1、第3课时指数函数的图象和性质的综合应用水平1、2限时30分钟分值50分战报得分_一、选择题(每小题5分，共25分)1(2021宜宾高一检测)若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2【解析】选B.由f(1)，得a2，于是a，因此f(x).设g(x)|2x4|，则g(x)|2x4|在2，)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是2，).2若函数f(x)3(2a1)x3在R上是减函数，则实数a的取值范围是()A BC(1，) D【解析】选A.由于底数3(1，)，所以函数f(x)3(2a1)x3的单调性与y(2a1)x3
2、的单调性相同因为函数f(x)3(2a1)x3在R上是减函数，所以y(2a1)x3在R上是减函数，所以2a10，即a，从而实数a的取值范围是.【变式备选】函数y=的单调递减区间是_.【解析】由题意,函数的定义域是R,设外层函数是y=2t,内层函数是t=x2-4x+1,因为外层函数y=2t是其定义域上的增函数,内层函数t=x2-4x+1在(-,2)上单调递减,在2,+)上单调递增,所以y=的单调递减区间是(-,2).答案:(-,2)3(金榜原创题)已知函数f(x)m9x3x，若存在非零实数x0，使得f(x0)f(x0)成立，则实数m的取值范围是()Am Bm2C0m2 D0m【解题思路】由题意可得
3、m9x3xm9x3x有解，可得3x3x，利用基本不等式求得m的取值范围【解析】选D.由题意可得m9x3xm9x3x有解，即m(9x9x)3x3x有解可得3x3x2，求得0m.再由x0为非零实数，可得中等号不成立，故0m.4(2021黄山高一检测)若关于x的方程：9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围为()A(，8)0，) B(8，4)C8，4 D(，8【解析】选D.因为a4，令3xt(t0)，则.因为t4，当且仅当t2时等号成立所以4，所以a44，a8，所以a的取值范围为(，8.5(多选题)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，可能成立的是()Aa0，b0，c0
4、 Ba0Ca0，b0，c0 D2a2c2【解析】选BD.作出函数f(x)|2x1|的图象，如图结合图象及已知条件知，a0，b在a，c之间，可能大于0可能小于0，所以B可能成立由f(a)f(c)，得|2a1|2c1|，所以12a2c1，所以2a2c2.【变式备选】函数f(x)=的图象大致为()【解析】选B.f(x)=由指数函数的图象知B正确.二、填空题(每小题5分，共15分)6函数y2x2的值域为_【解题思路】先利用配方法求出指数的取值范围，然后根据指数函数的单调性求出值域即可【解析】因为x22x2(x1)211，所以函数y2x2的值域为.答案：【变式备选】函数f(x)=的值域是_.【解析】设t
5、=-x2+4x=-(x-2)2+4,当x=2时,t有最大值,为4,而f(t)=2t在其定义域内为增函数,所以函数f(x)有最大值,最大值为f(2)=16,故函数f(x)=的值域是(0,16.答案:(0,167(金榜原创题)已知f(x)是定义在2，2上的奇函数，当x(0，2时，f(x)2x1，函数g(x)x22xm，如果对x12，2，x22，2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围为_【解题思路】先求出x2，2时，f(x)max，g(x)max，然后解不等式f(x)maxg(x)max即可【解析】x(0，2时，f(x)2x1为增函数，所以f(x)maxf(2)413，又f(x)是2，2上
6、的奇函数，所以x2，2时，f(x)max3.g(x)(x1)2m1在2，2上的最大值为g(2)8m，又x12，2，x22，2，使得f(x1)g(x2)，所以38m，所以m5.答案：m5【变式备选】已知函数f(x)=+a的图象经过第二、三、四象限.(1)求实数a的取值范围;(2)设g(a)=f(a)-f(a+1),求g(a)的取值范围.【解析】(1)如图,因为函数f(x)=+a的图象经过第二、三、四象限,所以a-1;(2)g(a)=f(a)-f(a+1)=+a-a=.因为a3,则2.故g(a)的取值范围是(2,+).8函数y4x2x11的定义域是_，值域是_【解析】显然定义域为R，令2xt(t0
7、)，则函数y4x2x11可化为yt22t1(t1)2，该函数在t(0，)上递增，所以y1，即原函数的值域为(1，).答案：R(1，)【变式备选】已知f(x)=9x-23x+4,x-1,2.(1)设t=3x,x-1,2,求t的最大值与最小值;(2)求f(x)的最大值与最小值.【解析】(1)因为x-1,2,函数t=3x在-1,2上是增函数,故有t9,故t的最大值为9,最小值为.(2)由f(x)=9x-23x+4=t2-2t+4=(t-1)2+3,可得此二次函数的对称轴为t=1,且t9,故当t=1时,函数f(x)有最小值为3,当t=9时,函数f(x)有最大值为67.三、解答题9(10分)(2021成
8、都高一检测)已知函数f(x)ax，g(x)a2xm，其中m0，a0且a1.当x1，1时，yf(x)的最大值与最小值之和为.(1)求a的值；(2)若a1，记函数h(x)g(x)2mf(x)，求当x0，1时，h(x)的最小值H(m).【解题思路】(1)根据x1，1时，yf(x)的最大值与最小值之和为.建立方程关系即可求a的值；(2)求出函数h(x)的表达式，利用换元法求函数的最小值【解析】(1)因为f(x)在1，1上为单调函数，f(x)的最大值与最小值之和为aa1，所以a2或.(2)由题知，a2，h(x)22xm2m2x.即h(x)(2x)22m2xm，令t2x，因为x0，1，所以t1，2，h(x
9、)t22mtm，对称轴为tm，当0m1时，H(m)h(1)m1；当1m2时，H(m)h(m)m2m；当m2时，H(m)h(2)3m4.综上所述，H(m).【变式备选】已知函数f(x)=kx2+2x(k为常数)为奇函数,函数g(x)=af(x)-1(a0,且a1).(1)求k的值;(2)求g(x)在-1,2上的最大值.【解析】(1)由f(-x)=-f(x),得kx2-2x=-kx2-2x,所以k=0.(2)因为g(x)=af(x)-1=-1=(a2)x-1.当a21,即a1时,g(x)=(a2)x-1在-1,2上单调递增,所以g(x)的最大值为g(2)=a4-1.当a21,即0a1时,g(x)=
10、(a2)x-1在-1,2上单调递减,所以g(x)的最大值为g(-1)=-1.所以g(x)max=某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y(g)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线其中OA是线段，曲线段AB是函数ykat(t1，a0，k，a是常数)的图象(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2(g)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？ (3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3 h，该病人每毫升血液中含药量为多少g？(精确到0.1g)【解析】(1)当0t1时，y8t；当t1时，把A(1，8)，B(7，1)代入ykat，得，解得，故y.(2)设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t5，即第一次服药5 h后服第二次药，即上午11：00服药；(3)第二次服药3 h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：y18 g，含第二次服药后的剩余量为：y284 g，所以此时两次服药剩余的量为44.7 g，故该病人每毫升血液中的含药量为4.7 g.