1、高三第三次阶段性测试理科数学试题解析版 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若i 为虚数单位，,a bR，且2aibii+=+，则复数abi的模等于（）A2B 3C 5D6【答案】C2设集合3(,)2,1yAx yx yRx=，(,)4160,Bx yxayx yR=+=，若 AB=，则实数 a 的值为（）A4B 2C4 或 2D 4 或 2【答案】C【分析】本题先化简集合 A、集合 B，再结合 AB=，确定直线21yx=+与4160 xay+=平行或直线4160 xay+=过点(1,3)，最后求实数 a 的值.【
2、详解】解：集合 A 表示直线32(1)yx=，即21yx=+上的点，但除去点(1,3)，集合 B 表示直线4160 xay+=上的点，当 AB=时，直线21yx=+与4160 xay+=平行或直线4160 xay+=过点(1,3)，所以42a=或43160a+=，解得2a=或4a=故选：C.3在等比数列 na中，12318a a a=，且86434aaa=+，则3a=（）A1B2C D 2【答案】C4若点(cos,)Psin 在直线2yx=上，则cos(2)2+的值等于A45B 45C35-D 35【答案】B5设,a b 为两条直线，,为两个平面，下列四个命题中真命题是（D ）A若,a b 与
3、 所成角相等，则/abB若/,/,/ab a ，则b/C若,/abab，则/D若,ab，则 ab 6如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）D A221xyx=B2sinyxx=C.lnxyx=D2(2)xyxxe=7.给定两个长度为 2的平面向量OAuuur和OBuuur，它们的夹角为 120.如图所示.点C 在以O 为圆心 2 为半径的圆弧 AB 上运动.则CB CAuuur uur的最小值为A.4B.2C.0D.2【答案】B【解析】【分析】设(0,120)AOC=，以,OA OBuuur uuur为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅
4、助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可.【详解】设(0,120)AOC=，因此有2()()CB CACOOBCOOACOCO OAOB COOB OA=+=+uuur uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur uuuruuur uuuruuur uuur2COOC OA OB OCOB OA=+uuuruuur uuuruuur uuuruuur uuur42 2cos2 2 cos(120)2 2 cos120=+44cos4cos(120)2=24cos2cos2 3sin=+22cos2 3sin=24cos(60)=，因为0,120，所以60 60,60 ，所以当600
5、=时，即60=，CB CAuuur uur有最小值，最小值为 242=.故选：B8下列四个结论中正确的个数是若22ambm，则ab“已知直线m，n 和平面、，若mn，m，n，则”为真命题3m=是直线()320mxmy+=与直线650mxy+=互相垂直的充要条件A1B2C3D4【答案】A9已知函数()()213cossin222xf xx+=+22，函数()f x 图象的一个对称中心为,03，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的 13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得到函数()yg x=的图象，当5,18 18x 时，函数()g x 的值域为（）A(1,2B(
6、1,2C1,12D1,12【答案】B()()213cossin222xf xx+=+()()13cossinsin226xxx=+=+，函数()f x 的一个对称中心为,03，36k+=，6k=+，22，6=，()sin3f xx=+，将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的 13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得到函数()yg x=的图象，则()sin 332g xx+=，51818x，73636x+，所以函数()g x 的值域为(1,2.故选：B.10.已知一圆锥底面圆的直径为 3，圆锥的高为 3 32，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该
