1、第九单元立体几何初步与空间向量第44讲空间几何体的结构及三视图、直观图1.下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是()A互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B梯形的直观图可能是平行四边形C矩形的直观图可能是梯形D正方形的直观图可能是平行四边形2.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()3.(2013昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有()A0个 B1个C2个 D3个4.已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为_5.一个三棱锥的正视
2、图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为_6.(2013广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆；椭圆其中满足条件的序号是_7.如图，四边形ABCD在斜二测画法下的直观图是下底角为45的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是_8.如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积9.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求ab的最大值第45讲空间几何体的表面积和体积
3、1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是()A. B3C4 D52.(2013重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C200 D2403.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12，那么这个正方体的体积是()A. B4C8 D244.如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆(包括圆心)则该组合体的表面积等于()A15 B18C21 D245.某圆锥的侧面展开图是半径为1 m的半圆，则该圆锥的体积是_m3.6.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点
4、的凸多面体的体积为_7.(2013上海市高三下七校联考)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA1，ABBC2，则球O的表面积为_8.下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积9.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切， 求棱锥的表面积和球的半径第46讲空间点、线、面的位置关系1.(2013山东省青岛市上期期末检测)已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()A0个 B1个C2个 D3个2.若直线l与平面不平行，则
5、下列结论正确的是()A内的所有直线都与直线l异面B内不存在与l平行的直线C内的直线与l都相交D直线l与平面有公共点3.正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交 B异面C平行 D垂直4.四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为()A. B.C. D.5.(2013浙江瑞安期末质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：AC1MN；AC1平面MNPQ；AC1与PM相交；NC1与PM异面其中正确结论的
6、序号是_6.如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，其中AA1a，BAB1B1A1C130，则AB与A1C1所成的角为_，AA1与B1C所成的角为_7.四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有对8.在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AD、AB的中点求证：直线D1M、A1A、B1N三线共点9.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，BB1，CC1的中点(1)求异面直线D1P与AM所成的角；(2)求异面直线CN与AM所成
7、角的余弦值第47讲空间中的平行关系1.(2013山东省高考冲刺预测)设m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1 Bml1且nl2Cm且n Dm且nl22.已知两个不重合的平面和，下面给出四个条件：内有无穷多条直线均与平面平行；平面，均与平面平行；平面，与平面都相交，且其交线平行；平面，与直线l所成的角相等其中能推出的是()A BC和 D和3.已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是()A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若，m，n，则mnD若m，n，mn，则4.如图，正方体ABCDA1B
8、1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A有无数条 B有2条C有1条 D不存在5.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是_(写出一种可能的情形即可)6.已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：若m，n，则mn；m，m，则；若n，mn，则m且m；若m，m，则.其中正确命题的序号有_7.考察下列三个命题，请在“_”处添加一个条件，构成真命题(其中l，m为直线，、为平面)，则：l；l；.8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交
