1、2.3 幂函数课堂导学三点剖析一、幂函数的概念【例1】 请在下列的各幂函数与各图象之间建立能符合实际情况的一一对应.（1）y=;(2)y=x-2;(3)y=;(4)y=x-1;(5)y=;(6)y=;(7)y=;(8)y=.解析：由幂函数的图象规律可得（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.温馨提示 幂函数图象比较复杂，可从如下几个方面去考虑作其草图：（1）在第一象限的图象大致形状与位置：当n0，其图象为双曲型，过点（1，1），但不过（0，0）点.其形状如图所示;当0n1时图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点，其形状如图所示. （2）图象在第一象限的排队情况，在
2、x=1的右侧，沿箭头的方向，幂指数逐渐减小.如图：【例2】比较大小：（1）_;(2)0.71.5_0.61.5;(3)_;(4)0.15-1.2_0.17-1.2;(5)0.20.6_0.30.4;(6)_.解析：（1）（4）可直接应用幂函数的单调性比较大小.（1）;(3). 由于（5）（6）中的两数的底数和指数均不相同，需借助“中间量”，同时利用幂函数和指数函数的单调性比较大小. （5）0.20.60.30.60.30.4;(6)=.答案：（1） (3) (5) (6)温馨提示 利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小一般有如下三种情况： （1）同指数，不同底，可用幂函数的单调性直接比较大小.
3、 （2）同底不同指数的，可用幂函数图象的排队情况进行比较. （3）不同底，不同指数的，有时需要引入“中间量”进行比较.二、幂函数的图象和性质【例3】函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x(0,+)上是减函数,则实数m的取值集合是( )A.m|m=-1或m=2 B.m|-1m3 C.2 D.-1思路分析:由幂函数定义,只有具有y=x形式的函数才是幂函数,因此所给函数为幂函数,必须有m2-m-1=1.又f(x)在(0,+)上是减函数,则有m2-2m-30,由此确定m的取值.解:由条件知 解得m=2.答案:C【例4】若幂函数的图象经过点(4,),则f()=_.思路分析:根据图象上的点求解析式
4、的思路就是解方程确定.解:设幂函数为y=x,点(4,)满足解析式,则=4,即2-1=22, =-. f(x)=,f()=()-1=4.温馨提示 本题是利用待定系数法确定解析式.各个击破类题演练1幂函数y=xa在第一象限的图象如下图所示，a取2,-2,-四个值，则相应的曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）A.-2，-，2 B.2，-，-2 C.-，-2，2， D.2，-2，-解析：由上面的图象规律可知应选B.答案：B变式提升1(1)如下图，曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限的图象，则下列结论正确的是（ ）A.nm0 B.mnm0 D.mn0解析：由幂函数的图象规律可知n
5、0,且m0，再根据其排队情况可知:nm0,故选A.答案：A(2)若幂函数y=x(R)的图象在0x1时，位于直线y=x的上方，则的范围是_.解析：由图象可知01，=0，0三种情况都符合条件，故1.答案：0,0,又y=在（0,+）上单调递增, 1,01,0, 0.50.4 b0,f(a)f(b).类题演练3如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的取值范围为( )A.-1m2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1解析： 解得m=1.答案：D变式提升3已知幂函数y=(mZ)在区间（0，+）上是减函数.求y的解析式并讨论单调性和奇偶性.解析：由幂函数的性质知： m2-2m-30，即-
6、1m3,又mZ m=0,1,2. 当m=0时，y=x-3，定义域为（-,0）(0,+).此时函数在（0，+）和(-，0）上都是单调递减函数，又（-x）-3=-x-3， 函数y=x-3是奇函数. 当m=1时，y=x-4,定义域为（-,0)(0,+).此时函数在（-,0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，又（-x）-4=x-4.故为偶函数. 当m=2时，y=x-3同m=0时的结论.类题演练4若幂函数图象上有一点为(9,3),求f(64). 解析：设y=x，则3=9， =, y=, f(64)=8.答案：8变式提升4m为何值,y=(m2+2m)为反比例函数.解析： 解得m=-1或m=0(舍去).答案：-1