7、几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（）B A3B 2C()9322D 3 2211已知实数 a，b 满足312log 4log 9a=+，51213aab+=，则下列判断正确的是（）A2abB2baC2baD2ab【详解】由题意，31333323log 92lo12g 4log 9log 4log 4log1log 4a=+=+=+，所以3322log 421log 4a=+()333loglog1g4 144lo=+，因为3log 41，所以()3334 14loglog01 log 4+，即2a.所以2213512512169baa=+,即21313b，所以2b.再来比较,a b的大小
8、：因为20a，所以222512135144 122511693aaaaaa+=22212144 1225169 13aaa+22169 1216931aa=()22169 12301aa=，所以51213aaa+，即1313ba，所以ba.综上所述，2ab.故选：A.12.已知正方体 ABCDA B C D 的棱长为 4，E，F，G 分别为 BB，C D，AA的中点，点 P 在平面 ABB A 中，2 5=PF，点 N 在线段 AE 上，则下列结论正确的个数是（）点 P 的轨迹长度为2；FP 的轨迹平面 A B CD的交线为圆弧；NP 的最小值为 6 5105；若CGPD，则 tanBPC的最
9、大值为 5 A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【详解】解：根据正方体的性质知，F 到平面ABB A 的距离为 4，因为2 54PF=，所以 FP 的轨迹为圆锥的侧面，P 点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为()222 542=，圆锥的高为 4，母线2 5=PF，对于，点 P 的轨迹长度为224=，故错误，对于，由题意知，平面A B CD 与圆锥的高不垂直，所以平面A B CD 截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以 FP的轨迹与平面A B CD 的交线不是圆弧，故错误，对于，以A为原点，AB所在的直线为x轴，以AA 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以()0,0A，()4,
10、2N，P 点所在的圆的圆心为()2,4O，所以圆的标准方程为()()22244xy+=，AE 所在的直线方程为12yx=，所以圆心到直线的距离为222 46 5512=+，所以圆上的点到直线的距离最小值为 6 525，即 NP 的最小值为 6 5105，故正确；对于，以 D 点为原点，直线 DA 为 x 轴，直线 DC 为 y 轴，直线DD 为 z 轴，建立如图所示的坐标系，则(0,D0，0)，(0,D0，4)，(0,C4，0)，(4,G0，2)，(4,B4，0)设(4,Py，)z，因为D PCG，所以0D P CG=guuuur uuur，即()164240yz+=，对 于 P，()()22
11、244yz+=，tanBCBPCBP=，即 求 BP 的 最 小 值，()222452432BPyzyy=+=+，由二次函数的性质知，当242.42 5y=时，BP 取得最小值 4 55，又因为4 2BC=，所以10BCBP=，所以 tan BPC的最大值为 10，所以错误，故选：D 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.12200cos1xdxx dx+=.14+14.已知(),2ak=r，()3,5b=r，且ar 与br 的夹角为钝角，则实数 k 的取值范围是_【答案】10 66,355+;15.在中，若22(sin3cos)40aaBB+=，2 7b=，则的面
12、积为_【答案】2 3【详解】解：由题得24 sin()403aaB+=，因为方程有解，所以2216sin()160,sin()133BB=+,所以sin()13B+=,因为0.333BB+,所以sin()136BB+=，.所以24402aaa+=，.由余弦定理得22328=4+2 2,2 3240,4 32ccccc =.所以的面积为111sin2 4 32 3222SacB=.故答案为：2 316.已知函数()()esin0 xf xax x=有两个零点，则正实数a 的取值范围为_【答案】944(2 e,2 e)【分析】由已知可得方程 esinxax=其中()2,2Nxkkk+，有两个根，利
13、用导数研究esinxyx=，()2,2Nxkkk+，的单调性，作出其函数图象，观察图象可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()()esin0,0 xf xax xa=有两个零点，所以方程()esin00,0 xaxxa=有两个根，所以()2,2Nxkkk+，所以方程 esinxax=其中()2,2Nxkkk+，有两个根，设e()sinxg xx=，()2,2Nxkkk+，所以2e sincos e()sinxxxxg xx=，令()0g x=可得e sincos e0 xxxx=，化简可得24xk=+，Nk，所以当22,N4kxkk+时，()0g x，函数()g x 单调递减，当 22,N4