9、平面BDM于GH. 求证：APGH.9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1)求证：BE平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.第48讲空间中的垂直关系1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2.若l为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：，； ，；l，l.其中正确的命题有()A0个 B1个C2个 D3个3.(2013辽宁鞍山五模)已知m是平面的一条斜线，点A，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()Alm，l Blm，l
10、Clm，l Dlm，l4.已知直线l，m与平面，满足l，l，m，m，则有()A且m B且lmCm且lm D且5.如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的动点，且PCAC，则BC与AC的位置关系是.6.已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.7.已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有个8.如图，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点(1)
11、证明：ABMN；(2)若平面PDC与平面ABCD成45角，连接AC，取AC的中点O，证明平面MNO平面PDC.9.棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点(1)求证：AEDA1；(2)求在线段AA1上找一点G，使AE平面DFG.第49讲空间向量的概念及运算1.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则()化简的结果为()A. B.C. D.2.以下四个命题中正确的是()A若，则P、A、B三点共线B若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底C|(ab)c|a|b|c|DABC为等腰直角三角
12、形的充要条件是03.若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且ab，则()Ax1，y1 Bx，yCx，y Dx，y4.(2013舟山月考)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()A5 B6C4 D85.已知A(1，2,6)，B(1,2，6)，O为坐标原点，则向量与夹角是_6.已知向量F1(1,2，3)，F2(2,3，1)，F3(3，4,5)，若F1，F2，F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1，2,1)移到点M2(3,1,2)，则合力所做的功为_7.已知向量a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|且0，则_.8.(2013河北
13、省保定模拟)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)(ac)与(bc)所成角的余弦值9.已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)第50讲用向量方法证明空间中的平行与垂直1.已知直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，下列结论成立的是()A若an，则a B若an0，则aC若an，则a D若an0，则a2.已知，是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：若n1n2，则； 若n1n2，则；若n1n20，则； 若
14、n1n20，则.其中正确的是()A BC D3.已知A(3，2,1)，B(4，5,3)，则与向量平行的一个向量的坐标是()A(，1,1) B(1，3,2)C(，1) D(，3，2)4.设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则m等于_5.设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k_.6.已知(1,5，2)，(3,1，z)若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x_，y_，z_.7.若a(2,1，)，b(1,5，)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_8.如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形
15、，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.设G是OC的中点，证明：FG平面BOE.9.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点(1)求证：PB平面EFH；(2)求证：PD平面AHF.第51讲空间角及其计算1.已知二面角l的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角是()A30 B60C90 D1202.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为()A. B.C. D.3.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的
