1、第27讲 平面向量的概念及运算【学习目标】1理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示2掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义3掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义4了解向量线性运算的性质及其几何意义【基础检测】1设 P 是ABC 所在平面内的一点，BC BA 2BP，则()AP、A、B 三点共线BP、A、C 三点共线CP、B、C 三点共线D以上均不正确【解析】BC BA 2BP，BC BPBPBA.即PCAP，P、A、C 三点共线B2如图，已知AB a，AC b，BD3DC，用 a，b 表示AD，则AD()Aa34bB.14a34bC.14a14b
2、D.34a14b【解析】CB AB AC ab，又BD 3DC，CD 14CB 14(ab)，AD AC CD b14(ab)14a34b.B3设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2，1)，且 a 与b 的方向相反，则 a 的坐标为_【解析】设 a(x，y)，x0，y0，则 x2y0且 x2y220，解得 x4，y2(舍去)，或者 x4，y2，即 a(4，2)(4，2)4若 D 为ABC 的边 BC 的中点，ABC 所在平面内有一点 P，满足PABPCP0，设|AP|PD|，则 的值为_【解析】由PABPCP0，得BA CP0，BAPC.四边形 ABPC 为平行四边形，AP2DP，2.2【知
3、识要点】1向量的有关概念(1)向量：_叫向量，一般用 a，b，c，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来表示，如：AB.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|AB|.(2)零向量：_的向量，记作 0，其方向是任意的，我们规定：零向量和任何向量平行(3)单位向量：_单位长度的向量(4)相等向量：长度相等且_的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 ab；长度相等且方向相反的向量叫做相反向量(5)平行向量：方向_的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上既有大小又有方向的量长度为零长度等于1个方向相同相同或相反3.向量的数乘运算(1)数乘向量的定义实数
4、 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当 0 时，a 与 a 的方向_；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0.(2)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩短相同(3)数乘向量的运算律设，为实数，则()aaa；(a)()a；(ab)ab.(4)共线向量(平行向量基本定理)若 ab，则 ab；反之，若 ab(b0)，则一定存在一个实数，使 ab.一、向量及其几何意义例1给出下列命题：已知，R，则()a 与 a 共线；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；向量AB 与CD
5、 是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一直线上；四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是AB DC；已知 A，B，C 是不共线的三点，O 是ABC 内的一点，若OA OB OC 0，则 O 是ABC 的重心；O 是平面内一定点，A，B，C 是平面内不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心其中正确命题是_(填命题的序号)【解析】由实数与向量的积，可知其正确 若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确 AB CD，AB 和 CD 可以共线，也可以平行，故不正确 若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 CD，所以
6、AB DC；若四边形 ABCD 中，AB DC，则 AB 綊CD，所以四边形 ABCD 是平行四边形，故正确 因为OA OB OC 0，所以OA(OB OC)，即OB OC 是与OA 方向相反且长度相等的向量 如图所示，以 OB，OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD，则OD OB OC，所以OD OA，在平行四边形 BOCD 中，设 BC 与 OD相交于 E，则BE EC，OE ED.所以 AE 是ABC 的边 BC 的中线，且|OA|2|OE|.所以 O 是ABC 的重心，故正确 AB|AB|与 AC|AC|分别表示AB 与AC 方向的单位向量，设它们分别为AB 与AC，设以它们为两条邻
