1、2018级普通高中学科素养水平监测试卷数学一、单项选择题1. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，若是纯虚数，则（ ）A. 2B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数几何意义，可得，根据复数的运算法则，即可得答案.【详解】由题意得：，所以，又是纯虚数，所以，解得，故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐一分析选项即可.【详解】解：根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性可知：A
2、：在上单调递减；B：在上单调递减；C：在上单调递增；D：在上单调递减；故选：C【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及幂函数的单调性的判断，属于基础题.3. 现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）A. 60B. 64C. 81D. 360【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】每名同学可以选3个课外知识讲座的其中一个，根据分步乘法计数原理可知不同选法的种数是故选：C【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题.4. 5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术，某公司研发5G项目时遇到一
3、项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为（ ）A. 0.56B. 0.86C. 0.94D. 0.96【答案】C【解析】【分析】计算不能攻克的概率，得到答案.【详解】根据题意：.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5. 若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】，故选：B【点睛】本题主要考查了指数式和对数式比较大小问题，属于中档题.6. 随机变量的分布列如下表：1
4、01若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由分布列中概率和为1和期望的值可以计算出的值，代入方差公式可以计算方差.【详解】解：，由表中数据可知，解得：.又，.所以.故选：A【点睛】本题考查分布列的性质以及期望、方差的公式，属于基础题.7. 设函数的导函数为，则图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出导函数，然后研究的性质，用排除法确定正确选项【详解】因为，所以，所以，所以函数是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以选项B，C错误；又因为其图象过原点，所以选项A错误.故选：D.【点睛】本题考查导数的运算，考查
5、由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项8. 已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）服从正态分布，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（ ）附：若，则，A. 8718件B. 8772件C. 8128件D. 8186件【答案】D【解析】【分析】根据正态分布模型，计算对应的概率值，从而求得所需的概率，即可得答案.【详解】由题意可得：，则质量在（82,98）内的概率，质量在（74,106）内的概率，所以质量在（82，106）内的概率，所以质量在区间（82，106）内的产品估计有件，故选：D【点睛】本
6、题考查正态分布中原则的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.二、多项选择题9. 某旅游景点2019年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：）的折线图如图，则（ ）A. 1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月B. 1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系C. 最高气温与最低气温的差逐步减小D. 最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系【答案】BD【解析】【分析】由该旅游景点2019年1月至9月每月最低气温与最高气温的折线图观察出选项即可.【详解】选项1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是1月，错误；选项1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系，正确；
7、选项最高气温与最低气温的差不稳定，错误；选项最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系，正确.故选：.【点睛】本题主要考查看图识图，根据散点图判断是否线性相关.10. 下列结论正确是（ ）A. 已知相关变量满足回归方程，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B. 在两个变量与的回归模型中，用相关指数刻画回归的效果，的值越大，模型的拟合效果越好C. 若复数，则D. 若命题：，则：，【答案】ABD【解析】【分析】根据残差的计算方法判断A，根据相关指数的性质判断B，根据复数的模长公式判断C，根据否定的定义判断D.【详解】当时，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A正确；在两个变量与的回归模型中
8、，的值越大，模型的拟合效果越好，则B正确；，则C错误；由否定的定义可知，D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题.11. 已知函数在上单调递增，且，则（ ）A. 的图象关于对称B. C. D. 不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】利用函数的对称性判断A正确；利用对称性得出，结合在上单调递增，得出和；利用单调性解出不等式判断出D正确【详解】函数满足，可得的图象关于对称，A正确；和关于对称，故，又函数在上单调递增，则，即；，即，B错误，C正确；和关于对称，则，又等价于或，在上单调递增，或，D正确；故选：ACD【点睛】本题考查函数性质的应用
9、，考查抽象函数的对称性和单调性，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题12. 已知函数，下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. C. 若，则或D. 若方程有两个不同的实数根，则【答案】BC【解析】【分析】根据的解析式，结合指对数函数的运算法则，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：由，得或，解得或，故A错误；对于B：，因为，所以，故B正确；对于C：由，得或解得或，故C正确；对于D：做出的图像，如下图所示：又，结合图像可得有两个不同的实数根，即图像与图像有两个交点，所以，故D错误.故选：BC【点睛】本题考查指数函数、对数函数图像与性质、指对数的运算，考查计算化简，分析求值的能力，考查数形
