1、三简单曲线的极坐标方程互动课堂重难突破本课时的重点、难点是求曲线的极坐标方程,要重点掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程.一、在极坐标系中,平面曲线的极坐标方程f(,)=0.1.一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(,)=0,并且坐标适合方程f(,)=0的点都在曲线C上,那么方程f(,)=0称为曲线C的极坐标方程.2.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；同样地,在极坐标系中，曲线可以用含有、这两个变量的方程f(,)=0来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程.3.求曲线的极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条
2、件的点的集合或轨迹；将已知条件用曲线上点的极坐标、的关系式f(,)=0表示出来，就得到曲线的极坐标方程.具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设P(,)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.注意:(1)在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径和极角之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立、之间的关系.此法称作三角形法.(2)在求曲线的极坐标
3、方程时,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,将它用坐标表示,再通过代数变换进行化简.二、用极坐标与直角坐标来表示点和曲线的区别.1.对极径0)且垂直于极轴的直线方程是cos=a.2.过点(a,)(a0)且垂直于极轴的直线方程是cos=-a,如图(1).3.过点(a,)(a0)且平行于极轴的直线方程是sin=a,如图(2).4.过点(a,)(a0)且平行于极轴的直线方程是sin=-a,如图(3).5.过极点倾角为的直线方程是=(R). (1) (2) (3)四、以下几种特殊位置的圆的极坐标方程也需要掌握.1.以极点为圆心且半径为r的圆的极坐标方程=r.2.过极点且圆心坐标为(a,0)(a0)的圆
4、的极坐标方程为=2acos.3.过极点且圆心坐标为(a,)(a0)的圆的极坐标方程为=-2acos,如图(1).4.过极点且圆心坐标为(a,)(a0)的圆的极坐标方程为=2asin,如图(2).5.过极点且圆心坐标为(a,)(a0)的圆的极坐标方程为=-2asin,如图(3). (1) (2) (3) 活学巧用【例1】 求：(1)过A(2,)且平行于极轴的直线方程；(2)过A(3,)且和极轴成的直线方程.解析:(1)在直线上任意取一点M，根据已知条件想办法找到变量、之间的关系.我们可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知OA的长度，还知AOx=，还可以得到MH的长度，从而在RtOMH中找到变量
5、、之间的关系.(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量、之间的关系.解:(1)如图所示,在直线l上任意取点M(,)，A(2,)，|MH|=2sin=,在RtOMH中,|MH|=|OM|sin,即sin=,过A(2,)且平行于极轴的直线方程为sin=.(2)方法一:如图所示,A(3,)，|OA|=3,AOB=，由已知MBx=，OAB=OAM=-.又OMA=MBx-=-，在MOA中，根据正弦定理得sin=sin()=，将sin(-)展开，化简上面的方程，可得(sin+cos)=过A(3,)且和极轴成的直线方程为(sin+cos)=方法二:利用教材P15例3的结论可得sin(-)=sin(-)=3si
6、n点评:可以看到，在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.【例2】判断点(-)是否在曲线=cos上？解析:在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程时，我们还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解:点(-)和点()是同一点，而cos=cos=,点()在曲线=cos上，即点(-)在曲线=cos上.点评:我们容易根据直角坐标系的习惯,当把点的坐标代入，不满足方程时就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不相同的.在极坐标系中，尽管点(-)并不满足=cos，
7、但是据此并不能肯定这个点不在曲线上.【例3】设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连结MA，自M作MPMA交OA于P，求P点的轨迹方程.解:以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系,如图.设定圆O的半径为r，OM=a，P(,)是轨迹上任意一点.MPMA，|MA|2+|MP|2=|PA|2，由余弦定理可知|MA|2=a2+r2-2arcos，|MP|2=a2+2-2acos,而|PA|=r-，由此可得a2+r2-2arcos+a2+2-2acos=(r-)2，整理化简，得=点评:寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方
8、法称为三角形法.若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.【例4】极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是()A.2B.2C.1D.解法一:两圆圆心的极坐标分别是(,0)和(,),这两圆心的距离是.解法二:将方程化为直角坐标方程.因为不恒为零,可以用分别乘方程两边,得2=cos和2=sin.x2+y2=x和x2+y2=y.它们的圆心分别是(,0)、(0,),圆心距是.答案:D点评:可以用极坐标方程与直角坐标方程互化来判断曲线的形状,求解其他问题等.但记住特殊位置的曲线的极坐标方程会给解题带来方便.