1、河南省中原名校2019-2020学年高二数学下学期4月质量检测试题 理（含解析）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足：（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由，则，所以.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.2.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的取值是（ ）A. -1B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】求导得到，根据垂直关系得
2、到，解得答案.【详解】，直线，故，解得.故选：.【点睛】本题考查了函数的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3.“，”为真命题的充分必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将不等式转化为，解得答案.【详解】，即，即.故选：.【点睛】本题考查了充要条件，真命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.4.已知椭圆C左右焦点坐标分别是，离心率是，则椭圆C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可设椭圆的标准方程为，则，解出即可.【详解】由题意可设椭圆的标准方程为，则，解得，所以椭圆的标准方程为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，
3、涉及到的知识点有椭圆的焦点坐标，椭圆的离心率，根据题意，利用的值求椭圆的标准方程，属于基础题目.5.如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果【详解】，故选：【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题6.已知命题，命题在区间上单调递增则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角函数值域知p
4、为真命题，由二次函数的单调性知q为假命题，根据带有简单逻辑连接词的命题真假判断规则判断各选项的真假.【详解】P真命题，函数在上单调递减，在上单调递增，q为假命题.所以为真命题，其余选项均为假命题.故选：C【点睛】本题考查简单的逻辑连接词，判断命题的真假，属于基础题.7.定积分等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】利用公式计算，为的原函数.【详解】由牛顿莱布尼茨公式知，.故选：C.【点睛】本题考查利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分，关键是要准确写出被积函数的原函数，是一道基础题.8.已知是圆上的一个动点，过点作曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，的中点为.若曲线，且，则点轨迹方
5、程为.若曲线，且，则点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆与双曲线逆运算的特点猜想即可得到结果.【详解】由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，即加法与减法互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点的轨迹方程为：故选：.【点睛】本题考查逻辑推理中的类比推理，关键是应用椭圆与双曲线的逆运算的特点，属于基础题.9.给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对A，B，C，D四个选项逐个进行二次求导，判
6、断其在上的符号即可得选项.【详解】若，则，在上，恒有；若，则，在上，恒有；若，则，在上，恒有；若，则.在上，恒有，故选D.【点睛】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题10.如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：,，向量,，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11
7、.已知函数，下列关于的四个命题；函数在上是增函数 函数的最小值为0如果时，则的最小值为2函数有2个零点其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】函数令，得，即函数在上为增函数；令，得或，即函数在，上为减函数.函数在上恒成立当时，且函数的零点个数只有一个.当时，则要使时，则的最小值为2，故正确.综上，故正确.故选C.12.已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，过点的直线与抛物线交于点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线方程求出焦点坐标，设的方程为：，联立直线方程与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合基本
8、不等式求的最小值【详解】由题意得，解得，则，设的方程为：，联立，得设，则当且仅当，即或时取等号故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质、考查直线与抛物线位置关系的应用、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则_【答案】3.【解析】【分析】求导后代入即可得到结果.【详解】，故答案为：.【点睛】本题考查导数值的求解问题，属于基础题.14.在一次考试后，为了分析成绩，从1，2，3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为，已知来自2班的同学比成绩低，与来自2班的同学成绩不同，的成绩比来自3班的同学高由此判断，来
9、自1班的同学为_【答案】B【解析】【分析】由题意先确定C来自2班，再根据“来自2班的同学比成绩低，的成绩比来自3班的同学高”，即可得解.【详解】由题，不是来自2班，不是来自2班，所以来自2班，又的成绩比来自2班的同学高，的成绩比来自3班的同学高，所以不能来自3班，只能来自1班.故答案为：B.【点睛】本题考查了简单的逻辑推理的应用，属于基础题.15.若函数在上是单调减函数，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数在上是单调减函数等价于在上恒成立，再利用分离变量最值法求解即可.【详解】解：因为函数，所以，由函数在上是单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则，当时，即，即的取值范围是，故
