1、第五节数列的综合问题【考纲下载】能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题1数列综合应用题的解题步骤(1)审题弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题(2)分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等(3)求解分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答具体解题步骤如下框图： , 还原 数学化 标准化 2常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列
2、，利用等比数列有关知识解决问题(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解1设本金为a，每期利率为r，存期为n，若按单利计算，本利和是多少？此模型是等差数列模型还是等比数列模型？提示：本利和为a(1rn)，属等差数列模型2设本金为a，每期利率为r，存期为n，若按复利计算，本利和是多少？此模型是等差数列模型还是等比数列模型？提示：本利和为a(1r)n，属等比数列模型1设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn()A. B.C. Dn2n解析：选A设等差数列an的公差为d.a1，a3，a6成等比数列，
3、aa1a6，即(a12d)2a1(a15d)又a12，(22d)22(25d)，解之得d或d0(舍)Snna1d2n.2已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A0 B1 C2 D4解析：选Dx，a，b，y成等差数列，abxy，又x，c，d，y成等比数列，cdxy.224.当且仅当xy时取等号，所以的最小值是4.3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz的值为()A1 B2 C3 D4解析：选C由题意知，第三列各数成等比数列，故x1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z；第一行第四个数为5，第
4、二行第四个数为，故y，从而xyz3.4已知正项等差数列an满足：an1an1a(n2)，等比数列bn满足：bn1bn12bn(n2)，则log2(a2b2)_.解析：由题意可知an1an12ana，解得an2(n2)(由于数列an每项都是正数，故an0舍去)，又bn1bn1b2bn(n2)，所以bn2(n2)，所以log2(a2b2)log242.答案：25已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，若1Sk9(kN*)，则k的值为_解析：由Snan，得当n1时，S1a1a1，则a11.当n2时，Sn(SnSn1)，即Sn2Sn11.令Snp2(Sn1p)，得Sn2Sn13p，可知
5、p.故数列是以为首项，2为公比的等比数列则Sn(2)n1，即Sn(2)n1.由1(2)k19，kN*，得k4.答案：4 前沿热点(七)数列中的三类探索性问题1条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定；解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意典例1已知数列an中，a12，a23，其前n项和Sn满足Sn2Sn2Sn11(nN*)；数列bn中，b1a1，bn14bn6(nN*
6、)(1)求数列an，bn的通项公式； (2)设cnbn2(1)n12an(为非零整数，nN*)，试确定的值，使得对任意nN*，都有cn1cn成立解题指导处理第(2)问中的cn1cn恒成立问题，可通过构造函数将问题转化为函数的最值问题，再来研究所构造的函数的最值解(1)由已知得Sn2Sn1(Sn1Sn)1，所以an2an11(n1)又a2a11，所以数列an是以a12为首项，1为公差的等差数列所以ann1.因为bn14bn6，即bn124(bn2)，又b12a124，所以数列b22是以4为首项，4为公比的等比数列所以bn4n2.(2)因为ann1，bn4n2，所以cn4n(1)n12n1.要使c
7、n1cn成立，需cn1cn4n14n(1)n2n2(1)n12n10恒成立，化简得34n3(1)n12n10恒成立，即(1)n12n1恒成立，当n为奇数时，即2n1恒成立，当且仅当n1时，2n1有最小值1，所以2n1恒成立，当且仅当n2时，2n1有最大值2，所以2，即2cn成立名师点评对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列遇到Sn要注意利用Sn与an的关系将其转化为an，再研究其具体性质遇到(1)n型的问题要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n的奇偶性的讨论而致误2结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与
8、否需要确定；解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论典例2已知各项均为正数的数列an满足：a2aanan1，且a2a42a34，其中nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足：bn，是否存在正整数m，n(1m0，所以2anan10，即2anan1.所以数列an是公比为2的等比数列由a2a42a34，得2a18a18a14，解得a12.故数列an的通项公式为an2n(nN*)(2)因为bn，所以b1，bm，bn.若b1，bm，bn成等比数列，则2，即.由，可得，所以2m24m
9、10，从而1m1，所以m2，此时n12.故当且仅当m2，n12时，b1，bm，bn成等比数列名师点评对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值遇到数列中的比较大小问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法3存在探索性问题此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立；解决此类问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若
10、由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用典例3已知数列an的首项a1，an1，nN*.(1)求证：数列为等比数列；(2)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am1，as1，an1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由解题指导第 (1)问中an1与an的关系以分式形式给出，可以通过取倒数处理，目的仍然是变为等差数列或等比数列；第(2)问可先假设所探求问题存在再去求解，注意应用重要不等式进行判断解(1)证明：因为，所以1.又因为10，所以10(nN*)所以数列为等比数列(2)假设存在，则mn2s，(am1)(an1)(as1)2，由(1)知1(a11)n1，则an，所以2，化简得3m3n23s.因为3m3n223s，当且仅当mn时等号成立，又m，s，n互不相等，所以不存在名师点评数列问题是以分式形式给出条件的，一般采用取倒数，再转化为等差数列或等比数列，通过等差数列与等比数列的桥梁作用求出通项遇到多个变量的存在性问题，一般假设存在，求出满足的关系，再寻找满足的条件，一般可以利用重要不等式、值域或范围等判断是否存在.