7、边的平行四边形是一个菱形 ABPC，AP 平分BAC，AP(AB AC)与AP 的方向相同，也平分BAC.由OPOA AP 知 P 的轨迹为BAC 的平分线，一定通过ABC 的内心，故正确 故填.【点评】1.AB|AB|表示与AB 同方向的单位向量 2向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用二、向量的线性运算例2(1)已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC边中点，且 2OA OB OC 0，则有()A.AO 2ODB.AO ODC.AO 3ODD2AO OD(2)非零不共线向量OA，OB，且 2OP xOA yOB，若PA AB(R)，则点 Q(x，y
8、)的轨迹方程是()Axy20B2xy10Cx2y20D2xy20(3)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC.若DE 1AB 2AC(1，2 为实数)，则 12 的值为_12BA(4)平面上有四个互异点 A，B，C，D，已知(DB DC2DA)(AB AC)0，则ABC 的形状是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D无法确定【解析】(1)由 2OA OB OC 0，得OB OC 2OA 2AO，即OB OC 2OD 2AO，所以OD AO，即 O 为 AD 的中点(2)由PAAB 得OA OP(OB OA)，即OP(1)OA OB，又 2OP x
9、OA yOB，x22y2，消去，得 xy2，故选 A.B(3)如图所示，DE BE BD 23BC12BA 23(AC AB)12AB 1223AB 23AC，又DE 1AB 2AC，且AB 与AC 不共线，所以 11223，223，即 1212.(4)由(DB DC 2DA)(AB AC)0，得(DB DA)(DC DA)(AB AC)0，所以(AB AC)(AB AC)0.所以|AB|2|AC|20，|AB|AC|，故ABC 是等腰三角形【点评】问题涉及与平面图形相关的向量运算的求解，其策略是恰当运用三角形法则和平行四边形法则，同时注意向量的数乘运算几何意义的应用三、向量共线的判定与应用例
10、3已知点 G 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点(1)求GA GB GO；(2)若 PQ 过ABO 的重心 G，且OA a，OB b，OPma，OQ nb，求证：1m1n3.【解析】(1)GA GB 2GM，又 2GM GO，GA GB GO GO GO 0.(2)显然OM 12(ab)因为 G 是ABO 的重心，所以OG 23OM 13(ab)由 P，G，Q 三点共线，得PG GQ，所以，有且只有一个实数，使PG GQ.而PG OG OP 13(ab)ma13m a13b，GQ OQ OG nb13(ab)13an13 b，所以13m a13b13an13 b.又因为 a，b 不共线，
11、所以13m13，13n13，消去，整理得 3mnmn，故1m1n3.94例4(1)在ABC 中，过中线 AD 中点 E 任作一条直线分别交边 AB，AC 于 M，N 两点，设AM xAB，AN yAC(xy0)，则 4xy 的最小值是_(2)如图所示，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN2NC，AM 与 BN 相交于点 P，则 APPM 的值为_41【解析】(1)因为 D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，所以AE 12AD 14(AB AC)又AB 1xAM，AC 1yAN，所以AE 14xAM 14yAN.因为 M，E，N 三点共线，所以 14x
12、14y1，所以 4xy(4xy)14x 14y 1454xy yx 14524xy yx 94.(2)设BM e1，CN e2，则AM AC CM 3e2e1，BN 2e1e2，因为 A、P、M 和 B、P、N 分别共线，所以存在、R，使APAM e13e2，BPBN 2e1e2.故BA BPAP(2)e1(3)e2，而BA BC CA 2e13e2，所以22，33，所以45，35，所以AP45AM，所以PM 15AM，即 APPM41.【点评】几何型向量问题要充分应用三角形法则、平行四边形法则和数乘运算的几何意义备选题例5设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A
13、3 A1A2(R)，A1A4 A1A2(R)，且 1 1 2，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下面的说法正确的是()AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC，D 可能同时在线段 AB 上DC，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上D【解析】依题意，若 C，D 调和分割点 A，B，则有AC AB，AD AB，且 1 12.若 C 是线段 AB 的中点，则有AC 12AB，此时 12.又 1 12，所以 10，不可能成立因此 A 不对，同理 B 不对 当 C，D 同时在线段 AB 上时，由AC AB，AD AB 知 01