14、kxkk+时，()0g x，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9()()44gag时，直线 ya=与函数e()sinxg xx=，()2,2Nxkkk+，的图象有且仅有两个交点，所以当9442 e2 ea时，函数()()esin0 xf xax x=()0a 有两个零点，故答案为：944(2 e,2 e)三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分.17（12 分）在数列 na和等比数列 nb中，10a=，32a=，()1
15、*2 nanbnN+=.（1）求数列 nb及 na的通项公式；（2）若12nn nca b=，求数列 nc的前 n 项和nS.17解：（1）依题意12b=,3328b=,设数列 nb的公比为 q,由120nanb+=,可知0q,由223128bb qq=,得24q=,又0q,则2q=,故1112 22nnnnbb q=,4 分 又由122nan+=,得1nan=.6 分（2）依题意1(1)2nncn=.7 分012210 21 22 2(2)2(1)2nnnSnn=+,则123120 21 22 2(2)2(1)2nnnSnn=+,-得12122222(1)2(1)212nnnnnSnn=+=
16、,10 分 即2(2)2nnSn=+,故2(2)2nnSn=+.12 分18.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC，ABAC，四边形 BCC1B1 为菱形，BC2，BCC1 3，D 为 B1C1 的中点（1）证明：B1C1平面 A1DB；（2）若 AC12，求二面角 C1A1B1C 的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）155（1）证明：由 ABAC，则有 A1B1A1C1.D 为 B1C1 的中点，A1DB1C1.由 BC2，则有 B1D1，BB12，1113B BCCBC=，2222111112cos212 2 1332BDB BB DB B B D=+=+=，BD2+B1
17、D2BB12，BDB1C1，A1DBDD，B1C1平面 A1DB.6 分（2）取 BC 中点为 E，连接 AE，C1E，由 ABAC，得 AE 12 BC1，由题意得 C1EBD 3，222114AEC EAC+=，AEC1E，又可知 AEBC，AEC1EE，则 AE平面 BB1C1C，如图，以 E 为坐标原点，1C E BE AEuuuur uuur uuur，分别为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，7 分则 C（0，1，0），B1（3，2，0），A1（3，1，1），B（0，1，0），D（3，1，0），由 A1DAE，得 A1D平面 BB1C1C，BDB1C1，BDB1C1，A1
18、DB1C1D，BD平面 A1B1C1，平面 A1B1C1 的法向量 BDuuur（3，0，0），8 分设平面 A1B1C 的法向量nr（x，y，z），则，不妨取 x3，得nr（3，3，3），9 分设二面角 C1A1B1C 的平面角为，由图示 为锐角.10 分则 cos，11 分二面角 C1A1B1C 的余弦值为15512 分19（12 分）已知a，b，c 分别是 ABC内角 A，B，C 所对的边，1sincossin 23 cos2aACcAbA+=.（1）求角 A；（2）已知 D 是 AB 上一点，2ABADAC=，7CD=，3AC=，求 BDC的面积.19（1）1sincossin 23
19、cos2aACcAbA+=，sincossincos3 cosaACcAAbA+=，由正弦定理得()sinsincoscossin3sincosAACACBA+=，()sinsin3sincosAACBA+=，即sinsin3sincosABBA=，0B，sin0B，sin3cosAA=，显然cos0A，tan3A=，0A，3A=.6 分（2）在 ADC中，由余弦定理知，2222cosDCADACAD ACA=+，即()2221732 32ADAD=+，解得1AD=或2AD=（舍），2ABAD=，1BDAD=，133 31 3224BDCACDSS=.12 分20已知圆C 的方程为22840
20、xyxy+=，12,l l 是经过(0,2)P且互相垂直的两条直线，其中 1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交 x 轴于Q 点(1)若8MN=，求直线 1l 的方程；(2)求面积的最小值20.（1）圆C 的方程为22(4)(2)20 xy+=，圆心(4,2)C，半径2 5r=若 1l 垂直于 x 轴，则4MN=不合题意，2 分故 1l 斜率存在，设为k，则 1l 的方程为2ykx=，即20kxy=3 分8MN=，C 到 1l 的距离()222 542d=，242221kk+=+，解得33k=，4 分故直线 1l 的方程为323yx=，即3360 xy=5 分（2）由已知，2l 斜率不为 0
