1、山西省2021届高三数学考前适应性试题 理（二模）（含解析）一、选择题（每小题5分）.1已知集合AxZ|x|20，Bx|x2x20，则AB（）A0B1，0，1Cx|1x2Dx|2x22已知i为虚数单位，复数z满足zi2+i，则|z|（）ABC2D43已知a，b，c，则（）AbacBbcaCcabDcba4设一组样本数据x1，x2，xn的方差为100，数据0.1x1，0.1x2，0.1xn的方差为（）A0.1B1C10D1005椭圆C的焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），直线l与C交于A，B两点，若2，0，则C的方程为（）ABCD6如图所示，在三棱锥PABC中，PABC且PABC1，PBA
2、C，PC，则下列命题不正确的是（）A平面PAB平面PBCB平面PAB平面ABCC平面PAC平面PBCD平面PAC平面ABC7在ABC中，已知3，ABC的面积为2，则边BC的长有（）A最大值2B最小值2C最大值2D最小值28三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1：25，则cos（）（）ABCD9已知F为双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，以点F为圆心，1为半径的圆与C的渐近线相切于点P（，t），
3、则C的离心率为（）ABC2D310（1+）5（1+）5的展开式中的常数项为（）A1B32C192D25211在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinC，则ABC外接圆面积的最小值为（）ABCD12已知函数f（x）ex1lnxax+a（aR），x1，+）时，若f（x）1恒成立，则a的取值范围为（）A（，0B（，0）C（1，0D0，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是 14若曲线yln（3x8）与曲线yx23x在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为 15在锐角ABC中，D为BC的中点，AB3，
4、AC，且BCsinBcosC+ABsinBcosAAC，则AD 16欲将一底面半径为cm，体积为3cm3的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为 cm3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知公差为正数的等差数列an满足a1+a2+a39，且a2是a1与a3+4的等比中项（1）求an的通项公式；（2）若bnan，求数列bn的前n项和18如图所示，在四棱锥PABCD中，PAPBPDAB2，四边形A
5、BCD为菱形，且BAD60（1）证明：BD平面PAC；（2）求二面角BPCD的大小19为了适应教育改革新形势，某实验高中新建实验楼、置办实验仪器、开设学生兴趣课堂，将分子生物学知识和技术引入其中，激发了广大学生的学习和科研热情现已知该生物科研兴趣小组共有9名学生在一次制作荧光标记小鼠模型时，将9名学生分成3组，每组3人（1）若将实验进程分为三个阶段，各个阶段由一个成员独立完成现已知每个阶段用时1小时，每个阶段各成员成功率为若任意过程失败，则该实验须重新开始求一个组在不超过4个小时完成实验任务的概率；（2）现某小组3人代表学校组队外出参加生物实验竞赛，其中一项赛程为小鼠灌注实验该赛程规则为：三人
6、同时进行灌注实验，但每人只有一次机会，每个队员成功的概率均为若单个队员实验成功计2分，失败计1分设小组总得分为X，求X的分布列与数学期望；主办方预计通过该赛程了解全国生物兴趣课程的开设情况现从所有参赛队员中抽取n人成绩计入总得分，若总得分大于n的概率为Kn，求数列Kn的前15项和20已知P为抛物线C：y22px（p0）上一动点，F为C的焦点，定点Q（3，1）在C的内部，若|PQ|+|PF|的最小值为4（1）求C的方程；（2）不经过原点的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），若以线段AB为直径的圆经过点F，且圆心在直线y1上证明：直线l与C在点A处的切线垂直21已知函数f（x）（x1）
