1、广东省广州市天河区2022年中考数学一模试题一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）1（3分）下列四个选项中，为无理数的是（）A0B13C-3D32（3分）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b0，若|ab|6，则点A表示的数为（）A3B0C3D63（3分）方程1x+3=2x的解为（）Ax6Bx2Cx2Dx64（3分）下列计算正确的是（）A16=4B（2）01C2+5=7D39=35（3分）下列命题是真命题的是（）A对角线相等的四边形是平行四边形B对角线互相平分且相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的四边形是菱形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形6（3分）一个布袋里装有3
2、个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（）A13B15C38D587（3分）如图，AB是O的直径，BC是O的切线，点B为切点，若BC4cm，tanBAC=33，则劣弧BD的长为（）A33cmB32cmC233cmD3cm8（3分）抛物线yax2+bx+c经过点（1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，5），则当x2时，y的值为（）A5B3C1D59（3分）如图，在ABC中，ACB90，BC4，AB5，将ABC绕点B顺时针旋转得到ABC，使点C恰好落在AB上，则tanAAC的值为（）A13B14C15D3410（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y
3、=kx（k0，x0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y=-kx（x0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D若点A的横坐标为1，BC3BD，则点B的横坐标为（）A32B2C52D3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11（3分）使式子x-4有意义的条件是 12（3分）方程x22x0的实数解是 13（3分）如图，在RtABC中，C90，A15，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD若CD=3，则AD的长为 14（3分）一元二次方程x2+m0有两个不相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两个点，若x1x20，则y1 y2（
4、填“”或“”或“”）15（3分）正方形ABCD中，ADF绕着点A顺时针旋转90后得到ABM，点M、B、E、C在一条直线上，且AEM与AEF恰好关于AE所在直线成轴对称，已知EF5，正方形边长为6那么EFC的面积是 16（3分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DMCN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB8，DM2，给出以下结论：AMDN；MANBAN；PQNBQN；PQ5其中正确的结论有 （填上所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17（4分）解方程组：x-y=1x+3y=918（4分）如图，点A，D，B，E
5、在一条直线上，ADBE，ACDF，ACDF求证：BCEF19（6分）先化简，再求值：（1+1x-1）x2-1x，其中x=3-120（6分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试整理测试成绩，得到如下频数分布表和频数分布直方图：成绩（分）频数频率A组：75x8060.15B组：80x85a0.2C组：85x90160.4D组：90x9560.15E组：95x1004b其中最低分为76分，满分率为5%，C组成绩为89，89，86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87回答下列问题：
6、（1）学校共抽取了 名同学进行测试，他们的成绩的众数为 ，极差为 ；（2）其中频数分布表中a ，b ，并补全频数分布直方图；（3）若成绩大于85分为优秀，估计该校七年级1500名学生中，达到优秀等级的人数21（8分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史
7、小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？22（10分）如图，已知锐角ABC中，ACBC（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB的平分线CD；作ABC的外接圆O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB=485，O的半径为5，则sinB （如需画草图，请使用图2）23（10分）如图，一次函数y=3x+b的图象与x轴的负半轴交于点A（23，0）与y轴的正半轴相交于点B，OAB的外接圆的圆心为点C（1）求点B的坐标，并求BAO的大小；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）24（12分）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且
8、满足AECF，连接AF，BE相交于点P（1）求证：AFBE；（2）若AE2，试求APAF的值；（3）当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长25（12分）已知二次函数yax22ax+3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D（）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标（）点P（t，0）是x轴上的动点，求PDPC的最大值及对应的点P的坐标；设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数ya|x|22a|x|+3的图象只有一个公共点，求t的取值范围2022年广东省广州市天河区华南师大附中中考数学一模试卷答案与详解一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）1（3分）下列四个选
