1、2015-2016学年安徽省宿州市十三所重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项1数列2，5，8，11，则23是这个数列的（）A第5项B第6项C第7项D第8项2不等式2的解集为（）A1，0）B1，+）C（，1D（，1（0，+）3（5分）（2013罗湖区校级二模）已知a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中一定成立的是（）AabacBc（ba）0Ccb2ab2Dac（ac）04（5分）（2010广东模拟）等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）AB12CD65（5分）（2015春大
2、连校级期末）已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A（24，7）B（，24）（7，+）C（7，24）D（，7）（24，+）6（5分）（2012秋西峰区校级期末）在ABC中，若，则最大角的余弦值是（）ABCD7（5分）（2014秋芜湖期末）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）ABCD28ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则等于（）ABCD9在等比数列an中，若an0，且a3，a7是x232x+64=0的两根，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a9=（）A27B3
3、6C18D910（5分）（2012井冈山市模拟）锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）A（2，2）B（0，2）C（，2）D（，）11设函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，若0时，f（msin）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（，0）C（，1）D（，）12（5分）（1992云南）设an是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3a30=230，那么a3a6a9a30等于（）A210B220C216D215二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（2014秋汪清县校级期末）不等式ax2+b
4、x+20的解集是（，），则a+b的值是14等差数列an的前n项和为Sn，若S2=3，S3=3，则S5=15若不等式（m2+4m5）x24（m1）x+30一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是16已知定义：在数列an中，若aa=p（n2，nN*，p为常数），则称数列an为等方差数列，下列判断：若an是“等方差数列”，则数列an2是等差数列；（1）n是“等方差数列”；若an是“等方差数列”，则数列akn（kN*，k为常数）不可能还是“等方差数列”；若an既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数列其中正确的结论是（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要
5、的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）（2016春宿州校级期中）已知数列an满足an+1=，a1=1，nN*（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列an的通项公式18（12分）（2016春宿州校级期中）设ABC的内角，A，B，C对边的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA=c（1）求的值；（2）求tan（AB）的最大值19（12分）（2005湖北）设数列an的前n项和为Sn=2n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2a1）=b1（）求数列an和bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Tn20（12分）（2011市中区校级模拟）某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每
6、张桌子需木工和漆工两道工序完成已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？21（12分）（2016春宿州校级期中）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足：cosAcosC+sinAsinC+cosB=，且a，b，c成等比数列，（1）求角B的大小；（2）若+=，a=2，求三角形ABC的面积22（12分）（2007天津）在数列an中，a1=2，an+1=4an3n+1，nN*
7、（）证明数列ann是等比数列；（）求数列an的前n项和Sn；（）证明不等式Sn+14Sn，对任意nN*皆成立2015-2016学年安徽省宿州市十三所重点中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项1数列2，5，8，11，则23是这个数列的（）A第5项B第6项C第7项D第8项【分析】求出数列的通项公式，即可得到结论【解答】解：数列2，5，8，11，组成以2为首项，3为公差的等差数列，通项为an=3n1，令3n1=23，可得n=8故选：D【点评】本题主要考查数列的概念和简单表示，求出数列的通项公
