1、四川省内江市2021-2022学年高二数学下学期第一次月考试题 文第I卷选择题（满分60分）一、选择题（每题5分，共60分）1等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ）ABCD2对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则3“”是“方程表示椭圆”的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要4已知双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（ ）A13B16C1或13D3或165直线与双曲线仅有一个公共点，则实数的值为（ ）A1BC1或D1或或06均匀压缩是物理学一种常见现象在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述设曲线上任意一
2、点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（ ）ABCD7已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则（ ）A8B11C13D168已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD9黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数
3、，则实数的值为（ ）ABC2D10如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）ABCD11已知点P，Q分别为圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）A6B7C8D912已知椭圆的焦点为、，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“”点下列结论正确的是（ ）A椭圆上的所有点都是“”点B椭圆上仅有有限个点是“”点C椭圆上的所有点都不是“”点D椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“”点第II卷非选择题（满分90分）二、填空题（每题5分，共20分）13设命题，则为_14已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴长为4，离心率为，点为双曲线
4、上一点，则的面积为_15设是抛物线上的一个动点， 是抛物线的焦点，若，则的最小值为_16数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一曲线对应的图象如图所示，下列结论正确的是_（填写所有正确结论的编号）直线AB的方程为：；曲线与圆有2个交点；曲线所围成的“心形”区域的面积大于12；曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、解答题（共70分）17（本题满分10分）已知，命题，不等式成立，命题，（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假，为真，求实数的取值范围18（本题满分12分）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为（I）求双曲线C的方程（II）经过点作直线l交双
5、曲线于，两点，且为AB的中点，求直线l的方程并求弦长19（本题满分12分）如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8m，拱圈内水面宽16m为保证安全，要求通过的船的顶部（设为平顶）与拱圈在竖直方向上的高度之差至少为05m（1）一条船的顶部宽4m，在正常水位时，要使这条船安全通过，则船在水面以上部分的高度不能超过多少米？（2）近日因受台风影响水位暴涨27m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞试问：一条顶部宽m，在水面以上部分的高度为4m的船，船身应至少降低多少米才能安全通过？20（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，上顶点为（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线
6、与椭圆交于不同的两点M，N，且，求的值21（本题满分12分）已知椭圆的左顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过的直线AB交椭圆于A，B两点，当取得最大值时，求的面积22（本题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）若直线交椭圆于A、B两点，弦AB的中点为，直线OA与OB的斜率之积为且、记直线与的斜率分别为，请探究：是否存在正实数，使得，为定值?若存在，请求出及，的值；若不存在，请说明理由数学参考答案1A【解】等轴双曲线的两条渐近线方程为，这两条渐近线的夹角为2D【解】若，令，故A错误；若，令，则，故B错误；若，令，故C错误；，故，根据不等式
7、运算规则，在不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不变，故D正确3B【解】要使方程表示椭圆，只需满足，解得且，因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件故选B4A【解】由双曲线可得，因为，所以点在双曲线的左支上，所以，则5C【解】依题意可知直线恒过点，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以6C【解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为，则，故中，可得：7C【解】解：由抛物线可知，得到，设，因为AB的中点的纵坐标为5，所以，则故选8A【解】由题，所以9A【解】焦点在轴上
8、的椭圆中，所以由题意得，即，即，解得10D【解】如图，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点，过点A作与底面平行的截面，过点作截面，垂足为O，连接OA，则，可得，椭圆的焦距为11D【解】设椭圆上的点为，圆的圆心为，半径为1，椭圆上的点到圆心的距离为，将，即代入中，得，因为，所以当时，P，Q两点间的最大距离是，故答案选D12B【解】设点，则，、，由，得，即，解得，此时所以椭圆C上有且只有4个点是“”点13【解】，14【解】双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，可得，双曲线C的实轴长为4，可得，则，点为双曲线上一点，设，由双曲线的定义可得：，则有，又由，则有，联立解可得，则的面积154【解】由抛
9、物线的定义可知等于到准线的距离，故等于加上到准线的距离，设点在准线上的投影为，可知当P、B、A三点共线时，距离之和最小，最小距离为，故答案为A16【解】对于，曲线，令，则，令，则，由图象可知，所以直线AB的方程为，即，故不正确；对于，曲线与圆联立，解得或，即曲线与圆的交点为，有2个，故正确；对于，如图所示，图中五边形ACDEF的面积为，显然“心形”区域的面积大于五边形ACDEF的面积，故正确；对于，曲线经过的整点有，恰有6个，故错误故答案为：17解：（1），不等式成立，在上恒成立因为，在上单调递减，在上单调递增，且，即；，即为真命题时，实数的取值范围是（2），即命题$q$为真命题时命题与一真一
10、假，p真假或假真当真假时，即；当假真时，即综上所述，命题与一真一假时，实数的取值范围为或18解：（I）由题意得椭圆的焦点坐标分别为和，设双曲线方程为，则，解得，双曲线方程为（II）设，分别代入双曲线可得，两式相减，得，点为AB的中点，可得，则，直线的方程为，把代入，消去得，19解：（1）如图所示，以过拱桥的最高点且平行于水面的直线为轴，以过点且垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系设抛物线的方程为，将点代入得，则抛物线的方程为，将代入，得，故船在水面以上部分的高度不能超过7m（2）将代入方程，得，此时（m）， （m），故船身应至少降低0.2m才能安全通过20（1）由离心率，则又上顶点，知，又，
11、可知，椭圆的方程为；（2）设直线，设，则，整理得：，即，即，解得：或（舍去），21解：解：（1）由已知，得，即，椭圆的方程为（2）当直线AB与x轴重合时，当直线AB与轴不重合时，设直线AB的方程为，则，由，得显然，的最大值为，此时，直线的方程为综上可知，的最大值为联立解得或，不妨令，又，22（1）因为离心率为，所以，即因为，所以，即因为点在椭圆上，所以联立解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由得当时，设，则因为直线与直线的斜率之积为，所以，即所以，即所以，化简得因为弦的中点为，所以，又，所以假设存在正实数，使得，即对任意的符合条件的k，m恒成立，则，即，即对任意的符合条件的恒成立所以又，所以，故存在正实数，使得