9、项中，为无理数的是（）A0B13C-3D3【分析】根据无理数的定义判断即可【解答】解：0，13，3都是有理数，-3是无理数，故选：C2（3分）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b0，若|ab|6，则点A表示的数为（）A3B0C3D6【分析】根据相反数的性质，由a+b0，得a0，b0，ba，故|ab|b+（a）6进而推断出a3【解答】解：a+b0，ab，即a与b互为相反数又|ab|6，ba62b6b3a3，即点A表示的数为3故选：A3（3分）方程1x+3=2x的解为（）Ax6Bx2Cx2Dx6【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解
10、【解答】解：去分母得：x2（x+3），解得：x6，检验：把x6代入得：x（x+3）0，分式方程的解为x6故选：D4（3分）下列计算正确的是（）A16=4B（2）01C2+5=7D39=3【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可【解答】解：16的算术平方根为4，即16=4，故A不符合题意；根据公式a01(a0)可得（2）01，故B符合题意；2、5无法运用加法运算化简，故2+57，故C不符合题意；9=3，故D不符合题意；故选：B5（3分）下列命题是真命题的是（）A对角线相等的四边形是平行四边形B对角线互相平分且相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的四边形是菱形D对角线互相垂直平分的四边形是正
11、方形【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；故选：B6（3分）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（）A13B15C38D58【分析】用红球的个数除以球的总个数即可【解答
12、】解：布袋里装有3个红球和5个黄球，共有8个球，任意摸出一个球是红球的概率是38故选：C7（3分）如图，AB是O的直径，BC是O的切线，点B为切点，若BC4cm，tanBAC=33，则劣弧BD的长为（）A33cmB32cmC233cmD3cm【分析】连接BD，可判断ADB90，根据BC是O的切线，BC4cm，tanBAC=33，可知AB43，BAD30，BOD60，则劣弧BD的长为圆的周长的16【解答】解：连接BD，AB是O的直径，ADB90，BC是O的切线，BC4cm，tanBAC=33，ABC90，BAC30，AC2BC8cm，AB=AC2-BC2=43cm，OBOD，BOD60，OBOD
13、23，圆的周长为：2OB43，劣弧BD的长为：6036043=233，故选：C8（3分）抛物线yax2+bx+c经过点（1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，5），则当x2时，y的值为（）A5B3C1D5【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y5【解答】解：如图抛物线yax2+bx+c经过点（1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，5），可画出上图，抛物线对称轴x=-1+32=1，点（0，5）的对称点是（2，5），当x2时，y的值为5故选：A9（3分）如图，在ABC中，ACB90，BC4，AB5，将ABC绕点B顺时针旋转得到ABC，使点C恰好落
14、在AB上，则tanAAC的值为（）A13B14C15D34【分析】先利用勾股定理求出AC，再根据旋转的性质得出ABAB5，从而求出AC，然后在RtACA中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答【解答】解：ACB90，BC4，AB5，AC=AB2-BC2=52-42=3，由旋转得：ABAB5，ACABBC541，ACB90，ACA180ACB90，在RtACA中，tanAAC=ACAC=13，故选：A10（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx（k0，x0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y=-kx（x0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D若点A的横坐标为1，BC3BD
15、，则点B的横坐标为（）A32B2C52D3【分析】作BEx轴于E，则ACBE，即可得到CDFBDE，由题意得出CFBE=DFDE=21，即可得出CF2BE，DF2DE，设B（kb，b），则C（1，2b），代入y=-kx（x0）即可求得k2b，从而求得B的坐标为2【解答】解：作BEx轴于E，ACBE，CDFBDE，CFBE=DFDE=CDBD，BC3BD，CFBE=DFDE=21，CF2BE，DF2DE，设B（kb，b），C（1，2b），函数y=-kx（x0）的图象交于点C，k1（2b）2b，k2b，B的横坐标为kb=2bb=2，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11（
16、3分）使式子x-4有意义的条件是 x4【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于x的不等式，解出即可得出答案【解答】解：式子x-4有意义，x40，解得：x4故答案为：x412（3分）方程x22x0的实数解是 x10，x22【分析】方程左边分解因式后，利用因式分解法求出解即可【解答】解：方程变形得：x（x2）0，可得x0或x20，解得：x10，x22故答案为：x10，x2213（3分）如图，在RtABC中，C90，A15，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD若CD=3，则AD的长为 2【分析】由线段垂直平分线的性质可得ADBD，利用含30角的直角三角形的性质可求解
17、BD的长，进而求解【解答】解：DE垂直平分AB，ADBD，AABD，A15，ABD15，BDCA+ABD15+1530，C90，CD=3，BC1，BD2BC2，ADBD2故答案为：214（3分）一元二次方程x2+m0有两个不相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两个点，若x1x20，则y1y2（填“”或“”或“”）【分析】由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y=mx图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论【解答】解：一元二次方程x2+m0有两个不相等的实数根，04m0，解得m0，m0，反比例函数y=mx图象在第二、四象限，在每个象限