16、方向向量分别是a(0,2,1)，b(，)，那么这条斜线与平面的夹角是()A90 B60C45 D304.(2013河北省普通高中质量检测)三棱锥PABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，ACa，则二面角APBC的大小为()A90 B30C45 D605.已知正六棱锥的底面边长为1，体积为，其侧棱与底面所成的角等于_6.已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A. B.C. D.7.正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为_8.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，
17、G是CC1的中点设GF、C1E与AB所成的角分别为，求.9.(2013广东省高州市二模)已知ABC和DBC所在的平面互相垂直，且ABBCBD，CBADBC120，求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)二面角ABDC的余弦值第52讲空间距离及其计算、折叠问题1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABBCa，AA12a，则点A到直线A1C的距离为()A.a B.aC.a D.a2.若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则直线A1C1到底面ABCD的距离为()A. B1C. D.3.已知l1、l2是两条异面直线，、是三个互相平行的平面，l1、
18、l2分别交、于A、B、C和D、E、F，AB4，BC12，DF10，则DE()A. B.C. D.4.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量n(2，2,1)，已知P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4 B2C3 D15.设P是60的二面角l内一点，PA平面，PB平面，A、B分别为垂足，PA4，PB2.则AB的长是.6.在等边ABC中，M，N分别为AB，AC上的点，满足AMAN2，沿MN将AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为60，则A点到平面MNCB的距离为_7.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为AxByCzD0(A，B，C，DR，且A，B，
19、C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面的距离为d，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于_8.如图，正方体的棱长为1，C、D、M分别为三条棱的中点，A、B是顶点，求点M到截面ABCD的距离9.矩形ABCD中，2ABAD，E是AD的中点，沿BE将ABE折起到ABE的位置，使ACAD，F、G分别是BE、CD的中点(1)求证：AFCD；(2)设AB2，求四棱锥ABCDE的体积第九单元立体几何初步与空间向量第44讲空间几何体的结构及三视图、直观图1D由斜二测画法的规则可知答案为D.2B由于球与侧棱不相交，因此截面图不可能存在截面圆与三角形都相切，排除A，D，又圆锥的高一
20、定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C，故选B.3C由三视图知几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形，故选C.4.a251该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为121.6由三视图的成图原则可知，正视图的长度、侧视图的宽度不一样，故俯视图不可能为正方形和圆788解析：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥(2)该几何体的侧视图如右图其中ABAC，ADBC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BCa.AD是正六棱锥的高，即ADa，所以该平面图形的面积Sa
21、aa2.9解析：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA，PC平面ABCD，则PD为PA的正视图，AC为俯视图，PB为侧视图，由PD知AD1.设PCh，由，得a2b28.因为()2，所以ab24.第45讲空间几何体的表面积和体积1B设球的半径为R，则R34R2，所以R3.2C由三视图可知该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底边为2，下底边为8的等腰梯形，所以底面面积为(28)420，所以V2010200.故选C.3C设球的半径为R，则4R212，从而R，所以正方体的体对角线为2，故正方体的棱长为2，体积为238，故选C.4C由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相
22、应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：Sr22rhrl()222221.5.设圆锥的底面圆的半径为r，高为h，则由2r得r，h，所以该圆锥的体积V()2(m3)6.可知凸多面体可分为两个同底(底面为边长为1的正方形)等高(高为)的正四棱锥，其体积为V211.79由题知：SAC，SAB，SBC均为直角三角形，O是SC的中点，从而OBOASCOSOC，所以球O的表面积为9.8解析：这个几何体的直观图如图所示因为V长方体108151200(cm3)，又V半球R3()3(cm3)，所以所求几何体体积为VV长方体V半球1200(cm3)因为S长方体全2(1088151015)700(cm2)，故
23、所求几何体的表面积S表面积S长方体全S半球S半球底700(cm2)9解析：过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE，因ABC是正三角形，易知AE即是ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，作为正三棱锥的高PD通过球心，且D是三角形ABC的重心，据此根据底面边长为2，即可算出DEAE2，PE.由POFPED，知，所以，r2，所以S表S侧S底32(2)296.第46讲空间点、线、面的位置关系1Bb，c可能异面，也可能垂直；b，c可能异面，也可能平行，故选B.2DA中过公共点的直线与直线l相交，不异面，A错误；B、C中l在内时，内有无数多条直线与l平行，B、C错误；直线