8、式是解决本题的关键2不等式2的解集为（）A1，0）B1，+）C（，1D（，1（0，+）【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法【解答】解： 1x0故选A【点评】本题考查简单的分式不等式求解，属基本题在解题中，要注意等号3（5分）（2013罗湖区校级二模）已知a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中一定成立的是（）AabacBc（ba）0Ccb2ab2Dac（ac）0【分析】先研究a，b，c满足cba且ac0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可【解答】解：a，b，c满足cba且ac0，c0a由此知A选项abac正确，由于c（ba）
9、0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac0，ac0，故ac（ac）0，所以D不正确故选A【点评】本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证4（5分）（2010广东模拟）等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）AB12CD6【分析】令等差数列的前n项和公式中的n=15，化简后提取15整体代换得到关于a8的方程，求出即可【解答】解：因为S15=15a1+d=15（a1+7d）=15a8=90，所以a8=6故选D【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等
10、差数列的通项公式，解题的关键是求出S15后提取15找出S15与a8的关系5（5分）（2015春大连校级期末）已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A（24，7）B（，24）（7，+）C（7，24）D（，7）（24，+）【分析】根据点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya=0的两侧，可得（9+2a）（12+12a）0，解出即可【解答】解：点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya=0的两侧，（9+2a）（12+12a）0，化为（a+7）（a24）0，解得7a24故选：C【点评】本题考查了线性规划的有关问题、一元二次不等式的解法，属于基础题6（5分）（201
11、2秋西峰区校级期末）在ABC中，若，则最大角的余弦值是（）ABCD【分析】利用余弦定理c2=a2+b22abcosC的式子，结合题意算出c=3，从而得到b为最大边，算出cosB的值即可得到最大角的余弦之值【解答】解：在ABC中，c2=a2+b22abcosC=49+64278=9，得c=3bac，最大边为b，可得B为最大角因此，cosB=，即最大角的余弦值为故选：C【点评】本题给出三角形的两边和夹角，求最大角的余弦着重考查了三角形中大边对大角、利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题7（5分）（2014秋芜湖期末）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）ABCD2【分析】作出不等式组对
12、应的平面区域，根据对应图形，求出对应的面积即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则A（0，1），A到直线y=x1，即xy1=0的距离d=，由得，即C（，），由，得，即B（1，2），则|BC|=，则ABC的面积S=，故选：B【点评】本题二元一次不等式组表示平面区域，根据条件作出平面区域，根据三角形的面积公式是解决本题的关键8ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则等于（）ABCD【分析】由二倍角的余弦公式变形、诱导公式化简已知的方程，求出cosB的值，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B，由正弦定理求出的值【解答】解：在ABC中，A
13、+C=B，cos（A+C）=cosB，cos2B+3cos（A+C）+2=0，2cos2B3cosB+1=0，解得cosB=或1，又0B，cosB=，即B=，由正弦定理得， =2，故选：D【点评】本题考查正弦定理，倍角的余弦公式变形、诱导公式的综合应用，考查化简、计算能力，属于中档题9在等比数列an中，若an0，且a3，a7是x232x+64=0的两根，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a9=（）A27B36C18D9【分析】由韦达定理和等比数列性质得a3a7=64，a5=8，由此利用对数运算法则和等比数列性质能求出log2a1+log2a2+log2a3+log2a9的值【
14、解答】解：等比数列an中，an0，且a3，a7是x232x+64=0的两根，a3a7=64，a5=8，log2a1+log2a2+log2a3+log2a9=log2（a1a2a3a9）=+log2a5=4log224+log28=24+3=27故选：A【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意韦达定理、等比数列性质、对数运算法则的合理运用10（5分）（2012井冈山市模拟）锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）A（2，2）B（0，2）C（，2）D（，）【分析】先根据正弦定理得到=，即可得到，然后把B=2A代入然后利用二倍角
15、的正弦函数公式化简，最后利用余弦函数的值域即可求出的范围【解答】解：根据正弦定理得： =；则由B=2A，得： =2cosA，而三角形为锐角三角形，所以A（，）所以cosA（，）即得2cosA（，）故选D【点评】考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及会利用二倍角的正弦函数公式化简求值，会求余弦函数在某区间的值域11设函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，若0时，f（msin）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（，0）C（，1）D（，）【分析】根据函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，利用函数的性质，我们可将0时，f（msin）+f（1m）0恒成立，转化为m
