1、河南省中原名校2021-2022学年高二上学期12月联考理科数学试卷全卷满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ） .和 .和 . 2已知点在椭圆上，则 （
2、）.点不在椭圆上 . 点不在椭圆上.点在椭圆上 .无法判断点、是否在椭圆上 3.平行六面体中，则 （ ）.1 . . .4已知向量则与的夹角为 （ ）045901805.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的个数是 （ ） PAAD 平面ABC平面PBC直线BC平面PAE 直线PD与平面ABC所成角为1个 .2个 .3个 .4个6.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽为 ( ).米 .米 .米 .米 7给出下列命题：直线的方向向量为，直线的方向向量为则直线的方向向量为，平面的法向量为，则.平面
3、的法向量分别为，则.平面经过三点A(1,0，1)，B(0,1,0)，C(1,2,0)，向量是平面的法向量，则ut1.其中真命题的序号是 ( ). . . .8若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为 （ ） A. B. C. D. 9如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则点O到平面的距离为() . . . .10若双曲线()的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个, 则双曲线离心率的取值范围是 ( ). . . .11.对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部.若点在抛物线内部，则直线与曲线C （ ） . 恰有一个公共点 . 恰有2个公共点. 可能有一个公共点，也可能有两个公共点 .
4、 没有公共点12.已知、是椭圆()的两个焦点, 是椭圆上任意一点,从任一焦点引的外角平分线的垂线,垂足为, 则点的轨迹 ( ) . 圆 . 椭圆 . 双曲线 . 抛物线二、填空题.（本题共5小题，每小题6分，共30分）13在等差数列中，已知公差，且，则_.14在中，若，则角A等于_；15设等比数列共有项，它的前项的和为100，后项之和为200，则该等比数列中间项的和等于_.16在中，若，则角B等于_.三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.）17. (本题满分10分)一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：）（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积
5、.18(本题满分12分)已知ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程.19(本题满分12分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点(1)求证：PQ平面DCC1D1； (2)求证：ACEF.20(本题满分12分)已知直线方程为，其中.（1）求直线恒过定点的坐标。当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；（2）若直线分别与轴轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程.21.(本题满分12分)已知四棱锥如图所示,，平面平面，点为线
6、段的中点（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.22.(本题满分12分)如图1，在中，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，（1）求证：平面平面；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；（3） 线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.理科数学答案一、选择题答题卡：（512=60分）题号13456789101112答案ABBADBCBCDA二、填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 145 14. 15. 16. 或 三解答题：(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17（10分）解：（1）由
7、图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个正方体的组合体.且正四棱锥的底面边长为4，四棱锥的高为2，所以体积cm3.5分（2）由三视图知，四棱锥的侧面三角形的高.该几何体表面积为cm2.10分18（12分）解：（1）B(1，1)，C(7，3)，BC的中点为M(4，2). 又A(2，4)在BC边上的中线上，所求直线方程为=，即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.6分（2）B(1，1)，C(7，3)，直线BC的斜率为=. 而BC边上的高所在直线与直BC垂直，BC边上的高所在直线的斜率为-3.又A(2，4)在BC边上的高上，所求直线方程为y-4=-3(x-2)，即BC边上的高所在直线的方
8、程为3x+y-10=0.12分19.（12分）解：(1)如图所示，连接CD1.P、Q分别为AD1、AC的中点PQCD1.而CD1平面DCC1D1，PQ/平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1.6分(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH/D1D.而D1D面ABCD，FH面ABCD，而AC面ABCD，ACFH.又E、H分别为BC、CD的中点，EHDB.而ACBD，ACEH.因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC平面EFH，而EF平面EFH，所以ACEF.12分20（12分）解：（1）直线方程为，可化为对任意都成立，
9、所以，解得，所以直线恒过定点.4分设定点为当变化时，直线时，点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，即，此时直线过点且与垂直，解得 故直线的方程为.8分（2）由于直线经过定点直线的斜率存在且，可设直线方程为可得与轴、轴的负半轴交于，两点，解得当且仅当时取等号，面积的最小值为4 , 此时直线的方程为：，即：.12分21.（12分）（1）证明：取中点，连接 ，即又，四边形为平行四边形，分别是，的中点，又平面,平面,平面，同理平面,又平面,平面平面，平面，平面.6分（2）解：平面，且，平面，过点作平面的高，交平面于点，面面且面，面，记点到平面的距离为，作，则有且，点到平面的距离为.12分22.（12分）（1）证明：，分别为，中点，/，又 =， 平面又平面，平面 平面.3分 （2） 解： ，两两互相垂直以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，则，设平面的一个法向量，则有，即，令得，所以设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为.7分 （3）解：假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为设，则，即 ，.易得平面的一个法向量为设平面的一个法向量，则有，即，令，则若二面角的余弦值为，则有，即，解得，又因为，所以故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且.12分