24、l与平面不平行，则直线l与相交或在平面内，即l与有一个或无穷多个公共点，D正确，故选D.3A因为A1BD1C，D1CEFE，又EFD1B，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，选A.4A因为CDAB，则CD与PA所成的角就是PAB，由余弦定理得cos PAB.5由图形可以观察出AC1与平面MNPQ相交于正方体中心，易知正确63045因为ABA1B1，所以B1A1C1是AB与A1C1所成的角，所以AB与A1C1所成的角为30.因为AA1BB1，所以BB1C是AA1与B1C所成的角由已知条件可以得出BB1a，AB1A1C12a，ABa，所以B1C1a，所以四边形BB1C1C是正方形，
25、所以BB1C45.76因为四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，所以PABC，PACD，ABPD，BDPA，BDPC，ADPB，共6对8证明：连接MN、B1D1、BD.因为M、N分别是AD、AB的中点，所以MN綊BD.又B1D1綊BD，所以MN綊D1B1.所以四边形MNB1D1为梯形延长D1M、B1N相交于P点因为点P在直线D1M上，所以点P在平面A1ADD1内同样，点P在平面A1ABB1内所以点P在平面A1ADD1和平面A1ABB1的交线A1A上，故D1M、A1A、B1N三线共点9解析：(1)连接A1N、NP.由NP綊A1D1，
26、知四边形A1NPD1为平行四边形，所以A1ND1P，所以AM与A1N相交所成锐角(或直角)即为异面直线D1P与AM所成之角在正方形A1ABB1中M为A1B1中点，N为B1B中点，由平面几何知识知AMA1N.所以异面直线D1P与AM所成之角为90.(2)在平面ABB1A1内作NQAM交AB于Q，则QNC(或补角)为异面直线AM与CN所成之角连接CQ，因为AB1，则BQ，QC，NC，QNAM，cos QNC.第47讲空间中的平行关系1Bml1且nl2，m，n，l1，l2为内两条相交直线，则可得；若，l1，l2为内两条相交直线，则不一定有ml1且nl2，故选B.2B中也存在，相交的可能，故不正确；符
27、合平面平行的传递性，故正确；中平面，可能两两相交，故不正确；中平面，也可能相交，故选B.3CA中m，n还可能相交、异面，假命题；B中直线n可能在内，不正确；D中，若m，n都与，的交线l平行，满足条件，但，可相交，不正确，故选C.4A延长D1F交DC的延长线于G，连接EG交BC于H，其反向延长线交DA于R，连接FH，D1R，则平面D1GR即为D1EF平面，由平面ADD1A1与平面BCC1B1平行的性质知FHD1R，因为在平面ADD1A1内无数条与D1R平行的直线，所以这无数条直线与平面D1EF都平行，故选A.5三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交解析：可将三个平面视为三条直线，考虑三
28、条直线分平面为几部分来考虑67llabA解析：根据直线与平面平行的判定定理知均需要强调直线l在平面外，均添加l；根据两个平面平行的判定定理知须强调两条直线相交，故添加abA.8证明：如图所示，连接AC.设AC交BD于O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点又因为M是PC的中点，所以MOPA.又因为MO平面BDM，PA平面BDM，所以PA平面BDM，平面BDM平面APGGH，所以APGH.9证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面EMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边
29、形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.第48讲空间中的垂直关系1A2C对于，与可能平行、相交或垂直，故错；正确，故选C.3C对于A，由lm，l，则m，与已知矛盾；对于B，由lm，l，可知m或m，与已知矛盾；对于D，由lm，l可知m或m，与已知矛盾由此排除A，B，D，故选C.4Bm，m，又lml，故选B.5垂直因为PB，所以PBAC.又因为PCAC，且PCPB
30、P，所以AC平面PBC，所以ACBC.6或72若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题8证明：(1)因为N为PC的中点，所以ONPA.而PA平面ABCD，所以ON平面ABCD.所以ONAB.又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，所以OMAB，所以AB平面OMN，所以ABMN.(2)PA平面ABCD，ADDC，则PDDC.故PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即PDA45，所以PAADBC.连接MC，由RtBCMRtAPM知，M
31、CMP，所以MNPC.因为ABMN，所以MNCD，又PCCDC，所以MN平面PCD，所以平面MNO平面PCD.9解析：(1)连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1AD1，DA1AB，又ABAD1A，所以DA1平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，所以AEDA1.(2)所求G点即为A1点，证明如下：由(1)知AEDA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由平面几何知识易得DFAH，又DFEH，AHEHH，所以DF平面AHE，所以DFAE，又因为DFA1DD，所以AE平面DFA1，即AE平面DFG.第49讲空间向量的概念及运算1C()()()2，故选C.2B3C因为ab，所以，所以x，y
32、.4A设a，b，c，则abc，2a2b2c22ab2bc2ca25，因此|5，故选A.5180，故夹角为180.68合力FF1F2F3(2,1,1)，位移(2,3,1)，则合力所做的功为WF8.73由题意ab(4,1，)，所以16(1)2229(0)3.8解析：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2,4,1)，b(2，4，1)，又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设(ac)与(bc)所成角为，因此cos .9解析：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)t(3，
