1、2018级普通高中学科素养水平监测试卷数学一、选择题（本大题共12小题，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上）1.某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家. 为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本. 若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（ ）A. 2B. 5C. 3D. 13【答案】B【解析】【详解】因为某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，运用分层抽样的方法来的得到20的样本，则比例为20:300=1:15，因此抽取的中型商店数是.选B2.化
2、简得（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法法则和减法法则求解即可【详解】由题,故选:A【点睛】本题考查向量的加法运算和减法运算,属于基础题3.若，则向量的坐标是（ ）A. （3，4）B. （3，4）C. （3，4）D. （3，4）【答案】D【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算法则化简求解即可【详解】解：向量（3，2），（0，1），则向量22（0，1）（3，2）（3，4）故选D【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与至少有一个红球
3、C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球【答案】C【解析】【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解.【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个
4、红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关【答案】C【解析】变量x 与中y随x增大而减小，为负相关；u 与v中，u 随v的增大
5、而增大，为正相关6.已知向量，若，则的值等于（ ）A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】根据，且，由平面向量共线的坐标表示结合商数关系求解.【详解】因为，且，所以，即，所以.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量共线的坐标表示以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.已知与之间的一组数据：01231357则与的线性回归方程必过A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出x的平均值 ，y的平均值 ，回归直线方程一定过样本的中心点（，），代入可得答案【详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（，）， ，样本中心点是（1.5，4），则y与x的线性回归
6、方程ybx+a必过点（1.5，4），故选B点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（，）8.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，则ABC是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 斜三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理，变形可得,即，所以C为直角，故三角形为直角三角形，所以选C考点：正弦定理，和角公式，判断三角形的形状9.为了解某地区高一学生身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图（如图所示）.可得这100名学生中体重在的学生人数是（ ）A. 20B. 30C
7、. 40D. 50【答案】C【解析】【分析】先计区间的小矩形的面积，再乘以100.【详解】由频率分布直方图易得体重在的学生的频率为：，所以学生的人数为.故选：C.【点睛】本题考查频率分布直方图估计频数，考查数据处理能力，属于基础题.10.下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若/，则/D. 若与是单位向量，则【答案】B【解析】【详解】试题分析：；故，不一定成立，所以A错，故B正确当时，/，故C错与是单位向量，由于与夹角不知，所以不一定成立，故D错选B.考点：向量性质11.为得到函数的图象，只需要将函数的图象向（ ）个单位A. 左平移B. 右平移C. 左平移D. 右平移【答案】A【
8、解析】【分析】先利用诱导公式将，转化为，再利用平移变换求解.【详解】因为，所以，所以为得到函数的图象，只需要将函数的图象向左平移个单位.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知为正实数，函数在上为增函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用二倍角公式化简函数解析式，再利用正弦函数的单调性求解.【详解】因为，在上为增函数，所以，即，又因为为正实数，解得.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角公式和正弦函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.第卷（非选择题部分）二、填空题（本大题共4小题，请把下列各
9、题的正确答案填写在答题卷相应的位置上）13.已知都是锐角，则=_【答案】【解析】【分析】由已知求出，再由两角差的正弦公式计算【详解】都是锐角，又，故答案为【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式考查同角间的三角函数关系解题关键是角的变换，即这在三角函数恒等变换中很重要，即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系，根据这个关系选用相应的公式计算14.已知样本的方差是2，样本的方差是_【答案】18【解析】分析】根据题意设原样本的平均数为，分析可得新样本的平均数，然后利用方差公式求解.【详解】设原样本的平均数为，所以，因为其方差为2，即，则，则样本的方差是：，.故答案为：18【点睛】本题主要考查样本估计
10、总体中的平均数和方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.若向量满足，与的夹角为60，那么_【答案】【解析】【分析】根据，与的夹角为60，求得，再由求解.【详解】因为，与的夹角为60，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.关于下列命题：函数在第一象限是增函数；函数是偶函数；函数的一个对称中心是；函数在闭区间上是增函数；写出所有正确的命题的题号_【答案】【解析】【分析】取特殊值判断.先化简函数，然后取特殊值验证.将代入验证.取特殊值， 验证.【详解】取，但，故错误.，当，故错误；，故正确.当时，当时，所以函数在闭
11、区间上不是增函数，故错误；正确的命题的题号是故答案为：【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）17.已知（1） 求的值 （2）求的值【答案】（1）0； (2) -1.【解析】【分析】由求得，(1)所求式子分子分母除以,利用同角三角函数间的基本关系化简,将的值代入计算即可求出值；(2)原式利用二倍角的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系变形,将的值代入计算即可求出值.【详解】因为所以,，（1）;(2)【点睛】此题考查了二倍角的正弦函数公式,同角三角函数间的基
12、本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.18.做投掷2颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数，写出：（1）求事件“出现点数相等”的概率 （2）求事件“出现点数之和大于8”的概率【答案】（1）（2）【解析】【详解】这个试验的基本事件空间为=(x,y)|1共有36个基本事件 （1）事件“出现点数相同”含有的基本是：（1,1），（2,2），（3,3），（4,4），（5,5），（6,6）共有6个基本事件，所以概率为（2）事件“出现点数之和大于8”含有基本事件：（3,6）（4,5）（5,4）（6,3）（4,6）（5,5）（6,4）（5,6）（6,5）
13、（6,6），共有10个基本事件，概率为19.已知是同一平面内的三个向量，；（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）设向量，根据和得到关于的方程组，从而得到答案；（2）根据与垂直，得到的值，根据向量夹角公式得到的值，从而得到的值.【详解】（1）设向量，因为，所以，解得，或所以或；（2）因为与垂直，所以，所以而，所以，得，与的夹角为，所以，因为，所以.【点睛】本题考查根据向量的平行求向量的坐标，根据向量的垂直关系求向量的夹角，属于简单题.20.在锐角中，内角对边的边长分别是，且,（）求角；（）若边，的面积等于， 求边长和.【答案】（I
14、）；（II）.【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.（II）利用三角形面积公式列方程，解方程求得的值.利用余弦定理求得的值.【详解】解（）由及正弦定理得，得.因为是锐角三角形，.（）由面积公式得.所以，得.由余弦定理得.所以.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，属于中档题.21. （已知函数.（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（II）若,求的值.【答案】函数在区间上的最大值为2，最小值为-1【解析】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函
15、数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.试题解析:（1）所以又所以由函数图像知.（2）解：由题意而所以所以所以=.考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式22.已知向量，且（1）求并判断x为何值时；（2）若最小值是，求的值【答案】（1）=2,时，；（2）【解析】【分析】（1）按向量坐标运算，计算，然后计算，由0求得值；（2）由（1）计算出的表达式，化为关于的二次函数，由于，对按小于0，在0到1之间，大于1分类讨论可求得值，注意检验【详解】（1），=2+2=4，因为，所以=2，又，若，则，所以时，（2）=，因为，所以，若，矛盾；若，解得；若，解得，矛盾综合可得【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的坐标运算，考查二倍角公式和两角和的余弦公式，考查二次函数的性质解题时只要根据运算法则进行计算化简即可本题属于基础题，难度中等
