1、第四章 三角函数、平面向量与复数1三角函数2平面向量3复数第19讲 任意角的三角函数、同角关系式与诱导公式 【学习目标】1了解任意角的概念，弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化2理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义3掌握同角三角函数的基本公式并能灵活运用4掌握正弦、余弦的诱导公式，并能灵活运用1若 sin 2 23，2，0，则 tan 等于()A 24B.24C2 2D2 2【解析】由已知得：cos 1sin213 tan sin cos 2 2，选 C.C2已知扇形的周长是 4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是()A2B1C.12D3【解析】设此扇形的半径为 r，弧长为
2、 l，则 2rl4 则面积 S12rl12r(42r)(r1)21 当 r1 时，S 最大，此时 l42r2，从而 lr2，选 A.A3已知角 的终边过点 P(8m，6cos 60)，且 sin 35，则 m 的值为()A14B12C 32D 32【解析】r 64m29，sin 364m2935，m214，m12，选 B.B4sin43 cos56 tan43 的值是()A3 34B.3 34C 34D.34【解析】原式sin3 cos6 tan3 32 32 33 34，选 A.A【知识要点】1角的概念(1)角的概念的推广按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当
3、一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角(2)象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就把这个角称作第几象限角角的终边落在坐标轴上，称为轴线角，这个角不属于任何象限(3)终边相同的角所有与 角终边相同的角，连同 角在内(而且只有这样的角)，可以用式子 k360，kZ 或 2k，kZ 表示2弧度制(1)概念：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，它的单位符号是 rad，记作弧度(2)扇形的弧长与面积公式：半径为 r，中心角为(rad)的扇形的弧长为 l|r；面积为 S12lr12|r2.(3)角度制与弧度制的关系1 180弧度，1 弧度18
4、0.3任意角的三角函数xyyxMPOMAT(2)三角函数的定义域、值域ysin ，ycos 的定义域是_，值域是_ytan 的定义域是_，值域是_R1，1 R且k 2，kZR4同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_(2)商数关系：_sin2cos21tan sin cos 一、任意角的三角函数、象限符号及三角函数线例1(1)在(0，2)内，使 sin xcos x 成立的 x 的取值范围为()A.4，2 ，54B.4，C.4，54D.4，54，32C【解析】在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0，2)内，sin xcos x，则 x4，54.(2)ABC 为锐角三角形，若角 的终边上一
5、点 P的坐标为(sin Acos B，cos Asin C)，则 y sin|sin|cos|cos tan|tan|的值为_1【解析】ABC 为锐角三角形，AB2，AC2，又 A，B，C0，2，则2 A2 B0，2 C2 A0，则 sin Asin2 B cos B，sin Csin2 A cos A，即 sin Acos B0，cos Asin C0.可知 是第四象限的角，sin 0，cos 0，tan 0.y(1)1(1)1.【点评】三角函数的象限符号是学习三角函数的基础知识，理解和记忆应数形结合，同时三角函数线是三角函数值的形的表示，可应用它作出三角函数图象，也可应用它解简单三角函数不
6、等式二、同角关系式与诱导公式例2 已 知是 第 三 象 限 角，且f()tan（）cos（2）sin32cos（）tan（）.(1)化简 f()；(2)若 cos 32 15，求 f()的值；(3)若 1 860，求 f()的值【解析】(1)f()tan（）cos（2）sin32cos（）tan（）tan cos（cos）cos（tan）cos.(2)cos3215，sin 15，sin 15，又 是第三象限角，cos 2 65，f()cos 2 65.(3)1 860360560，cos cos(1 860)cos(60)cos 6012.f()12.【点评】应用诱导公式时，注意符号的确定原
7、则是视 为锐角，符号是定形前的三角函数的象限符号三、三角函数中“弦与切”的转化例3已知 cos2 2sin 2.求sin3（）cos（）5cos52 3sin72 的值【解析】cos2 2sin2，sin 2sin2 ，sin 2cos，即 tan 2.sin3（）cos（）5cos52 3sin72 sin3cos 5cos22 3sin42 sin3cos 5cos2 3sin2 sin3cos 5sin 3cos sin2tan 15tan 32sin211032sin217 2sin2（sin2cos2）7（sin2cos2）sin2cos27（sin2cos2）tan217（tan2
8、1）417（41）335.【点评】当题设条件中三角函数种类较多时，往往应用“弦化切或切化弦”技巧四、“sin cos”与“sin cos”的互化例4已知 是三角形的内角，且 sin cos 15.(1)求 tan 的值；(2)把1cos2 sin2 用 tan 表示出来，并求其值【解析】(1)方法一 联立方程221sincos5sincos1 由得 cos 15sin，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形内角，sin 0，4sin53cos5，tan 43.方法二 sin cos 15，(sin cos)2152，即 12sin cos 125，2sin cos 2425，(