33、1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为(，)第50讲用向量方法证明空间中的平行与垂直1C由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a平面也满足an0.2A3A(1，3,2)2(，1)，所以与向量平行的一个向量的坐标是(，1)，故选C.4254因为，所以(2，4，k)(1,2，2)，所以2，k2，所以k4.6.4由已知，解得x，y，z4.72因为ab(2,1，)(1,5，)0，所以ab，又|a|2，|b|，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a|b|22.8证明：如图，连接O
34、P，因为PAPC，ABBC，所以POAC，BOAC，又平面PAC平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)由题意，得G(0,4,0)因为(8,0,0)，(0，4,3)，设平面BOE的一个法向量为n(x，y，z)，则，即，取y3，则z4，所以n(0,3,4)由(4,4，3)，得n0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.9证明：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，所以A(0,0,0)，B(
35、2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)(1)因为(2,0，2)，(1,0，1)，所以2，因为PB平面EFH，且EH平面EFH，所以PB平面EFH.(2)因为(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，所以0021(2)10，0120(2)00，所以PDAF，PDAH，又因为AFAHA，所以PD平面AHF.第51讲空间角及其计算1B2C令AB1，则AA12，连接A1B.因为CD1A1B，异面直线BE与CD1所成的角即A1B与BE所成的角在A1BE中，由余弦定理易得cos A1BE，故选C.3Dcos ，因此a与
36、b的夹角为30.4D取PB的中点为M，连接AM，CM，则AMPB，CMPB，所以AMC为二面角APBC的平面角在等边PAB与等边PBC中知AMCMa，即AMC为正三角形，所以AMC60，故选D.5.设正六棱锥的高为h，侧棱与底面所成的角为，则612h，解得h，于是tan ，故.6D由题意知该三棱锥是正三棱锥，如图，故顶点S在底面上的射影是底面正三角形的中心O，则AO，所以cos SAO，故选D.7120以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图设A(1,0,0)，则D1(0,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，则(1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量，设n(x，y
37、，z)为平面ABD1的一个法向量，则n0，n0，又(1,0,1) ，(0,1,0)，所以，所以，令x1，则z1，所以n(1,0,1)，所以cos，n，所以，n120，故二面角ABD1B1的大小为120.8解析：建立空间直角坐标系如图设正方体的棱长为2.则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)则(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)，所以cos ，cos ，所以cos ，cos ，sin ，所以90.9解析：(1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，所以ADH即为直线AD与平面BCD所成的
38、角，由题设知AHBAHD，则DHBH，AHDH，所以ADH45.所以直线AD与平面BCD所成的角为45.(2)过H作HRBD，垂足为R，连接AR，则由AH平面BCD，所以AHBD，AHHRH，所以BD平面AHR，所以BDAR.故ARH为二面角ABDC的平面角的补角，设BCa，则由题设知，AHDHa，BH.在HDB中，HRa，所以tan ARH2，故二面角ABDC的余弦值的大小为.第52讲空间距离及其计算、折叠问题1C如图，点A到直线A1C的距离，即为RtA1AC斜边上的高AE.由ABBCa，得ACa.又AA12a，所以A1Ca，所以AEa.2.D直线A1C1平面ABCD，A1C1到底面ABCD
39、的距离即为正棱柱的高h，tan 60，所以h，故选D.3C由面面平行的性质定理可得，所以，即，所以DE2.5，故选C.4B因为(1,3,2)是平面OAB的一条斜线上的向量，n(2，2,1)为平面OAB的一个法向量，所以d2，故选B.52因为PA，PB，所以APB120.又PA4，PB2，所以AB2.6.在ABC中，过A点作AFBC交BC于F点，交MN于E点，由题意知折叠后AEF即为平面AMN与平面MNCB所成的二面角的平面角，故AEF60，过A点作AHEF于H点，则AH即为A点到平面MNCB的距离，因为AE，所以AHAEsin 60.7.如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A
40、(1,1,0)，B(1，1,0)，P(0,0,2)，设平面PAB的方程为AxByCzD0，将以上3个坐标代入计算得A0，BD，CD，所以DyDzD0，即2yz20，所以d.8解析：设点M到截面ABCD的距离为h.连接AC、AM，作CFAB，垂足为F，连接CM.VCABMSABMCM1.又VMABCABCFhh，故由VCABMVMABC，得，所以h.9解析：(1)证明：矩形ABCD中，因为F、G分别是BE、CD的中点，所以FGBC，所以FGCD.因为ACAD，所以AGCD，又FGAGG，所以CD平面AGF，所以CDAF.(2)因为AB2，所以BC4，ED2，在等腰直角三角形ABE中，AF且AFBE，因为CDAF且BE、CD不平行，所以AF平面BCDE.所以几何体ABCDE的体积VABCDEAFS四边形BCDE22.