7、exax2，aR（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，函数f（x）的最小值为e（其中f（x）为f（x）的导函数），求a的值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C1：（t为参数），曲线C2：cos2+cos（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1，C2的公共点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积选修4-5：不等式选讲23（1）证明：；（2）若a0，b0，求的最大值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8、1已知集合AxZ|x|20，Bx|x2x20，则AB（）A0B1，0，1Cx|1x2Dx|2x2解：AxZ|2x21，0，1，Bx|1x2，AB1，0，1故选：B2已知i为虚数单位，复数z满足zi2+i，则|z|（）ABC2D4解：因为zi2+i，所以z，则|z|故选：B3已知a，b，c，则（）AbacBbcaCcabDcba解：20a21，a1，blog34log331，c31，bac故选：C4设一组样本数据x1，x2，xn的方差为100，数据0.1x1，0.1x2，0.1xn的方差为（）A0.1B1C10D100解：数据x1，x2，xn的方差为100，数据0.1x1，0.1x2，0.1xn
9、的方差为：0.121001故选：B5椭圆C的焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），直线l与C交于A，B两点，若2，0，则C的方程为（）ABCD解：由0，知AF2F1F2，A（1，），又2，B（2，），且a2b21，解得a25，b24，故选：D6如图所示，在三棱锥PABC中，PABC且PABC1，PBAC，PC，则下列命题不正确的是（）A平面PAB平面PBCB平面PAB平面ABCC平面PAC平面PBCD平面PAC平面ABC解：由PA1，AC，PC，即PA2+AC2PC2，可得PAAC，又PABC，ACBCC，所以PA平面ABC，PA平面PAB，所以平面PAB平面ABC，故B正确；PA平面PA
10、C，所以平面PAC平面ABC，故D正确；由PA平面ABC，可得PAAB，而PA1，PB，所以AB1，又BC1，AC，所以AB2+BC2AC2，即ABBC，由PA平面ABC，可得PABC，则BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PBC平面PAB，故A正确；若平面PAC平面PBC，过A作AHPC，垂足为H，可得AH平面PBC，则AHBC，又BCPA，所以BC平面PAC，则BCAC，与BCAB矛盾，故C错误故选：C7在ABC中，已知3，ABC的面积为2，则边BC的长有（）A最大值2B最小值2C最大值2D最小值2解：bccosA3 ，SABCbcsinA2，bcsinA4 ，由得，且sinA0，c
11、osA0，又sin2A+cos2A1，sinA，cosA，bc5，由余弦定理得，a2b2+c22bccosAb2+c262bc61064，当且仅当bc时取等号，a2的最小值为4，即BC的最小值为2，无最大值故选：D8三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1：25，则cos（）（）ABCD解：设大正方形的边长为a，则正方形的面积，直角三角形的面积为：，由题意可得：，且：，从而：故选：D9已知F为双
12、曲线C：1（a0，b0）的右焦点，以点F为圆心，1为半径的圆与C的渐近线相切于点P（，t），则C的离心率为（）ABC2D3解：由题意，F（c，0），不妨设双曲线的渐近线方程为y，则F到y的距离为1，直线FP所在直线方程为y，联立，解得x，得c，则ae故选：A10（1+）5（1+）5的展开式中的常数项为（）A1B32C192D252解：（1+）5（1+）5，它表示5个因式（2+）的乘积，故当其中有一个因式取，一个因数取 ，其余的3个因式都取2；或其中有2个因式取，2个因式取，剩下的一个因式取2，或所有的因式都取2，即可得到展开式中的常数项故展开式中的常数项为23+2+25160+60+32252
13、，故选：D11在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinC，则ABC外接圆面积的最小值为（）ABCD解：因为2sinCa+b+2，当且仅当a+b1时取等号，所以sinC1，又sinC1，故sinC1，又，所以c2，所以ABC外接圆面积即最小值故选：A12已知函数f（x）ex1lnxax+a（aR），x1，+）时，若f（x）1恒成立，则a的取值范围为（）A（，0B（，0）C（1，0D0，+）解：函数f（x）ex1lnxax+a（aR），x1，+），f（1）1f（x）ex1ag（x），x1，+），可得函数g（x）在x1，+）上单调递增，f（1）a，令f（1）a0，解得a0函数f（
14、x）在x1，+）上单调递增，f（x）f（1）1，满足题意令f（1）a0，解得a0存在x01，使得f（x0）0，函数f（x）在x1，x0）上单调递减，f（x0）f（1）1，不满足题意，舍去综上可得函数f（x）的取值范围为（，0故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是（1，2）解：约束条件作出可行域如图，直线kxy+20过定点（0，2），而不等式kxy+20表示的平面区域与坐标原点O在同侧，则要使不等式组表示的平面区域是一个三角形区域，则实数k的取值范围是（1，2）故答案为：（1，2）14若曲线yln（3x8）与曲
