1、43.1&4.3.2空间直角坐标系空间两点间的距离公式预习课本P134137，思考并完成以下问题 1在空间直角坐标系中怎样确定空间中任一点的坐标？ 2空间中线段的中点坐标公式是什么？ 3空间中两点间的距离公式是什么？ 1空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面2右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向
2、z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系3空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标点睛空间直角坐标系的画法(1)x轴与y轴成135(或45)，x轴与z轴成135(或45)(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的.4空间两点间的距离公式(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP| .(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2| .点睛
3、(1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算(2)空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式()(2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式()(3)空间直角坐标系中，点(1，2)关于yOz平面的对称点为(1，2)()答案：(1)(2)(3)2在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，4，5)两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于xOy平面对称C关于坐标原
4、点对称 D以上都不对解析：选A点P(3,4,5)与Q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称3空间两点P1(1,2,3)，P2(3,2,1)之间的距离为_解析：|P1P2|2.答案：2空间中点的坐标的求法典例在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.由F作FMAD，FNDC，垂足分别为M，N，由平面几何知识知FM，FN，故F点坐标为.点
5、G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD，故G点坐标为.由H作HKCG于K，由于H为C1G的中点故HK，CK，DK，故H点坐标为. (1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键活学活用如图，在长方体ABCDABCD中，|AB|12，|AD|8，|AA|5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA分别为x
6、轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标解：因为|AB|12，|AD|8，|AA|5，点A为坐标原点，且点B，D，A分别在x轴、y轴和z轴上，所以它们的坐标分别为A(0,0,0)，B(12,0,0)，D(0,8,0)，A(0,0,5)点C，B，D分别在xOy平面、xOz平面、yOz平面内，坐标分别为C(12,8,0)，B(12,0,5)，D(0,8,5)点C在三条坐标轴上的射影分别是B，D，A，故点C的坐标为(12,8,5)空间两点间距离公式及应用典例已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段MN的长度；(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的
7、坐标满足的条件解(1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度|MN|2，所以线段MN的长度为2.(2)因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等，所以有下面等式成立：，化简得xy2z30，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是xy2z30.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：活学活用已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA14，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1
8、(4,0,4)因为M为BC1的中点，所以由中点公式得M，即M(2,2,2)，又N为A1B1的中点，所以N(2,0,4)所以由两点间的距离公式得|MN|2.空间中点的对称典例(1)点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是_(2)已知点P(2,3，1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为_解析(1)如图所示，过A作AMxOy交平面于M，并延长到C，使AMCM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)过A作ANx轴于N并延长到点B，使ANNB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1
9、，2,1)A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，2,1)(2)点P(2,3，1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，3,1)答案(1)(1,2,1)，(1，2,1)(2)(2，3,1)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：(1)关于坐标原点的对称点为P1(x，y，z)；(2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，y，z)；(3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(
10、x，y，z)；(4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(x，y，z)；(5)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x，y，z)；(6)关于yOz坐标平面的对称点为P6(x，y，z)；(7)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x，y，z)其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数活学活用在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为()A(4,0,6) B(4,7，6)C(4,0，6) D(4,7,0)解析：选C
11、点M关于y轴对称的点是M(4,7，6)，点M在xOz平面上的射影的坐标为(4,0，6)层级一学业水平达标1点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A. B|a|C|b| D|c|解析：选D点P在xOy平面的射影的坐标是P(a，b,0)，所以|PP|c|.2已知A(1,1,1)，B(3，3，3)，则线段AB的长为()A4 B2C4 D3解析：选A|AB|4.3在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为()A(3，1,5) B(3，1,5)C(3，1，5) D(3,1，5)解析：选A由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(