16、恒成立，结合正弦型函数的性质结合分析法，我们可得在0时的最小值，进而将恒成立问题转化为最值问题，得到实数m的取值范围【解答】解：函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，不等式f（msin）+f（1m）0可化为f（msin）f（1m）即f（msin）f（m1）即msinm1即m在0时恒成立0时，1sin的最大值为1，故的最小值为1故m1即实数m的取值范围是（，1）故选C【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与函数的单调性及恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度为中档12（5分）（1992云南）设an是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3a30=230，那么a3a6a9a30等于
17、（）A210B220C216D215【分析】由等比数列的通项公式，可得a1a2a3=（）3，同理a4a5a6=（）3，a28a29a30=（）3，故原式a1a2a3a30=（）3=230，将q=2代入，即可求出a3a6a9a30的值【解答】解：a1a2a3=a3=（）3，a4a5a6=a6=（）3，a28a29a30=（）3，a1a2a3a30=（）3（）3（）3=（）3=230，又q=2，a3a6a9a30=220故选B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，找出已知a1a2a3a30和未知a3a6a9a30的关系是解题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（201
18、4秋汪清县校级期末）不等式ax2+bx+20的解集是（，），则a+b的值是14【分析】由不等式ax2+bx+20的解集是（，），可得a0且方程ax2+bx+2=0的解为，；从而求解【解答】解：不等式ax2+bx+20的解集是（，），解得：a=12，b=2；故答案为：14【点评】本题考查了二次不等式与二次方程及二次函数的关系，属于基础题14等差数列an的前n项和为Sn，若S2=3，S3=3，则S5=5【分析】由等差数列an的前n项和为Sn，S2=3，S3=3，先求出a3，由此利用等差数列性质能求出S5【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，S2=3，S3=3，a3=S3S2=0，=5a3=0故
19、答案为：0【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用15若不等式（m2+4m5）x24（m1）x+30一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是1m19【分析】此题要分两种情况：当m2+4m5=0时，解出m的值，进行验证；当m2+4m5=0时，根据二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即0，综合两种情况求出实数m的范围【解答】解：当m2+4m5=0时，得m=1或m=5，m=1时，原式可化为30，恒成立，符合题意当m=5时，原式可化为：24x+30，对一切实数x不恒成立，故舍去；m=1；m2+4m50时即m1，且m5，（m2+4
20、m5）x24（m1）x+30对一切实数x恒成立有解得1m19综上得 1m19故答案为1m19【点评】此题主要考查了二次函数的基本性质，以及分类讨论的思想，此题易错点为讨论m2+4m5与0的关系，如果等于0，就不是二次函数了；16已知定义：在数列an中，若aa=p（n2，nN*，p为常数），则称数列an为等方差数列，下列判断：若an是“等方差数列”，则数列an2是等差数列；（1）n是“等方差数列”；若an是“等方差数列”，则数列akn（kN*，k为常数）不可能还是“等方差数列”；若an既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数列其中正确的结论是（写出所有正确结论的编号）【分析】利用“等方差
21、数列”与“等差数列”的定义及其性质即可判断出结论【解答】解：an是“等方差数列”，aa=p（n2，nN*，p为常数），则数列an2是等差数列，正确；an=（1）n， =1，则n2时，aa，=0，数列an为等方差数列，正确；an是“等方差数列”，则数列akn（kN*，k为常数）可能还是“等方差数列”，取an=2满足条件，因此不正确；若an既是“等方差数列”，又是等差数列，设公差为d，n2时，aa=d2a1+（2n3）d为常数，必然d=0，则该数列是常数列，正确故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、新定义、“等方差数列”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6
22、小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）（2016春宿州校级期中）已知数列an满足an+1=，a1=1，nN*（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列an的通项公式【分析】（1）由数列an满足an+1=，a1=1，nN*分别令n=1，2，3，即可得出（2）数列an满足an+1=，a1=1，nN*两边取倒数可得：=，再利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：（1）数列an满足an+1=，a1=1，nN*a2=，同理可得：a3=，a4=（2）数列an满足an+1=，a1=1，nN*两边取倒数可得： =+，即=，数列是等差数列，首项为1，公差为，=1+（n1