15、线yx23x在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为y3x9解：曲线yln（3x8）与曲线yx23x的公共点为P（m，n），两曲线在公共点处相同的切线的斜率为k，因为yln（3x8），（x23x）2x3，则k2m3，解得m3或m，又3m80，故m3，代入nm23m得n0，所以k2333，于是该切线的方程为y03（x3），整理得，y3x9，故答案为：y3x915在锐角ABC中，D为BC的中点，AB3，AC，且BCsinBcosC+ABsinBcosAAC，则AD解：因为BCsinBcosC+ABsinBcosAAC，即asinBcosC+csinBcosAb，由正弦定理得，sinAsinBcos
16、C+sinCsinBcosAsinB，因为sinB0，所以sinAcosC+sinCcosAsin（A+C），所以sinB，由题意得B为锐角，B60，由余弦定理得，b2a2+c2ac，即7a2+93a，解得a1或a2，因为锐角三角形中，a2+b2c2，a1时显然不满足题意，故a2，BD1，所以AD2AB2+BD22ABBDcosB9+127，所以AD故答案为：16欲将一底面半径为cm，体积为3cm3的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为cm3解：如下轴截面图所示：设球的半径为r，圆锥的高为h，由圆锥的底面半径为3cm，所以，解得h
17、3cm则ABC，AFG为等边三角形，故可得FH，B，圆锥体与球体体积之和为：V，则V23r2+18r，令V0，解得rcm0r时，V0，r时，V0，rcm时，cm3，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知公差为正数的等差数列an满足a1+a2+a39，且a2是a1与a3+4的等比中项（1）求an的通项公式；（2）若bnan，求数列bn的前n项和解：（1）设公差为d（d0）的等差数列an，由a1+a2+a39，可得3a1+3d9，即a1+d3，由a
18、2是a1与a3+4的等比中项，可得a22a1（a3+4），即为（a1+d）2a1（a1+2d+4），联立，可得a11，d2，则an1+2（n1）2n1；（2）bnan（2n1）4n，数列bn的前n项和Sn14+342+543+.+（2n1）4n，4Sn142+343+544+.+（2n1）4n+1，两式相减可得3Sn4+2（42+43+.+4n）（2n1）4n+14+2（2n1）4n+1，化简可得Sn4n+1+18如图所示，在四棱锥PABCD中，PAPBPDAB2，四边形ABCD为菱形，且BAD60（1）证明：BD平面PAC；（2）求二面角BPCD的大小【解答】（1）证明：设AC交BD于O，连
19、接PO，因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，O为BD中点，又因为PBPD，所以BDOP，又因为ACOPO，AC、OP平面PAC，所以BD平面PAC（2）解：取AC中点M，连接MB、MD，因为PBABBC，所以PCMB，同理PCMD，于是BMD为二面角BPCD的平面角，因为OPOAOC，所以APPC，PC，PM，MDMB，由余弦定理得，所以BMD90，故二面角BPCD的大小为9019为了适应教育改革新形势，某实验高中新建实验楼、置办实验仪器、开设学生兴趣课堂，将分子生物学知识和技术引入其中，激发了广大学生的学习和科研热情现已知该生物科研兴趣小组共有9名学生在一次制作荧光标记小鼠模型时，将9名
20、学生分成3组，每组3人（1）若将实验进程分为三个阶段，各个阶段由一个成员独立完成现已知每个阶段用时1小时，每个阶段各成员成功率为若任意过程失败，则该实验须重新开始求一个组在不超过4个小时完成实验任务的概率；（2）现某小组3人代表学校组队外出参加生物实验竞赛，其中一项赛程为小鼠灌注实验该赛程规则为：三人同时进行灌注实验，但每人只有一次机会，每个队员成功的概率均为若单个队员实验成功计2分，失败计1分设小组总得分为X，求X的分布列与数学期望；主办方预计通过该赛程了解全国生物兴趣课程的开设情况现从所有参赛队员中抽取n人成绩计入总得分，若总得分大于n的概率为Kn，求数列Kn的前15项和解：（1）一个组失
21、误0次的概率为，仅第一步失误一次的概率为，则一个组在不超过4小时完成任务的概率为PP0+P1；（2）X的可能取值为3，4，5，6，P（X3），P（X4），P（X5），P（X6），所以X的分布列为：X3456P E（X）总分大小n的概率为，所以Kn的前15项和为20已知P为抛物线C：y22px（p0）上一动点，F为C的焦点，定点Q（3，1）在C的内部，若|PQ|+|PF|的最小值为4（1）求C的方程；（2）不经过原点的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），若以线段AB为直径的圆经过点F，且圆心在直线y1上证明：直线l与C在点A处的切线垂直解：（1）过P作C的准线x1的垂线，垂足为N，连
