1、河北省唐山市滦南县第二高级中学2021届高三数学上学期月考试题 文（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1. 已知集合，则的子集个数共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】分析：首先确定出集合中的元素都有哪些，之后求得集合中的元素有几个，最后根据含有个元素的有限集合子集的个数为个，从而求得结果.详解：根据题中条件，可以求得，从而可以求得，从而可以求得其子集个数是个，故选D.点睛：该题考查了集合的有关运算以及交集的个数问题，在解题的过程中，确定集合中的元素是关键，尤其集合中的条件.2. 已知是第二象限角，且，则的值为（
2、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式得，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由，得.因为是第二象限角，所以.故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.3. 下列函数中，在其定义域是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数特征逐一判断其单调性即可.【详解】A选项中，定义域为R，二次函数，开口向下，对称轴是，故在上是增函数，在上是减函数，故不符合题意；B选项中，反比例函数，对称中心，故在上是减函数，在上是减函数，不能说在定义域上是减函数，故不符合题意；C选
3、项中，在上，是增函数，在上是减函数，故不符合题意；D选项中，定义域为，根据复合函数，在定义域内递增，在递减，故在定义域为是减函数，符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了函数单调性的判断，属于基础题.4. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先选项C中函数的周期为,故排除C,将,代入A,B,D求得函数值,而函数在对称轴处取最值,即可求出结果.【详解】先选项C中函数的周期为,故排除C,将,代入A,B,D求得函数值为,而函数在对称轴处取最值.故选:.【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.5. 函数的零点所在的区间
4、是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反.【详解】解：，则，函数的零点所在区间是，当，且时，ACD中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B为正确答案.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点存在性定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号.6. 已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由的奇偶性可得，代入函数解析式列出等式即可求得a.【详解】因为是偶函数，所以，即，解得.故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属于基础题
5、.7. 的图象的一部分图形如图所示，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据最小正周期求出，再根据所过的点求出，最后写出函数的解析式.【详解】解：由函数的图象可得：最小正周期为，过点，所以，解得：，所以函数的解析式：因为函数的图象过点，所以，解得：，即，因，所以所以函数的解析式：故选：C.【点睛】本题考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，是基础题.8. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别计算三个数与0和的大小关系，即可得出正确选项.【详解】因为，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了比较指数和对数式
6、的大小，常用的方法是和中间量、 的大小关系，还可以构造函数，利用函数的单调性比较大小，属于中档题.9. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 （ ）A. B. 4C. 2D. 【答案】B【解析】故选B10. 设函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据在上的单调递减，所以分段函数的两段都是各自定义域内的减函数，即，且，即可求解.【详解】因为在上的单调递减，所以 ，即，所以实数的取值范围为，故选：B【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于中档题.11. 函数的导函数，对任意，都有成立，若，则满足
7、不等式的的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，求得，则函数为单调递增函数，把不等式，转化为，即可求解.【详解】由题意，对任意，都有成立，即，令，则，所以函数为单调递增函数，又因不等式，即，因为，所以，所以不等式的解集为，故选C.【点睛】本题主要考查了导数点运算，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据选项及已知条件合理构造新函数，利用导数判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）12. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据使函数有意义必须满足，再由正弦函数的
8、性质得到的范围【详解】由题意得：即故答案为【点睛】本题考查关于三角函数的定义域问题，属于基础题13. 函数在上是奇函数，当时，则_.【答案】【解析】【分析】设，则，求出，再利用，即可求出时的解析式，写成分段函数的形式即可.【详解】设，则，因为是奇函数，所以，所以，可得，所以故答案：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，属于中档题.14. 若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据两角差的余弦展开，再进行平方，根据二倍角公式可得【详解】由，得，两边同时平方得，所以.故答案为：.【点睛】考查三角函数同角关系式和二倍角公式，属于基础题.15. 已知函数在区间上单调递增，则实数的
9、取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数在上单调递增，等价于在上恒成立，再对分类讨论即得结果.【详解】因为在区间上单调递增，在上恒成立，若，显然恒成立，符合题意；若，设，则，在上是增函数，即在上是增函数，要使，即需其最小值，故，解得，综上，的范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在锐角中，、分别为角、所对的边，且（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，化简即可求解.（2）由三角
10、形面积公式，求得，再结合余弦定理，即可求出.【详解】（1）由及正弦定理得，是锐角三角形，（2），面积为，即，由余弦定理得，即由变形得将代入得，故【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，属于较易题.17. 已知命题p：函数的定义域，命题q：幂函数在上是减函数.求：（1）在命题p中，若的最大值是，求的值.（2）若为真命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用复合函数单调性判断其单调性，再计算最值，即求得参数；（2）先求两个命题为真命题时参数的范围，再取交集即得结果.【详解】解：（1）在命题p中，函数，定义域，结合复合函数单调性可知，在是增函数，在是减函数，故，得，；（2
11、）若命题p真，则在上恒成立，即，；若命题q真，则，；因为为真命题，故且，即，所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了利用命题真假求参数，考查了复合函数单调性的判断和幂函数单调性的应用，属于基础题.18. 已知，求角的大小【答案】.【解析】【分析】由已知结合的范围，求出的值，同理求出的值，然后把化为，再利用两角差的正弦函数求解即可.【详解】因为,因为，所以.因为，且，所以，所以.所以.因为，所以.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值
12、求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角19. 已知函数.（1）当时，求的图像在处的切线方程；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求的图象在处的切线方程；（2）利用导数求出函数的在上的极值和最值，即可得到结论试题解析：（1）当时，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即.（2），则.，当时，.当时，；当时，.故在处取得极大值.又，则，在上的最小值是在上有两个零点的条件是，解得，实数的取值范围是考点：利用导数求闭区间上函数的最值.20. 已知函数.（1）求的周期和单调递
13、增区间；（2）将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），再把所得图象上的所有点向上平移个单位，得到函数的图象，当时，求的值域.【答案】（1）周期，的增区间为；（2）.【解析】【分析】(1)根据辅助角公式先得到函数的表达式，再求周期和单调增区间即可；(2) 根据图像的变换公式得到g(x)sin（x ），结合图像得到函数的最值【详解】解：（1）故周期；令得故的增区间为；（2）将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变）得，再把所得图象上的所有点向上平移个单位得，因为，所以，.【点睛】本题考查了辅助角公式和三角函数的平移变换、周期、单调性及值域，属于中档题.21. 已
14、知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）2.【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得，根据其正负即可得函数的单调区间；（2）通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立，再令，结合函数零点存在定理可求得的最值，即求得整数的最小值【详解】解：（1）函数的定义域为由题意得，因为，由，得或（舍去），当时，单调递增，当时，单调递减所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由恒成立，得，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立令，则，令，则易见在区间内单调递增，又，所以存在唯一的，使得，即，且当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，有极大值，也为最大值，且 ，所以，又，所以,因为，所以，故整数的最小值为2【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性、最值问题，进而解决恒成立问题，考查了导函数零点存在但不可求的问题，可借用整体代换的方法，属于较难题.