12、3，1,5)4若点P(4，2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A7 B7C1 D1解析：选D由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(4，2，3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，2，3)，故c3，e4，故ce341.5点P(1，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A(0,0，) B(0，)C(1,0，) D(1，0)解析：选D由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，0)6空间点M(1，2,3)关于x轴的对称点的坐标是_解析：点M(1，2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z
13、)关于x轴对称点的坐标为(x，y，z)知，点M关于x轴的对称点为(1,2，3)答案：(1,2，3)7在空间直角坐标系中，点(1，b,2)关于y轴的对称点是(a，1，c2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|_.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(x，y，z)可得1a，b1，c22，所以a1，c0，故所求距离|PO|.答案：8在空间直角坐标系中，点M(2,4，3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是_解析：由题意，知点M1的坐标为(2,0，3)，点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCDA1B1C1D
14、1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(2，3，1)，求其他七个顶点的坐标解：由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，故点B的坐标为(2,3，1)；点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，3，1)；点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，1)；由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(2，3,1)，B1(2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，3,1)10.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|2，|AA1|4，点M在A1C1上，|MC1|2|A1
15、M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离解析：由已知条件，得|A1C1|2.由|MC1|2|A1M|，得|A1M|，且B1A1MD1A1M.如图，以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则M，C(2,2,0)，D1(0,2,4)由N为CD1的中点，可得N(1,2,2)|MN| .层级二应试能力达标1点A(0，2,3)在空间直角坐标系中的位置是()A在x轴上 B在xOy平面内C在yOz平面内 D在xOz平面内解析：选C点A的横坐标为0，点A(0，2,3)在yOz平面内2在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(2，3，4)的位置关系是
16、()A关于x轴对称 B关于yOz平面对称C关于坐标原点对称 D以上都不对解析：选C点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称3设A(1,1，2)，B(3,2,8)，C(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A. B.C. D.解析：选D利用中点坐标公式，得点P的坐标为，由空间两点间的距离公式，得|PC|.4在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A9 B.C5 D2解析：选B由已知，可得C1(0,2,3)，|AC1|.5已知A(3,5，7)，B(2,4,3)，则线段AB在yOz
17、平面上的射影长为_解析：点A(3,5，7)，B(2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A(0,5，7)，B(0,4,3)，线段AB在yOz平面上的射影长|AB|.答案：6在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是_解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)由|MA|MB|，得(01)2(y0)2(02)2(01)2(y3)2(01)2，整理得6y60，解得y1，即点M的坐标为(0，1,0)答案：(0，1,0)7在空间直角坐标系中，解答下列各题(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；(
18、2)在xOy平面内的直线xy1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短解：(1)设P(x,0,0)由题意，得|P0P|，解得x9或x1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(1,0,0)(2)由已知，可设M(x0,1x0,0)则|MN|.所以当x01时，|MN|min.此时点M的坐标为(1,0,0)8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|3|NC1|，试求MN的长解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)
19、由于M为BD1的中点，所以M，取A1C1中点O1，则O1，因为|A1N|3|NC1|，所以N为O1C1的中点，故N.由两点间的距离公式可得：|MN| a.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线xy10被圆(x1)2y23截得的弦长等于()A. B2C2 D4解析：选B由题意，得圆心为(1,0)，半径r，弦心距d，所以所求的弦长为22，选B.2若点P(1,1)为圆x2y26x0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10解析：选D由题意，知圆的标准
20、方程为(x3)2y29，圆心为A(3,0)因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以APMN.又AP的斜率k，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y12(x1)，即2xy10.3半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2(y3)21内切，则此圆的方程为()A(x4)2(y6)26 B(x4)2(y6)26C(x4)2(y6)236 D(x4)2(y6)236解析：选D半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b6.再由5，可以解得a4，故所求圆的方程为(x4)2(y6)236.4经过点M(2,1)作圆x2y25的切线，则切线方程为()A.xy50 B.xy50C2xy50 D2x
21、y50解析：选CM(2,1)在圆上，切线与MO垂直kMO，切线斜率为2.又过点M(2,1)，y12(x2)，即2xy50.5把圆x2y22x4ya220的半径减小一个单位则正好与直线3x4y40相切，则实数a的值为()A3 B3C3或3 D以上都不对解析：选C圆的方程可变为(x1)2(y2)2a27，圆心为(1,2)，半径为，由题意得1，解得a3.6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为()A14米 B15米C.米 D2米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖
