1、第29讲平面向量的数量积及应用【学习目标】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题【基础检测】1设 02，向量 asin 2，cos ，bcos ，1，若 ab，则 tan _12【解析】因为 ab，所以 sin 21cos20，即 sin 2cos2，所以 2sin cos cos2，因为 02，所以cos 0，所以 2sin cos，所以 tan sin cos 12，故答案为12.2设向量 a
2、(3，3)，b(1，1)，若(ab)(ab)，则实数 _【解析】因为 ab(3，3)，ab(3，3)，因为(ab)(ab)，所以(3)(3)(3)(3)0，解得 3.33已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为，且 cos 13，向量 a3e12e2 与 b3e1e2 的夹角为，则 cos _2 23【解析】因为 a294232139，b291231138，ab92911138，所以 cos 832 22 23.【知识要点】1两向量的夹角已知非零向量 a，b，作OA a，OB b，则AOB叫做 a 与 b 的夹角a 与 b 的夹角的取值范围是_当 a 与 b 同向时，它们的夹角为_；当 a 与
3、b 反向时，它们的夹角为_；当夹角为 90时，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.2向量数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，我们把_叫做 a与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos .规定：零向量与任何向量的数量积为 0，即 0a0.0，0|a|b|cos 3向量数量积的几何意义向量的投影：|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，当 为锐角时，它是正值；当 为钝角时，_；当 为直角时，它是零ab 的几何意义：数量积 ab 等于_与 b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积它是负值a的长度|a|4平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量 a(x1
4、，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|aa|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2 夹角cos ab|a|b|cos ab 的充要条件ab0|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22x21y21x1x2y1y2x21y21 x22y22x1x2y1y205.平面向量数量积的运算律abba.(a)b(ab)a(b)(R)(ab)cacbc.一、数量积的运算例1已知向量 a(1，2)，b(2，2)(1)设 c4ab，求(bc)a；(2)若 ab 与 a 垂直，求 的值；
5、(3)求向量 a 在 b 方向上的投影【解析】(1)a(1，2)，b(2，2)，c4ab(4，8)(2，2)(6，6)bc26260，(bc)a0a0.(2)ab(1，2)(2，2)(21，22)，由于 ab 与 a 垂直，212(22)0，52.的值为52.(3)设向量 a 与 b 的夹角为，向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos.|a|cos ab|b|122（2）22（2）2 22 2 22.【点评】平面向量的数量积运算形式分为“定义式和坐标式”两种，在运算过程中注意数量运算法则的灵活应用【解析】(1)因为 A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)，所以AC(4，0)，BC(3，3
6、)所以 cosAC，BC 124 12 32 所以向量AC，BC 的夹角为 30.二、向量的模与夹角例2在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)(1)求向量AC，BC 夹角的大小；(2)若动点 D 满足CD 1，求OA OB OD 的最大值【点评】本题考查了向量的夹角与向量的模长两个概念，与三角函数只是联系在一起(2)因为 C 的坐标为(3，0)且|CD|1，所以动点 D的轨迹为以 C 为圆心的单位圆，则 D 满足参数方程xD3cos yDsin(为参数且 0，2)，所以设 D 的坐标为(3cos，sin)(0，2)，则|OAOBOD|（3cos 1）2（sin
7、 3）282（2cos 3sin），因为 2cos 3sin 的最大值为 22（3）2 7，所以|OA OB OD|的最大值为82 7（1 7）21 7.三、向量的平行与垂直关系及应用例3已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量，其中a(1，2)(1)若|c|2 5，且 ca，求 c 的坐标；(2)若|b|52，且 a2b 与 2ab 垂直，求 a 与 b的夹角.【解析】(1)设 c(x，y)，由 ca 和|c|2 5可得 1y2x0 x2y220，x2y4或x2y4，c(2，4)或 c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即 2a23ab2b20.2|a|23ab2|
8、b|20.253ab2540，ab52.cos ab|a|b|525 521.0，.【点评】应用向量的平行与垂直的条件时应注意条件转化的等价性【解析】设 BCa，ACb，ABc.由 2AB AC 3|AB|AC|得 2bccos A 3bc，所以 cos A 32.又 A(0，)，因此 A6.由 3|AB|AC|3BC 2，得 cb 3a2.于是 sin Csin B 3sin2A 34.所以 sin Csin56 C 34，sin C12cos C 32 sin C 34.因此 sin 2C 3cos 2C0 即 2sin2C3 0.四、向量的数量积的综合应用例4在ABC 中，已知 2AB
9、AC 3|AB|AC|3BC 2，求角 A，B，C 的大小【点评】平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系，如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性，若根据所给的三角函数的结构及向量间的相互关系进行处理可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度由 A6 知 0C56，所以3 2C3 0.(1)用 k 表示 ab；(2)求 ab 的最小值，并求此时 a 与 b 的夹角 的大小【解析】(1)|kab|3|akb|，两边平方得|kab|23|akb|2，k2a2b22kab3(a22kabk2b2)，ab（3k2）a2（3k21）b28k.a(cos，s
10、in)，b(cos，sin)，a21，b21，abk214k.(2)k0，(k1)20，从而 k212k，k214k 2k4k12，ab 的最小值为12，此时 cos ab|a|b|12，60，即 a 与 b 的夹角为 60.7在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若AB AC BA BC 1.(1)求证：AB；(2)求边 c 的大小；(3)若|AB AC|6，求ABC 的面积【解析】(1)证明：因为AB AC BA BC，所以 bccos Aaccos B，即 bcos Aacos B，又由正弦定理得 sin Bcos Asin Acos B，所以 sin(AB)0，因为
11、AB，所以 AB0，所以 AB.(2)因 为 AB AC 1，所 以 bccos A 1，即bcb2c2a22bc1，所以 b2c2a22，由(1)得 ab，所以 c22，所以 c 2.(3)若|AB AC|6，则|AB|2|AC|22AB AC 6，即 c2b226，所以 c2b24，又 c 2，所以 b 2，a 2，故ABC 为正三角形，所以 SABC 34(2)2 32.8在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，G 是ABC 的重心，且 56sin AGA 40sin BGB35sin CGC 0.(1)求角 B 的大小；(2)设 m(sin A，cos 2A)，n(4k，1)(k1)，mn的最大值为 5，求实数 k 的值【解析】(1)由 G 是ABC 的重心，得GA GB GC0，所以GC(GA GB)，由正弦定理，可将已知等式转化为 56aGA 40bGB 35c(GA GB)0.整理，得(56a35c)GA(40b35c)GB 0.因为GA，GB 不共线，所以56a35c0，40b35c0.由此，得 abc578.不妨设 a5，b7，c8，由余弦定理，得 cos Ba2c2b22ac528272258 12.因为 0B1时，f(t)在(0，1上为增函数，所以，当 t1 时，mn取得最大值 5.于是有：24k15，解得 k32，符合题意，所以，k32.