10、答案为：.【点睛】本题考查了函数导函数的求法，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题.16.椭圆，是椭圆的左右焦点，为坐标原点，点为椭圆上一点，且成等比数列，则椭圆的离心率为_ .【答案】【解析】【分析】根据两点之间的距离公式求得，利用椭圆的定义及等比数列的性质，求得，利用两点之间的距离公式，即可求得与的关系，求得椭圆的离心率【详解】设，则，由椭圆定义：，又，成等比数列，整理得，即，整理得：，椭圆的离心率，故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的定义，等比数列的性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题三、解答题（本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证
11、明过程或演算过程）17.已知.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简，然后利用为真，取交集求得实数的取值范围；（2）求解一元二次不等式化简，结合是充分不必要条件，可得 ，转化为关于的不等式组得答案【详解】解：（1）：解得或 当解得 为真，即都为真即 所以的取值范围为（2），即所以， 即因为是的充分不必要条件， 所以 所以或综上：是的充分不必要条件时，的取值范围为【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断方法，属于中档题18.如图，已知直线是抛物线的准线.过焦点的直线交
12、抛物线于，两点，过点且与直线垂直的直线交抛物线的准线于点.（1）求抛物线的标准方程；（2）求的最大值，并求出此时直线的方程.【答案】（1）（2）的最大值为，直线的方程为【解析】【分析】（1）根据是抛物线的准线，可求出，即得抛物线的标准方程；（2）设出直线：，由弦长公式即可求出，由距离公式求出，即可得到，再根据不等式的性质即可求出的最大值，以及直线的方程【详解】（1）是抛物线的准线，即抛物线的标准方程为（2）设直线的方程为与抛物线方程联立，化简得：设，则，将直线：与直线联立，得，当且仅当时取“=”此时直线的方程为【点睛】本题主要考查抛物线的性质的应用，弦长的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于
13、中档题19.已知函数.（1）当时，求f(x)的单调区间；（2）若对，使成立，求实数的取值范围 (其中是自然对数的底数)【答案】（1）递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】【分析】（1）将代入原函数,求函数定义域,再对函数求导,最后根据单调递增,单调递减可求出的单调区间（2）从分离出出常数,设新函数,求出新函数的最小值即可得到的取值范围【详解】(1),的定义域为 ,.所以的单调递增区间为,单调递减区间为(2) ,令,由当时,在,1上单调递减当时,在1,e上单调递增,所以g(x)在,e上的最大值为所以,所以实数的取值范围为【点睛】本题考查利用导数求函数性质的应用,根据已知条件构造辅助函数,考查
14、运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,属于难题.20.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，若为线段上的动点（不含）.（1）平面与平面是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）求二面角的余弦值的取值范围.【答案】（1）平面平面，理由见解析；（2）【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明平面，根据线面关系即可证明平面与平面垂直；(2)建立空间直角坐标系，根据平面与平面法向量的夹角的余弦的取值范围，计算出二面角的余弦值的取值范围.【详解】（1）因为，为
15、线段的中点.所以.因为底面，平面，所以，又因为底面为正方形，所以，所以平面，因为平面，所以.因为，所以平面，因平面，所以平面平面.（2）由题意，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，令，则，（其中）.易知平面的一个法向量.设平面的法向量，由即令，则是平面的一个法向量.，由，所以，所以.故若为线段上的动点（不含），二面角的余弦值的取值范围是.【点睛】本题考查空间中的面面垂直关系的证明以及二面角余弦值的取值范围.(1)面面垂直的证明可通过线面垂直的证明来完成；(2)利用空间向量计算二面角的余弦值时，可根据平面法向量的夹角余弦值以及几何图形中面与面夹角是钝角还是锐角，确定出二面角的余弦值
16、大小.21.已知为椭圆的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，当点与坐标原点重合时，直线的斜率之积为（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求面积的最大值【答案】(1) +y21;(2) OAB面积的最大值为1【解析】【分析】（1）设，可得又，代入上式可得：，解得，即可得出椭圆的标准方程（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立化为：，有，可得，利用根与系数的关系可得：的面积，即可得出【详解】解：（1）设，则又，代入上式可得：，又，解得椭圆的标准方程为：（2）设直线的方程为：，联立，化为：，代入可得：的面积，当且仅当时取等号面积的最大值为【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、
17、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题22.设函数，其中为正实数.(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，证明.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)讨论研究函数的单调性，求出函数在上的最大值要不等式恒成立，只需最大值小于零，即可求出(2)将原不等式等价变形为，由(1)可知，试证在时恒成立，即可由不等式性质证出【详解】（1）由题意得设，则，当时，即时， ， 所以函数在上单调递增，满足题意；当时，即时，则的图象的对称轴因为，所以在上存在唯一实根，设为，则当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，此时，不合题意综上可得，实数的取值范围是（2）等价于因为，所以，所以原不等式等价于，由(1)知当时，在上恒成立，整理得令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，即在上恒成立.所以，当时，恒有，【点睛】本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想，转化思想的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题