21、，故 1l 斜率存在6 分当 2l 斜率不存在时，2l 方程为0 x=，则(0,0)Q，此时 1l 方程为=2y，此时4 5MN=，14 524 52QMNS=7 分当 2l 斜率存在时，设 1:2lykx=即20kxy=，则圆心C 到直线MN 的距离为241kk+8 分()222222216420522 524111kkkMNkkk+=+，9 分2l 方程为12yxk=，即20 xky+=，()2,0Qk，则点Q 到MN 的距离为22221kk+10 分2222212245454 5211QMNkkSkkk+=+.11 分综上：面积的最小值为4 5 12 分21.已知函数()()2121 l
22、n1f xxxa xxx=+.其中()aR(1)当0a=时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0 x，都有()0f x 恒成立，求a 的取值范围.解：（1）()12 ln1fxxx=+，令其为()p x，则()21120pxxx=+1 分 所以可得()p x，即单调递增，2 分而()10f=，则在区间()0,1 上，函数()f x 单调递减；3 分在区间上，函数()f x 单调递增4 分（2）()()2112lnxf xxxax=+，令()212lnxh xxax=+，可知()10h=.()222axxah xx+=，令()22,0g xaxxa x=+，5 分当1a 时，结合()
23、g x 对应二次函数的图像可知，()0g x，即()0h x，所以函数()h x 单调递减，()10h=，()0,1x时，()0h x，()1,+x时，()0h x，可知此时()0f x满足条件；7 分 当0a 时，结合()g x 对应的图像可知，()0h x，()h x 单调递增，()10h=，()0,1x时，()0h x，()1,+x时，()0h x，可知此时()0f x不恒成立，9 分 当 10a 时，研究函数()22g xaxxa=+.可知()10g.对称轴11xa=.那么()g x 在区间11,a大于 0，即()h x在区间11,a大于 0，()h x 在区间11,a单调递增，()(
24、)10h xh=，可知此时()0f x.所以不满足条件.11 分 综上所述：1a .12 分（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，点()5,0P，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为223645cos=+，1F，2F 是曲线 C 的下、上焦点（1）求曲线 C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点，求11AFBF的值解：由223645cos=+得()22
25、45cos36+=，即()2224536yxx+=，所以229436xy+=，即22149xy+=，2 分()2 0,5F，直线2PF 的直角坐标方程为：155xy+=，即50 xy+=；4 分（2）解：由（1）知()1 0,5F，直线 l 的直角坐标方程为5yx=，直线 l 的参数方程为22252xtyt=+（t 为参数），将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的标准方程可得：2138 10320tt=，6 分设 A、B 两点对应的参数分别为 1t，2t，则 128 1013tt+=，1 23213t t=，1t，2t 异号，8 分11128 1013AFBFtt=+=10 分23已知函数()
26、|1|3|f xxx=+.(1)解不等式()1f xx+；(2)设函数()f x 的最小值为c，实数,a b 满足0,0,ababc+=，求证：22111abab+.23(1)()1f xx+，即131xxx+.当1x 时，不等式可化为421xx+，解得：1x 又1x ，x；1 分 当13x时，不等式可化为21x+，解得：1x 又13x，13x.2 分当3x 时，不等式可化为241xx+，解得：5x 又3x，35x.3 分 综上所得，13x或35x，即15x .4 分原不等式的解集为1,5.5 分(2)由绝对值不等式性质得，()()13132xxxx+=，2c=，即2ab+=.6 分 令1,1am bn+=+=，则1,1mn，114ambnmn=+=,，7 分()()2222211114441112mnabmnabmnmnmnmn+=+=+=+，9 分 当且仅当2mn=即1ab=时等号成立.原不等式得证.10 分
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