18、y随x的增大而增大，x1x20，y1y2，故答案为：15（3分）正方形ABCD中，ADF绕着点A顺时针旋转90后得到ABM，点M、B、E、C在一条直线上，且AEM与AEF恰好关于AE所在直线成轴对称，已知EF5，正方形边长为6那么EFC的面积是 6【分析】由旋转可得，SADFSABM，由对称可得，MEEF5且SAEFSAEM，得到五边形ABEFD的面积是30，正方形ABCD的面积是36，进而可得答案【解答】解：由旋转可得，SADFSABM，由对称可得，MEEF5且SAEFSAEM，SAEFSAEM=12MEAB=1256=15，SADFSABM，五边形ABEFD的面积是15+1530，而正方形
19、ABCD的面积是6636，EFC的面积是36306故答案为：616（3分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DMCN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB8，DM2，给出以下结论：AMDN；MANBAN；PQNBQN；PQ5其中正确的结论有 （填上所有正确结论的序号）【分析】正确，证明ADMDCN（SAS），可得结论错误，利用反证法证明即可正确，利用勾股定理求出AN，再利用直角三角形斜边中线的性质求出PQ，可得结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，ADDC，ADMDCN90，在ADM和DCN，AD=DCADM=DCNDM=CN，A
20、DMDCN（SAS），DAMCDN，CDN+ADP90，ADP+DAM90，APD90，AMDN，故正确，不妨假设MANBAN，在APN和ABN中，APN=ABN=90PAN=BANAN=AN，PANABN（AAS），ABAP，这个与APAD，ABAD，矛盾，假设不成立，故错误，不妨假设PQNBQN，则ANPANB，同法可证APNABN，APAB，这个与APAD，ABAD，矛盾，假设不成立，故错误，DMCN2，ABBC8，BN6，ABN90，AN=AB2+BN2=82+62=10，APN90，AQQN，PQ=12AN5故正确，故答案为：三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17（4分）解方程
21、组：x-y=1x+3y=9【分析】运用加减消元解答即可【解答】解：x-y=1x+3y=9，得，4y8，解得y2，把y2代入得，x21，解得x3，故原方程组的解为x=3y=218（4分）如图，点A，D，B，E在一条直线上，ADBE，ACDF，ACDF求证：BCEF【分析】根据线段的和差得到ABDE，由平行线的性质得到AEDF，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】证明：ADBE，AD+BDBE+BD，即ABDE，ACDF，AEDF，在ABC与DEF中，AB=DEA=EDFAC=DF，ABCDEF（SAS），BCEF19（6分）先化简，再求值：（1+1x-1）x2-1x，其中x=3-1【分析】根
22、据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（1+1x-1）x2-1x=x-1+1x-1x2-1x=xx-1(x+1)(x-1)xx+1，当x=3-1时，原式=3-1+1=320（6分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试整理测试成绩，得到如下频数分布表和频数分布直方图：成绩（分）频数频率A组：75x8060.15B组：80x85a0.2C组：85x90160.4D组：90x9560.15E组：95x1004b其中最低分为76分，满分率为5%，C组成绩为89，89，
23、86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87回答下列问题：（1）学校共抽取了 40名同学进行测试，他们的成绩的众数为 89，极差为 24；（2）其中频数分布表中a8，b0.1，并补全频数分布直方图；（3）若成绩大于85分为优秀，估计该校七年级1500名学生中，达到优秀等级的人数【分析】（1）根据频数分布表中C组频数和频率可得学校共抽取的人数，再将C组成绩从低到高排列后即可得众数和极差；（2）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校七年级1500名学生中，达到优秀等级的人数【解答】解：（1）根据题意可知：160.440，
24、所以学校共抽取了40名同学进行测试，因为C组有16人，成绩从低到高为：86，86，87，88，88，88，89，89，89，89，89，89，89，89，89，90，众数为89，极差为1007624故答案为：40、89、24；（2）a400.28，b4400.1，如图即为补全的频数分布直方图，故答案为：8，0.1，（3）0.651500975（人）答：该校七年级1500名学生中，达到优秀等级的975人21（8分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得
25、4分，答错扣1分，不答得0分（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（251x）道题，根据总得分4答对题目数1答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25y）道题，根据总得分4答对题目数1答错题目数，结合总得分大于或等于90分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其
26、中的最小值即可得出结论【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（251x）道题，依题意得：4x（251x）86，解得：x22答：该参赛同学一共答对了22道题（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25y）道题，依题意得：4y（25y）90，解得：y23答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”22（10分）如图，已知锐角ABC中，ACBC（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB的平分线CD；作ABC的外接圆O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB=485，O的半径为5，则sinB45（如需画草图，请使用图2）【分