22、直直线为y轴，建立平面直角坐标系设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，2)，设圆的半径长为r，则C(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2.将点A的坐标代入上述方程可得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A，B，可设A(x0，3)(x00)，代入x2(y10)2100，解得x0，水面宽度|AB|2米7过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30解析：选A设点P(3,1)，圆心C(1,0)已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且P
23、C为圆的直径故四边形PACB的外接圆圆心坐标为，半径长为.故此圆的方程为(x2)22.圆C的方程为(x1)2y21.得2xy30，此即为直线AB的方程8已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y22y3，直线l经过点(1,0)且与直线xy10垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则OAB的面积为()A1 B.C2 D2解析：选A由题意，得圆C的标准方程为x2(y1)24，圆心为(0，1)，半径r2.因为直线l经过点(1,0)且与直线xy10垂直，所以直线l的斜率为1，方程为y0(x1)，即为xy10.又圆心(0，1)到直线l的距离d，所以弦长|AB|222.又坐标原点O到弦AB的距离为，所
24、以OAB的面积为21.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分请把正确答案填在题中的横线上)9圆心在直线x2上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的方程为_解析：由题意知圆心坐标为(2，3)，半径r，圆C的方程为(x2)2(y3)25.答案：(x2)2(y3)2510已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为_解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有4，3，1，解得x5，y4，z1，故B点的坐标为(5,4,1)答案：(5,4,1)11圆O：x2y2
25、2x2y10上的动点Q到直线l：3x4y80的距离的最大值是_解析：圆O的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心(1,1)到直线l的距离为31，动点Q到直线l的距离的最大值为314.答案：412已知过点(1,1)的直线l与圆C：x2y24y20相切，则圆C的半径为_，直线l的方程为_解析：圆C的标准方程为x2(y2)22，则圆C的半径为，圆心坐标为(0,2)点(1,1)在圆C上，则直线l的斜率k1，则直线l的方程为yx，即xy0.答案：xy013已知圆C：(x1)2y225与直线l：mxym20，若圆C关于直线l对称，则m_；当m_时，圆C被直线l截得的弦长最短解析：当圆C关于l对称时，圆心(
26、1,0)在直线mxym20上，得m1.直线l：m(x1)y20恒过圆C内的点M(1，2)，当圆心到直线l的距离最大，即MCl时，圆C被直线l截得的弦长最短，kMC1，由(m)11，得m1.答案：1114已知点M(2,1)及圆x2y24，则过M点的圆的切线方程为_，若直线axy40与该圆相交于A，B两点，且|AB|2，则a_.解析：若过M点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x2，经验证满足条件若切线斜率存在，可设切线方程为yk(x2)1，由圆心到切线的距离等于半径得2，解得k，故切线方程为y(x2)1，即3x4y100.综上，过M点的圆的切线方程为x2或3x4y100.由得a.答案：x2或3x4
27、y10015已知两圆C1：x2y22ax4ya250和C2：x2y22x2aya230，则两圆圆心的最短距离为_，此时两圆的位置关系是_(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C1：x2y22ax4ya250化为标准方程得(xa)2(y2)29，圆心为C1(a，2)，半径为r13，将圆C2：x2y22x2aya230化为标准方程得(x1)2(ya)24，圆心为C2(1，a)，半径为r22.两圆的圆心距d，所以当a时，dmin，此时|32|，所以两圆内含答案：内含三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知正四棱
28、锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.解：正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为3，正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,1)G点的坐标为G|BG| .17(本小题满分15分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2y21的两条切线，切点分别为A，B.(1)求以OP为直径的圆的方程；(2)求直线AB的方程解：(1)所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，半径为|OP| ，以OP为直径的圆的方程为(
29、x2)2(y3)213.(2)PA，PB是圆O：x2y21的两条切线，OAPA，OBPB，A，B两点都在以OP为直径的圆上由得直线AB的方程为4x6y10.18(本小题满分15分)已知圆过点A(1，2)，B(1,4)(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2xy40上的圆的方程解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r|AB|为半径则所求圆的方程为x2(y1)210.(2)法一：直线AB的斜率k3，则线段AB的垂直平分线的方程是y1x，即x3y30.由解得即圆心的坐标是C(3,2)r2|AC|2(31)2(22)220
30、.所求圆的方程是(x3)2(y2)220.法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2R2.则所求圆的方程为(x3)2(y2)220.19(本小题满分15分)已知圆x2y24ax2ay20a200.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2y24相切，求a的值解：(1)证明：圆的方程可整理为(x2y220)a(4x2y20)0，此方程表示过圆x2y2200和直线4x2y200交点的圆系由得已知圆恒过定点(4，2)(2)圆的方程可化为(x2a)2(ya)25(a2)2.当两圆外切时，dr1r2，即2，解得a1或a1(舍去)；当两圆内切时，d|r1r2|，即|2|，解得a1或a1(舍
31、去)综上所述，a1.20(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线xy40相切(1)求圆O的方程(2)直线l：ykx3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由解：(1)设圆O的半径长为r，因为直线xy40与圆O相切，所以r2，所以圆O的方程为x2y24.(2)法一：因为直线l：ykx3与圆O相交于A，B两点，所以圆心(0,0)到直线l的距离d或k.假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：ykx3的距离d|OM|1.所以1，解得k28，即k2，经验证满足条件所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形法二：设直线OM与AB交于点C(x0，y0)因为直线l斜率为k，显然k0，所以直线OM方程为yx，由解得所以点M的坐标为.因为点M在圆上，所以224，解得k2，经验证均满足条件所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形