10、结合的思想，属中档题.三、填空题13. 已知为奇函数，且当，则_【答案】【解析】试题分析：因为为奇函数，所以考点：函数的奇偶性14. 在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是_.【答案】【解析】【分析】先求得正品件数，利用超几何分布公式求解即可.【详解】由题意得：20件产品中，有3件次品，17件正品，故任取2件，恰有1件是次品的概率，故答案为：【点睛】本题考查超几何分布的识别与计算，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.15. 已知的展开式各项系数之和为，则展开式中第五项的二项式系数是_，展开式中的系数是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用二项
11、展开式所有项的系数和为可求得的值，进而可计算得出展开式中第五项的二项式系数，写出二项展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项可求得展开式的系数.【详解】的展开式各项系数之和为，解得，所以，展开式中第五项的二项式系数为；的展开式的通项为，令，可得，所以，展开式中的系数为.故答案为：；.【点睛】本题考查利用二项展开式各项系数和求参数，同时也考查了指定项的系数以及二项式系数的求解，考查计算能力，属于中等题.16. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值，进而利用导数可求得函数在区
12、间上的最小值.【详解】，则.当时，对任意的，恒成立，此时，函数在区间上单调递增，且，不合乎题意；当时，令，可得（舍）或.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，解得，.，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.因此，函数处取得极小值，亦即最小值，故.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.四、解答题17. 已知函数的定义域为集合，又集合，.（1）求，；（2）若是的必要条件，求的取值范围.【答案】（1），或；（2）.【解析】【分析】（1）由定义域的性质求出集合，再由集合的基本运算求解即可；（2
13、）由必要条件的性质得出，再由包含关系求出的取值范围.【详解】解：（1）由得，或.（2）由得，.是的必要条件，得.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及利用必要条件求参数范围，属于中档题.18. 在，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知函数满足_.（1）求的值；（2）若函数，证明：.【答案】（1）1，（2）证明见解析.【解析】【分析】若选择，（1）根据，求出；（2）化简，求出的最大值可证不等式；若选择，求不出的具体值，故不能选；若选择，（1）根据，求出；（2）化简，求出的最大值可证不等式；【详解】若选择，（1）因为，所以，所以，所以，解得.（2）由（1）知，所以，所以.若选
14、择，因为，所以，所以，所以，此时求不出的具体值，所以不能选；若选择，（1）因为,所以，所以，所以，所以.（2）由（1）知，所以，所以.【点睛】本题考查了对数的运算，考查了不等式的证明，属于基础题19. 近日，高人气“网红”纷纷为湖北“带货”，助力湖北农产品销售，多家线上购物平台联合媒体共同发起“为湖北拼单”活动，倡导消费者购买湖北滞销农产品.某电商平台为某农产品公司的滞销产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价（元/件）98.88.68.48.28销量（万件）687580838490（1）根据以上数据，求关于的线性回归方程；（2）若单价定7.4
15、元，试预测一场直播带货销量能否超过100万件？参考公式：，其中，【答案】（1）；（2）能.【解析】【分析】（1）分别计算，和代入公式求解回归直线的系数即可；（2）代入计算值和100比较大小即可.【详解】（1），回归方程为.（2）若单价定为7.4元，则，若单价定为7.4元，一场直播带货销量能超过100万件.【点睛】本题主要考查了线性回归直线方程的求解及应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.20. 已知函数的图象在处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）求出在处的导数值，利用，即可求出的取值；
16、（2）根据等式分离可得：在上有两个不同的解，令，求的导数判断单调性，求最值，可求出的范围.【详解】解：（1），则，解得.（2）由（1）有.原方程可整理为.令，得，当时，当时，又，即在上是增函数，在上是减函数.当时，有最大值.，.由，得，故的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求某点处的切线斜率，考查已知根的个数求参，考查分离变量方法的应用以及考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.21. 2019年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，该平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，“学习强国平台从2月10日
17、起推出了同上一堂课名著导读课直播课堂，某学校为调研名著导读课的观看情况，在高二、高三两个年级中随机抽取了200名学生进行调研，其中高二学生占，其他相关数据如下表：观看名著导读课超过5节不超过5节合计高二年级90高三年级45合计200（1）请补填表中的空缺数据，并根据表中数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“观看节数是否超过5节”与“学生所在年级”有关；（2）以频率估计概率，若在该校高二学生中随机抽取4名学生做学习经验介绍，记观看名著导读课节数超过5节的人数为，求的分布列和数学期望.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案
18、】（1）答案见解析，能；（2）答案见解析，.【解析】【分析】（1）根据高二比例关系和表中数据可填出表格，然后利用的公式计算比较即可得出答案；（2）由频率估计概率，可知，根据二项分布的公式逐一计算概率，列出分布列，计算期望值即可.【详解】解：（1）观看名著导读课节数超过5节不超过5节合计第二年级9030120高三年级354580合计12575200的观测值.故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“观看节数超过5节”与“学生所在年级”有关.（2）由（1）知高二学生观看节数超过5节的频率为，依题意得，则，故的分布列为01234【点睛】本题考查列联表的完善和的计算，考查符合二项分布的分布列和期
19、望值的计算，考查学生分析问题的能力和计算能力，属于基础题.22. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）函数在单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）求得函数的导数，判断出在区间上的符号，由此可得出函数在上的单调性；（2）将所求不等式变形为，由函数在区间上为增函数可得，变形为，利用导数求得函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围.【详解】（1），.令，则.当时，所以，函数在区间上为增函数，此时，则，所以，函数在区间上为增函数；（2），当时，所求不等式可化为，即，易知，由（1）知，在单调递增，故只需在上恒成立.两边同取自然对数，得，即.令，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以，.故的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，同时也考查了利用导数求解函数不等式问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.