1、二十一函数奇偶性的概念【基础全面练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共20分)1设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)f(x)f(x)在R上一定是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数【解析】选A.因为F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)，定义域为R，所以函数F(x)在R上是奇函数【加固训练】已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)的值是()A.0B.-1C.1D.2【解析】选A.因为f(-x)=-x3-2x=-f(x),所以函数为奇函数,则f(a)+f(-a)=0.2(2021荆门高一检测)已知一个奇函数的定义域为1，
2、2，a，b，则ab()A3 B3 C0 D1【解析】选A.根据奇函数的定义域关于原点对称可知，ab(12)3.3函数f(x)|x1|x1|为()A奇函数B偶函数C既是奇函数也是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数【解析】选A. f(x)的定义域为R，对于任意xR，f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以f(x)为奇函数又f(1)2，f(1)2，f(1)f(1)，所以f(x)不是偶函数4已知f(x)ax2bx是定义在区间a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A B C D【解析】选B.依题意b0，且2a(a1)，所以b0且a，所以ab.二、填空题(每小题5分，共10分)5(2021海安高一
3、检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(0，)时，f(x)x3x21，则f(2)_【解析】根据题意，当x(0，)时，f(x)x3x21，则f(2)84113，又因为f(x)为奇函数，所以f(2)f(2)13.答案：136已知函数f(x)为奇函数，则ab_【解析】由函数f(x)为奇函数，得f(1)f(1)0，又f(1)0，f(1)ab，所以ab0.答案：0三、解答题7(10分)判断下列函数的奇偶性(1)f(x)|2x1|2x1|；(2)f(x)【解析】(1)奇函数定义域为R.因为f(x)|2x1|2x1|2x1|2x1|f(x)，所以f(x)为奇函数(2)奇函数画出其图象如图，可见f(
4、x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数【综合突破练】(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数【解析】选C.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数2(多选题)下列说法正确的是()Af(x)|x1|x1|是奇函数Bg(x)既不是奇函数也不
5、是偶函数C.F(x)f(x)f(x)(xR)是偶函数Dh(x)既是奇函数，又是偶函数【解析】选CD.对于A项，因为f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以f(x)是偶函数，A错误；对于B项，由1x20，得1x1，关于原点对称所以g(x)，满足g(x)g(x)，故g(x)是奇函数，B项错误；对于C项，因为F(x)f(x)f(x)，所以F(x)f(x)f(x)F(x)(xR)，所以F(x)f(x)f(x)是偶函数，C项正确；对于D项，由解得x1.故函数h(x)的定义域为1，1，且h(x)0，所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，D项正确【加固训练】(多选题)下列函数中,既是奇函数又是减函数的
6、为()A.y=-xB.y=-x2C.y=D.y=-x|x|【解析】选AD.A项,函数y=-x既是奇函数又是减函数;B项,y=-x2是偶函数,故B项错误;C项,函数y=是奇函数,但是y=在x(-,0)或(0,+)上单调递减,在定义域上不具有单调性,故C项错误;D项,函数y=-x|x|可化为y=其图象如图:故y=-x|x|既是奇函数又是减函数,故D项正确.【光速解题】分别判断4个选择项的奇偶性,排除B,再判断A,C,D的单调性,排除C.二、填空题(每小题5分，共10分)3已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_【解析】因为yf(x)x2为奇函数，所以f(x)x2
7、f(x)x2，所以f(x)f(x)2x2，又g(1)f(1)23，所以g(1)f(1)2f(1)22f(1)1.答案：14若函数f(x)是奇函数，则f(1)f_【解析】(1).因为f(x)是奇函数，所以ff(1)f(1).所以f(1)f0.答案：0三、解答题5(10分)已知函数f(x)是奇函数，且f(2).(1)求p，q的值；(2)判断f(x)在(1，)上的单调性【解析】(1)由奇函数定义，得f(x)f(x)，即.所以3xq3xq，所以2q0，所以q0.又f(2)，所以，解得p2，所以p2，q0.(2)f(x).设1x1x2，则xx1x20，f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).因为1x11，所以(x1x2)0，即f(x1)f(x2).所以f(x)在x(1，)上是增函数