C二多项选择题（共4个小题，每小题至少有两个正确选项，每题5分，共20分）9已知复数z，则（）Az2021是纯虚数B若|z1z|1，则|z1|的最大值是2Cz的共轭复数为iD复数+zi在复平面内对应的点在第
9、二象限解：z，z2021i2021（i4）505ii，是纯虚数，故A正确；若|z1z|1，即|z1i|1，则z1所对应点的轨迹为以（0，1）为圆心，以1为半径的圆，则|z1|的最大值是2，故B正确；z的共轭复数为i，故C正确；+zii+ii1i，在复平面内对应点的坐标为（1，1），在第三象限，故D错误故选：ABC10下列命题为假命题的是（）A若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C垂直于同一条直线的两条直线相互平行D若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直解：对于A：两个相交平面有一条交线，交线由无数个
10、公共点，但是这两个平面不重合，故A错误；对于B：若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是面面垂直的判定定理，故B正确；对于C：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故C错误；对于D：若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直，故D正确；故选：AC11下列说法正确的是（）A若向量，则M，P，Q三点共线B若非零向量和不共线，若和共线，则k1C与向量垂直的单位向量可以是D平面上三点的坐标分别为A（2，1），B（1，3），C（3，4），若点D与A，B，C三点能构成平行四边形四个顶点则D的坐标可以是（4，6）解：对于A：向量，则，故M、P、Q三
11、点共线，故A正确；对于B：非零向量和不共线，若和共线，则k1，故B错误；对于C：向量垂直的单位向量可以是，满足，故C正确；对于D：平面上三点的坐标分别为A（2，1），B（1，3），C（3，4），若点D与A，B，C三点能构成平行四边形四个顶点则D的坐标有三种情况，当AD和BC为对角线时，利用中点坐标公式解得：D（4，6），故D正确；故选：ACD12正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则（）A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面AEF的距离相等解：取DD1 中点M，则AM为AF在平
12、面AA1D1D上的射影，AM与DD1 不垂直，AF与DD1不垂直，故A错；取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN平面AEF，故B正确；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S，故C正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错故选：BC三填空题（共4小题，每题5分，共20分）13若复数z（a2a）+ai（i是虚数单位，aR）是纯虚数，则a1解：复数z（a2a）+ai是纯虚数，则a2a0，a0，解得a1故答案为：114在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b
13、，c若a2，b2，sinB+cosB，则角A的大小为90解：由sinB+cosB，两边平方可得1+2sinBcosB2，2sinBcosB1，即sin2B1，0B，B45，又a2，b2，在ABC中，由正弦定理得：，解得sinA1，又A为三角形内角，A90故答案为：9015如图：在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1面ABC，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件A1C1B1C1时，有AB1BC1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）解：当底面A1B1C1满足条件A1C1B1C1时，有AB1BC1理由如下：AA1面ABC，BCCC1，四边形BCC1B1是正方形，BC1B1
14、C，CC1AA1，A1C1CC1又A1C1B1C1，CC1B1C1C1，CC1，B1C1平面BCC1B1，A1C1平面BCC1B1，ACA1C1，AC平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，BC1AC，AC、B1C平面ACB1，BC1平面ACB1，当底面A1B1C1满足条件A1C1B1C1时，有AB1BC1故答案为：A1C1B1C116已知ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且csinBa，则B（或135）解：ABC中，由csinBa，由余弦定理得bcosCcsinBa，由正弦定理得sinBcosCsinCsinBsinA，即sinBcosCsinCsinBsin（B+C）sin
15、BcosC+cosBsinC，所以sinCsinBcosBsinC；又C（0，），所以sinC0，所以sinBcosB，所以tanB1；又B（0，），所以B（或135）故答案为：（或135）四解答题（共6小题，共70分）17已知|4，|3，（23）（2+）61求：（1）与的夹角；（2）|+|解：（1），即33261化为 （2）18在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（BC）4sinBsinC1（1）求A；（2）若a3，sin，求b解：（1）由2cos（BC）4sinBsinC1 得，2（cosBcosC+sinBsinC）4sinBsinC1，即2（cosBcosCsi
16、nBsinC）1从而2cos（B+C）1，得cos（B+C） 4分0B+CB+C，故A 6分（2）由题意可得，0B，由sin，得cos，sinB2sincos 10分由正弦定理可得，解得b 12分19在acosC+asinCbc0；（sinBsinC）2sin2AsinBsinC；2cosA（ccosB+bcosC）a这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答问题：ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 _（1）求A；（2）若a3，且向量（1，sinB）与（2，sinC）共线，求ABC的面积解：（1）若选，因为acosC+asinCbc0，所以sinC+cosC，
17、整理得：sinC+cosC，所以sinCsinA+cosCsinAsin（A+C）+sinC，化简得：（sinAcosA）sinCsinC，所以sinAcosA1，故sin（A30），由于0A180，所以A60若选，因为（sinBsinC）2sin2AsinBsinC，整理可得sin2B+sin2Csin2AsinBsinC，由正弦定理可得b2+c2a2bc，由余弦定理可得cosA，由于0A180，所以A60若选，因为2cosA（ccosB+bcosC）a，整理得：2cosA（sinCcosB+sinBcosC）sinA，所以2cosAsinAsinA，整理得：cosA，由于0A180，所以A
18、60（2）向量（1，sinB）与（2，sinC）共线，sinC2sinB0，可得sinC2sinB，即c2b，A60，a3，由余弦定理可得9b2+c2bcb2+4b22b23b2，解得b，c2，ABC的面积SbcsinA20如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求四棱锥PABCD的侧面积解：（1）证明：由BAPCDP90，可得ABAP，CDDP，由于ABCD，可得ABDP，而AP，DP为平面PAD内的两条相交直线，所以AB平面PAD，又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD；（2）设PAPDABDCa，
19、由APD90，可得APDP，则ADAPa，由AB平面PAD，可得ABAP，则PBABa，又CDDP，可得PCCDa，而BCADa，所以四棱锥PABCD的侧面积为SPAD+SPCD+SPBC+SPABa2+a2+（a）2+a2a2+a221如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90（1）证明：直线BC平面PAD；（2）若PCD面积为2，求四棱锥PABCD的体积【解答】（1）证明：四棱锥PABCD中，BADABC90BCAD，AD平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAD；（2）解：四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
20、ABCD，ABBCAD，BADABC90设AD2x，则ABBCx，CD，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE，PO，PE，PCD面积为2，可得：2，即：，解得x2，PO2则VPABCD（BC+AD）ABPO422如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中AA1AD1，E为CD中点（1）求证：B1EAD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由【解答】（1）证明：连接A1D，B1C，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，A1DAD1，A1B1平面A1ADD1，AD1A1B1，A1DA1B1A1，AD1平面A1B1CD，B1E平面A1B1CD，B1EAD1；（2）解：存在AA1的中点P，使得DP平面B1AE，证明如下：取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，则PQA1B1，且PQA1B1，DEA1B1，且DEA1B1，PQDE且PQDE四边形PQDE为平行四边形，PDQE又PD平面AB1E，QE平面AB1EPD平面AB1E此时APAA1