9、sin cos)212sin cos 124254925.sin cos 12250 且 00，cos 0，sin cos 75，由1sincos57sincos5，得4sin53cos5，tan 43.(2)1cos2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos2sin2cos2tan211tan2，tan 43，1cos2sin2tan211tan243211432257.【点评】对于 sin cos，sin cos，sincos 这三个式子，若已知其中某一个式子的值，便可利用平方关系“sin2cos21”，并灵活地运用方程思想，求出另两个式子的值，即(sin c
10、os)212sin cos；(sin cos)212sin cos；(sin cos)2(sin cos)22.因此，我们把“sin cos”，“sin cos”，“sincos”称为三角函数中的“三剑客”，若出现某一个，则必须挖掘出另两个，方能顺利地解题备选题例5(1)已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，其中 a，b，都是非零实数，又知f(2 013)1，求 f(2 014)的值；(2)若函数 f(n)sin n6(nZ)，求 f(1)f(2)f(102)的值【解析】(1)f(2 013)asin(2 013)bcos(2 013)asin()bcos()asin bcos (a
11、sin bcos)又f(2 013)1，asin bcos 1.f(2 014)asin(2 014)bcos(2 014)asin bcos 1.(2)sin n6 sinn6 2 sin（n12）6，f(n)f(n12)，由正弦函数特点和函数值，易得 f(1)f(2)f(12)sin 6 sin 26 sin 36sin 126 0，而 1021286 f(1)f(2)f(102)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)2 3.【点评】由诱导公式得出三角函数的函数值按一定周期循环出现，如本例中的 f(n)f(n12)，化繁为简，同时也要注意连续 12 个正弦值和为零在解题中的应用1
12、化简过程中，利用同角三角函数的关系可将不同名的三角函数化成同名三角函数2运用诱导公式，可将任意角的求值问题转化成锐角的求值问题3注意“1”的灵活运用，如 1sin2 cos2 等4化简三角函数式时，要注意观察式子的特征，如关于 sin，cos 的齐次式可转化为 tan 的式子，注意弦切互化5解题时要充分挖掘题目条件中隐含的条件，尽可能缩小角的范围(2014 新课标全国)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在
13、0，的图象大致为()B【解析】如图所示，当 x0，2 时，则P(cos x，sin x)，M(cos x，0)，作 MMOP，M为垂足，则|MM|OM|sin x，f（x）cos x sin x，f(x)sin xcos x12sin 2x，则当 x4 时，f(x)max12；当 x2，时，有f（x）|cos x|sin(x)，f(x)sin xcos x12sin 2x，当 x34 时，f(x)max12.只有B 选项的图象符合【命题立意】知识：单位圆与三角函数的定义能力：考查学生的读图、视图能力以及转化能力试题难度：中等【解析】由已知得 93a，即 a2，tana6 tan3 3.1若点(
14、a，9)在函数 y3x 的图象上，则 tana6 的值为()A0B.33C1D.3D2已知 为第二象限角，sin cos 33，则 cos 2()A 53B 59C.59D.53A【解析】解法一：利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解 sin cos 33，(sin cos)213，2sin cos 23，即 sin 223.又 为第二象限角且 sin cos 33 0，2k2 2k34(kZ)，4k20，cos 0，sin cos（sin cos）2 12sin cos 153.3315sincos,sin,3615315sincos,cos.36由得 cos 22cos21 53.43
15、3已知角 的终边过点 P(3cos ，4cos )，其中 2，则 tan _【解析】2，1cos 0.r 9cos216cos25cos，故 sin 45，cos 35，tan 43.12 9 34已知扇形 OAB 的圆心角 为 120，半径长为6，则弓形 OAB 的面积为_【解析】12023，r6，AB 的弧长 l23 64.S扇形 OAB12lr124612，SABO12r2sin23 1262 32 9 3，S 弓形 OABS 扇形 OABSABO129 3.5已知 tan 3，32，则 cos sin _1 32【解析】解法一：由已知得：是第三象限角 cos 12，sin 32 cos
16、 sin 1 32.解法二：tan 3，32 43 sin 32，cos 12 cos sin 1 32.6已知函数f(x)sin（x）cos（2 x）tan（x）tan（x）sin（x）.(1)化简 f(x)的表达式；(2)若 是第三象限角，且 cos 32 15，求 f()的值【解析】(1)f(x)sin xcos x（tan x）tan xsin（x）sin xcos xsin xcos x.(2)cos32 cos32 sin 15，sin 15，又 是第三象限角 cos 1sin22 65.f()cos 2 65.7已知 sin(3)13，求cos（）cos cos（）1cos（2）
17、sin 32cos（）sin32 的值【解析】sin(3)sin 13，sin 13.原式cos cos（cos 1）cos（2）sin32 cos（）cos 11cos cos cos2cos 11cos 11cos 21cos22sin2213218.8已知在ABC 中，sin Acos A15.(1)求 sin32 A cos2 A.(2)判断ABC 是锐角三角形还是钝角三角形【解析】(1)sin Acos A15，(sin Acos A)2 125，即 12sin Acos A 125，sin Acos A1225.sin32 A cos2 A(cos A)(sin A)sin Acos A1225.(2)sin Acos A12250 且 0A，A 为钝角，故ABC 为钝角三角形