22、接NQ，由抛物线的定义，可得|PN|PF|，则|PQ|+|PF|PQ|+|PN|NQ|，当N，P，Q三点共线时，|NQ|取得最小值，所以3+4，解得p2，则抛物线的方程为y24x；（2）证明：设直线l的方程为xmy+n（n0），且直线l与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y24my4n0，则16m2+16n0，即m2+n0，又y1+y24m，y1y24n，可得x1+x2m（y1+y2）+2n4m2+2n，x1x2n2，所以圆心坐标为（2m2+n，2m），因为圆心在直线y1上，所以2m1，即m又因为以线段AB为直径的圆经过点F（1，0），所以（x11）（x21）+y1y2x1
23、x2（x1+x2）+1+y1y2n2（4m2+2n）+14n0，化简可得n26n0，可得n6（0舍去），所以直线l的方程为xy+6，即2x+y120，且直线l的斜率为k12，由解得A（4，4），因为当y0时，抛物线y24x在x轴上方曲线方程为y2，所以y，则抛物线y24x在A处的切线的斜率为k，因为直线l与切线的斜率的乘积为21，所以直线l与抛物线在A处的切线垂直21已知函数f（x）（x1）exax2，aR（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，函数f（x）的最小值为e（其中f（x）为f（x）的导函数），求a的值解：（1）f（x）xex2axx（ex2a），（i）当a0时，ex2a0，f（
24、x）在区间（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，（ii）当0a时，由ex2a0，得xln（2a）0，f（x）在区间（，ln（2a）上单调递增，在（ln（2a），0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增，（iii）当a时，由ex2a0，得xln（2a）0，f（x）在R上单调递增，（iV）当a时，由ex2a0，得xln（2a）0，f（x）在区间（，0）上单调递增，在区间（0，ln（2a）上单调递减，在（ln（2a），+）上单调递增，综上：当a0时，f（x）在区间（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，当0a时，f（x）在区间（，ln（2a）上单调递增，在（ln（2a），0）上单调递减，
25、在区间（0，+）上单调递增，当a时，f（x）在R上单调递增，当a时，f（x）在区间（，0）上单调递增，在区间（0，ln（2a）上单调递减，在（ln（2a），+）上单调递增（2）设g（x）f（x）xex2ax，且a0，g（x）（x+1）ex2a，设h（x）（x+1）ex2a，h（x）（x+2）ex，h（x）在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，且当a0时，h（2）e22a0，又当x时，h（x）0，当x+时，h（x）0，h（x）在（2，+）上必存在唯一零点x0，使得h（x0）0，即在（，x0）上，g（x）0，g（x）单调递减，在（x0，+）上，g（x）0，g（x）单调递增，g（x）在xx0
26、处取得最小值，又h（x0）g（x0）（x0+1）2a0，2a（x0+1），则f（x）ming（x0）x02ax0x0（x0+1）x0e，设t（x）x2ex（x2），t（x）x（x+2）ex，当x（2，0）时，t（x）0，t（x）单调递增，故4e2t（x）0，此时t（x）e，当x（0，+）时，t（x）0，t（x）单调递减，故t（x）0，又t（1）e，故x01，故ae（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C1：（t为参数），曲线C2：cos2+cos（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1，C2的公共点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积解：（1）曲线C1：（t为参数），消去参数转换为普通方程为x+2y30（x2）曲线C2：cos2+cos，根据，转换为直角坐标方程为y2x（2）由，化简为y2+2y30，解得或故|AB|，则：点O到直线AB的距离d，所以选修4-5：不等式选讲23（1）证明：；（2）若a0，b0，求的最大值【解答】（1）证明：，当且仅当ab时，等号成立，令b1，则有，当且仅当a1时，等号成立，即；（2）解：由（1）得，即，当且仅当a1时，等号成立，又，当且仅当时，等号成立，即，即时，等号成立，即，当时，取得最大值，且最大值为
