1、阶段重点强化练(四)(60分钟100分)一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1方程|x1|表示的曲线是()A一个圆 B两个半圆C两个圆 D半圆【解析】选A.|x1| (x1)2(y1)21，表示一个圆2已知椭圆与双曲线1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为()A1 B1C1 D1【解析】选B.由已知椭圆的焦点为(，0)，所以c.又因为椭圆的离心率为，所以.所以a5.所以b2a2c220.所以所求椭圆的标准方程为1.3双曲线1(mn0)离心率为2，其中一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A B C D【解析】
2、选A.抛物线y24x的焦点为(1，0)，所以mn1且e213，解得m，n.所以mn.4已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为yx，则此双曲线的离心率是()A B C D5【解析】选B.由双曲线焦点在y轴上，设方程为1(a0，b0)，则渐近线方程为yxx，所以，所以，所以c2a2b25a2，所以e25，所以e.5已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22yCx2y Dx22y2【解析】选A.设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0x，又F(0，1)，所以所以，代入y0x得2y1(2x)2化简得x22y1.6设抛物线
3、y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8 C8 D16【解析】选B.如图所示，直线AF的方程为y(x2)，与准线方程x2联立得A(2，4).设P(x0，4)，代入抛物线方程y28x，得8x048，所以x06，所以|PF|x028.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分7对于双曲线C1：y21与双曲线C2：y21的下列说法正确的是()A它们的实轴长和虚轴长相同B它们的焦距相同C它们的渐近线相同D若它们的离心率分别为e1，
4、e2，那么1【解析】选BCD.A中，C1的实轴长、虚轴长分别为4和2，而C2的实轴长和虚轴长分别为2和4，故A错误；B中，C1，C2的焦距均为2c22.故B正确；C中，C1，C2的渐近线方程均为yx，故C正确D中，C1的离心率e1，C2的离心率e2，这里1.故D正确8已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有()A渐近线方程为yxB渐近线方程为yxCMAN60DMAN120【解析】选BC.双曲线C：1的渐近线方程为yx，离心率为，则1，则，故渐近线方程为yx，取MN的中点P，连接AP，利用点到直线的距离公式可
5、得dAP，则cos PAN，所以cos MANcos 2PAN21，则MAN60.三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请把正确的答案填在题中的横线上9椭圆1的焦距为6，则k的值为_【解析】由已知2c6，所以c3，而c29，所以20k9或k209，所以k11或k29.答案：11或2910双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_【解析】由题意知，m0，双曲线mx2y21化为标准形式y21，故a21，b2，所以a1，b，则由222，解得m.答案：11已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|F1F2|，则PF1F2的面积等于_【解析】由1知，a5
6、，b4，所以c3，即F1(3，0)，F2(3，0)，所以|PF2|F1F2|6.又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|10，所以|PF1|1064，于是SPF1F2|PF1|h48.答案：812设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_【解析】不妨设椭圆的方程为1(ab0)，F2的坐标为(c，0)，P点坐标为，由题意知|PF2|F1F2|，所以2c，a2c22ac，210，解得1，负值舍去答案：113已知抛物线y28x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|8，则实数a的取值范围是
7、_【解析】将l的方程yxa代入y28x，得x22(a4)xa20，则4(a4)24a20，所以a2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(a4)，x1x2a2，所以|AB|8，即1.又a2，所以2a1.答案：(2，114椭圆1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_；F1PF2的大小为_【解析】因为a29，b22，所以c.所以|F1F2|2，又|PF1|4，|PF1|PF2|2a6，所以|PF2|2，又由余弦定理，得cos F1PF2，所以F1PF2120.答案：2120四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分15(10分)求与椭圆1有公共焦点，并
8、且离心率为的双曲线方程【解析】由椭圆方程为1，知长半轴长a13，短半轴长b12，焦距的一半c1，所以焦点是F1(，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(，0)，F2(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)，由题设条件及双曲线的性质，得解得故所求双曲线的方程为y21.16(10分)已知动圆C过定点F(0，1)，且与直线l：y1相切，圆心C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹方程；(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少？【解析】(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为x
9、24y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在，又抛物线方程为x24y，当直线AB斜率为0时|PQ|4.当直线AB斜率k不为0时，设中点坐标为(t，2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x4y1，x4y2，两式作差得xx4(y1y2)，即得k，则直线方程为y2(xt)与x24y联立得x22tx2t280.由根与系数的关系得x1x22t，x1x22t28，|PQ|6，即|PQ|的最大值为6.17(10分)过点C(0，1)的椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a，0)，B(a，0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭
10、圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：为定值【解析】(1)由已知得b1，解得a2，c，所以椭圆方程为y21.椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为yx1，代入椭圆方程化简得7x28x0，解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点的坐标为.故|CD|.(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1，代入椭圆方程化简得(4k21)x28kx0，解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为.又直线AC的方程为y1，直线BD的方程为y(x2)，联立解得，因此Q点坐标为(4k，2k1).又P点坐标为，所以(4k，2k1)4.故为定值