23、），解得an=，an=【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）（2016春宿州校级期中）设ABC的内角，A，B，C对边的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA=c（1）求的值；（2）求tan（AB）的最大值【分析】（1）由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin（AB）=sin（A+B），再利用两角和差的三角公式、同角三角的基本关系，求得的值（2）利用两角和差的正切公式，基本不等式，求得tan（AB）的最大值【解答】解：（1）ABC中，acosBbcosA=c，sinAcosBsinBcosA=sinC，即sin（AB）=sin（A+
24、B），即 sinAcosBsinBcosA=（sinAcosB+sinBcosA ），sinAcosB=3sinBcosA， =3（2）tan（AB）=，则tan（AB）的最大值为，此时， =3tanB，即 tanB=【点评】本题主要考查正弦定理、诱导公式，两角和差的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题19（12分）（2005湖北）设数列an的前n项和为Sn=2n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2a1）=b1（）求数列an和bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Tn【分析】（I）由已知利用递推公式可得an，代入分别可求数列bn的首项b1，公比q，从而可求bn（II）由（
25、I）可得cn=（2n1）4n1，利用乘“公比”错位相减求和【解答】解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n2时，an=SnSn1=2n22（n1）2=4n2，故an的通项公式为an=4n2，即an是a1=2，公差d=4的等差数列设bn的公比为q，则b1qd=b1，d=4，q=故bn=b1qn1=2，即bn的通项公式为bn=（II）cn=（2n1）4n1，Tn=c1+c2+cnTn=1+341+542+（2n1）4n14Tn=14+342+543+（2n3）4n1+（2n1）4n两式相减得，3Tn=12（41+42+43+4n1）+（2n1）4n= （6n5）4n+5Tn= （6n5）4n+
26、5【点评】（I）当已知条件中含有sn时，一般会用结论来求通项，一般有两种类型：所给的sn=f（n），则利用此结论可直接求得n1时数列an的通项，但要注意检验n=1是否适合所给的sn是含有an的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于an的递推关系，再用求通项的方法进行求解（II）求和的方法的选择主要是通项，本题所要求和的数列适合乘“公比”错位相减的方法，此法是求和中的重点，也是难点20（12分）（2011市中区校级模拟）某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工
27、每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？【分析】先设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z2x+3y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可【解答】解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，则目标函数为：z=2x+3y作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值，解方程得M的坐标为（2，3）答：每天应
28、生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解属中档题21（12分）（2016春宿州校级期中）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c满足：cosAcosC+sinAsinC+cosB=，且a，b，c成等比数列，（1）求角B的大小；（2）若+=，a=2，求三角形ABC的面积【分析】（1）化简条件可得，再由b2=ac求得再根据b不是最大边，可得B为锐角，从而求得B的值（2）由条件可得，cosA+cosC=2cosB=1，求得，结合a=2求得三角形的面积【解答】解：（1
29、），又b2=acsin2B=sinAsinC，而a，b，c成等比数列，所以b不是最大，故B为锐角，所以B=60（2）由，可得，所以cosA+cosC=2cosB=1，又因为，所以三角形ABC是等边三角形，由a=2所以面积为【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题22（12分）（2007天津）在数列an中，a1=2，an+1=4an3n+1，nN*（）证明数列ann是等比数列；（）求数列an的前n项和Sn；（）证明不等式Sn+14Sn，对任意nN*皆成立【分析】（）整理题设an+1=4an3n+1得an+1（n+1）=4（ann），进而可推断数列ann是等比数列（）
30、由（）可数列ann的通项公式，进而可得an的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得Sn（）把（）中求得的Sn代入Sn+14Sn整理后根据证明原式【解答】解：（）证明：由题设an+1=4an3n+1，得an+1（n+1）=4（ann），nN*又a11=1，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列（）由（）可知ann=4n1，于是数列an的通项公式为an=4n1+n所以数列an的前n项和（）证明：对任意的nN*， =所以不等式Sn+14Sn，对任意nN*皆成立【点评】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力