14、，02，与已知条件 112 矛盾，因此 C 不对 若 C，D 同时在线段 AB 的延长线上，则AC AB 时，1，AD AB 时，1，此时 1 12，与已知1 12 矛盾，故 C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上【点评】本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点 C 在线段 AB 上，则当AC AB 时，01，求解本题时还要注意不等式性质及反证法思想的应用，本题难度适中1向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理(2)在求向量时尽可能转化
15、到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义2向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线51(2014 北京)已知向量 a、b 满足|a|1，b(2，1)，且 ab0(R)，则|_【命题立意】本题主要考查平面向量的模，属容易题【解析】当 ab0，则 ba；于是|b|a|，因为 b(2，1)
16、，所以|b|5，又因为|a|1，所以|5.【命题立意】本题主要考查向量运算的几何意义2(2014 浙江)记 maxx，yx，xy，y，xy，minx，yy，xy，x，xy，设 a，b 为平面向量，则()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2【解析】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知 min|ab|，|ab|与 min|a|，|b|的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，max|ab|，|ab|与|a|，|b|所构成的三角形中，max|a
17、b|，|ab|所对的角大于或等于 90，故 max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，故选 D.D1平面向量 a，b 共线的充要条件是()Aa，b 方向相同Ba，b 两向量中至少有一个为零向量C R，baD存在不全为零的实数 1，2，使得 1a2b0D【解析】由|a|b|a2b|1，得 a24ab4b21，4ab4，|a2b|2a24ab4b2549，|a2b|3.2已知|a|b|a2b|1，则|a2b|()A9B3C1D2B【解析】由AD AB|AB|AC|AC|知 AD 是ABC 的角平分线，所以BDDCABAC12，所以BD 13BC 13(AC AB)13a13b，故选 C.3已知
18、ABC，D 是 BC 边上的一点，AD AB|AB|AC|AC|，|AB|2，|AC|4，若记AB a，AC b，则用 a，b 表示BD 所得的结果为()A.12a12bB.13a13bC13a13bD.12a13bC【解析】AB CD AB(AD AC)AB AD AB AC 212 3cos 301.4在 RtABC 中，C90，A30，BC1，D 为斜边 AB 的中点，则AB CD _113(e1e2e3)5已知 G1，G2 分别为A1B1C1 与A2B2C2 的重心，且A1A2 e1，B1B2 e2，C1C2 e3，则G1G2 _(用 e1，e2，e3 表示)【解析】由A1A2 A1G
19、1 G1G2 G2A2 e1，B1B2 B1G1 G1G2 G2B2 e2，C1C2 C1G1 G1G2 G2C2 e3，且 G1，G2 分别为A1B1C1 与A2B2C2 的重心，所以A1G1 B1G1 C1G1 0，G2A2 G2B2 G2C2 0，将相加得G1G2 13(e1e2e3)【解析】设OA a，OB tb，OC 13(ab)，AC OC OA 23a13b，AB OB OA tba.要使 A、B、C 三点共线，只需AC AB，即23a13btba，2313t当 t12时，三向量终点在同一直线上6若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当 t 为何值时，a，t
20、b，13(ab)三向量的终点在同一条直线上？【解析】取 AE 的三等分点 M，使|AM|13|AE|，连结 DM.设|AM|t，则|ME|2t.又|AE|14|AC|，|AC|12t，|EC|9t，|AD|AB|AM|AE|13，7在ABC 中，ADAB 13，AEAC 14，BE 与 CD 交于点 P，且AB a，AC b，用 a，b 表示AP.DMBE，|PC|DC|PE|DM|EC|MC|911.|DP|211|DC|.APAD DP AD 211DC 13AB 211(DA AC)13AB 21113AB AC 311AB 211AC 311a 211b.【解析】依题意，由OP OA ab，得OP OA(ab)，即AP(AB AC)如图，以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABDC，对角线交于 O，则AP AD，A，P，D 三点共线，即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线，由图可知 P 点轨迹必过ABC 边 BC 的中点8已知ABC 中，AB a，AC b，对于平面 ABC上任意一点 O，动点 P 满足OP OA ab，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由