27、析】（1）利用尺规作出ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作O即可（2）连接OA，设射线CD交AB于E利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论【解答】解：（1）如图，射线CD，O即为所求（2）连接OA，设射线CD交AB于ECACB，CD平分ACB，CDAB，AEEB=245，OE=OA2-AE2=52-(245)2=75，CEOC+OE5+75=325，ACBC=AE2+EC2=(245)2+(325)2=8，sinB=ECBC=3258=45故答案为：4523（10分）如图，一次函数y=3x+b的图象与x轴的负半轴交于点A（23
28、，0）与y轴的正半轴相交于点B，OAB的外接圆的圆心为点C（1）求点B的坐标，并求BAO的大小；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）【分析】（1）首先把点A的坐标代人函数的解析式求得b的值，然后令y0可求A点坐标，令x0可求B点坐标，再由A，B的坐标求得线段OA，OB的长，利用直角三角形的边角关系可求BAO得大小；（2）连接OC，阴影部分的面积等于扇形CAO的面积减去CAO的面积，分别计算扇形CAO的面积和CAO的面积，阴影部分面积可求【解答】解：（1）一次函数y=3x+b的图象与x轴的负半轴交于点A（23，0），0=3（23）+b，b6，当x0时，y6，点B的坐标为（0，6），OB6，
29、在RtAOB中，tanBAO=BOAO=623=3，BAO60；（2）连CO，AOB为直角三角形，ACCB，C为斜边AB的中点OC=12ABAB=AO2+OB2=(23)2+62=43，ACBC23CAOCOA60ACO60S阴影S扇形SACO=60(23)2360-1223323324（12分）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AECF，连接AF，BE相交于点P（1）求证：AFBE；（2）若AE2，试求APAF的值；（3）当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长【分析】（1）证明ABECAF，由全等三角形的性质可得到答案；（2）利用勾股定理求得AF的长度
30、，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得APAF的值，即可以得到答案（3）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案【解答】（1）证明：ABC为等边三角形，ABAC，CCAB60，又AECF，在ABE和CAF中，AB=ACBAE=ACFAE=CF，ABECAF（SAS），AFBE；（2）解：CAPE60，PAECAF，APEACF，APAC=AEAF，即AP6=2AF，APAF12；（3）解：如图1所示：当AECF时，点P的路径是一段弧当E为AC的中点的时候，点
31、P经过弧AB的中点，此时ABP为等腰三角形，且ABPBAP30，AOB120，又AB6，OA23点P的路径是l=nr180=12023180=43325（12分）已知二次函数yax22ax+3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D（）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标（）点P（t，0）是x轴上的动点，求PDPC的最大值及对应的点P的坐标；设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数ya|x|22a|x|+3的图象只有一个公共点，求t的取值范围【分析】（）可用对称轴公式直接求出yax22ax+3的对称轴，然后写出顶点D的坐标，将顶点坐标代入yax22ax+3即可求出点C的坐标；
32、（）求出直线CD的解析式，再求出CD与x轴交点即可求出P点坐标，CD的长度即为PDPC的最大值；根据题意画出图形，分别表示出关键点即抛物线与x轴交点与点P重合时的图象，由图象即可看出t的取值范围【解答】解：（）在二次函数yax22ax+3中，x=-2a2a=1，yax22ax+3的对称轴为直线x1，yax22ax+3的最大值为4，抛物线的顶点D（1，4），将D（1，4）代入yax22ax+3中，得a1，该二次函数的解析式为yx2+2x+3，C点坐标为（0，3），D点坐标为（1，4）；（）|PCPD|CD，当P，C，D三点在一条直线上时，|PCPD|取得最大值，如图1，连接DC并延长交x轴于点P
33、，将点D（1，4），C（0，3）代入ykx+b，得k+b=4b=3，解得k1，b3，yCDx+3，当y0时，x3，P（0，3），CD=12+(4-3)2=2，PDPC的最大值为2，P（3，0）；ya|x|22a|x|+3可化为y=-x2+2x+3(x0)-x2-2x+3(x0)，将P（t，0），Q（0，2t）代入ykx+b，得tk+b=0b=2t，解得：k2，b2t，yPQ2x+2t，情况一：如图21，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x0)-x2-2x+3(x0)的图象只有一个公共点，此时t3，综合图21，图22，所以当t3时，线段PQ
34、与函数y=-x2+2x+3(x0)-x2-2x+3(x0)的图象只有一个公共点；情况二：如图23，当线段PQ过（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x0)-x2-2x+3(x0)的图象只有一个公共点，此时t=32，如图24，当线段PQ过点（3，0），即点P与点A（3，0）重合时，t3，此时线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x0)-x2-2x+3(x0)，的图象有两个公共点，综合图23，图24，所以当32t3时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x0)-x2-2x+3(x0)的图象只有一个公共点；情况三：如图25，将y2x+2t代入yx2+2x+3（x0），整理，得x24x+2t30，164（2t3）288t，令288t0，解得t=72，当t=72时，线段PQ与与函数y=-x2+2x+3(x0)-x2-2x+3(x0)的图象只有一个公共点；综上所述，t的取值范围为t3或32t3或t=72