1、蕉岭中学2023届高二入学测试（数学）试题本试卷共6页，22小题，满分150分考试时长：120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若，则（ ）A6 B8 C10 D122某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从中抽取10人参加一项活动，则抽取的男生的人数为（ ）A5 B6 C7 D83在等边中，点E在中线上，且，则（ ）A B C D4设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则5在，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）A直角三角形 B
2、等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形6一次物理测验中，同学们得分的频率分布直方图如图所示，则此次测验中物理得分的分位数是（ ）A85 B90 C86 D807伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）A B C D8现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球A事件“第一次取出的球的数字是3”，B事件“第二次取出的球的数字是2”，C事件“两次取出的
3、球的数字之和是7”，D事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）AA与C相互独立 BA与D相互独立 CB与D相互独立 DC与D相互独立二、多选题，本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图根据该图数据，这7次人口普查中（ ）A乡村人口数均高于城镇人口数 B乡村人口数达到最高峰是第3次C城镇人口总数逐次增加 D和前一次相比，城镇人口比重増量最大的是第7次10下列结论正确的是（ ）A若复数z满足，则z为纯虚数B若复数满足，则C若复数z满
4、足，则D若复数z满足，则11在中，则（ ）A当时， B不可能是直角三角形CA的最大值为 D面积的最大值为12在棱长为2的正方体中，点P是棱的中点，点Q是底面上的动点，且，则下列说法正确的有（ ）A与所成角的最大值为 B四面体的体积不变C的面积有最小值 D平面截正方体所得截面面积不变二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡的相应位置13已知向量，且，若A，B，C三点共线，则实数x的值为_14的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则_15为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，广东省于2019年采用“”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语
5、3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成在选择物理的学生中，选择物理、化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，则选择物理、化学、生物的概率为_；现有选择物理的2名学生，他们选择专业的组合互不影响，则至少有1人选择物理、化学、生物的概率为_16已知正四面体的棱长为1，M为棱的中点，则二面角的余弦值为_；平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为_三、解答题，本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）如图，在平行四边形中，点E在上，且，点F是的中点（1）设，用表示；（2）已知，求证：18（12分）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底
6、面，且底面是正三角形）中，M是棱的中点（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值（注：本题要求使用几何法证明求解，使用空间向量法得分不超过一半。）19（12分）我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀
7、”的概率是多少？20（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，且（1）求角A的大小：（2）若，求边的中线长度的最小值21（12分）如图1，已知中，M为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2所示（1）求证：；（2）若点E是线段上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为22（12分）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）现考虑绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，落在边上且不与端点B，C重合（1）设，若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求
8、，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度蕉岭中学2023届高二入学测试（数学）试题参考答案1-8CBABD AAA 9CD 10CD 11AD 12BCD133 14 15； 16 8解：根据题意得，所以，所以A与C相互独立故选：A11解：在中，设内角所对的边分别为由，可得，又，当时，解得；当时，满足为直角三角形，B错误；，当且仅当时等号成，所以A的最值为，C错误；，设，当时，S取最大值，且最大值为12解：对于选项A，由题意以为坐标原点，、为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，则，设，则，由，可得，即，对于选项A，由，可得，为定值，所以选项A错误；对于选项B，四面体的体积，为定值，即体
9、积不变，所以选项B正确；对于选项C，因为，且，所以，因为，所以，C正确；对于选项D，如图，因为点Q满足，即点Q在直线上运动，取的中点为E，即点Q在，因为点P到的距离为2，则平面截正方体所得截面为，其中，所以，且，又由P为中点，所以，和全等，所以，由平行四边形的面积的性质，所以，截面面积为四边形，该四边形的面积为，则截面面积为，则截面面积为定值，所以选项D正确14、【详解】因为，所以由正弦定理得，即又，则，从而又，故故答案为：15【详解】设选择物理、化学、生物的概率为P，因为物理、化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，所以，解得即选择物理、化学、生物的概率为；因为至少有1人选择物理、化学、生物的
10、组合的对立事件为2名学生都没有选择物理、化学、生物组合，所以2名学生都没有选择物理、化学、生物组合的概率为，所以至少有1人选择物理、化学、生物的概率为，故答案为；16【详解】将正四面体放入正方体中，如图所示正四面体的棱长为1，则正方体的棱长为，取中点N，连接，则二面角的平面角为，且为，；由图可得，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，且球心为线段中点，设球半径为R，则，平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为三、解答题17，解：（1）因为，则，所以，； 5分（2）证明：因为，所以，即，即，所以 10分18（1）证明见解析；（2）（1）证明：连接交于O，连接，易得O为的中点平面平面又M为中点，同
11、理可得连接，同理可得，又，平面，平面又平面 平面平面 6分（2）解：易得 又由（1）平面平面平面平面，平面 平面即为与平面所成的角在中，在中，故与平面所成角的正弦值为 12分19（1）中位数为，平均数为87.25；（2）解：（1）第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三章的频率为0.30，第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10，所以中位数在第三组，不妨设为x，则，解得， 4分平均数为； 6分（2）根据题意，“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，所以分层抽样得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，将三名优秀学生分别记为，两名良好的学生分别记为a，b，则这5人中选2人的基本
12、事件有：共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共9种，所以至少有一人是“优秀”的概率是 12分20（1）；（2）【详解】（1）由正弦定理得，在中，即即， 6分（2），在中由余弦定理时取等号，长度的最小值为 12分21（1）证明见解析：（2）E为的中点【详解】（1）连接，在矩形中，M为中心，则，则勾股定理得，折起后，平面垂直平面，且平面平面，平面，则平面，又平面； 6分（2）在中，作交于F又平面，平面是三棱锥的高即，中，且，为中位线，E为的中点 12分22（1）；（2）【详解】（1）由题意得：与全等，在中，又，又，为等边三角形，公共绿地的面积（2）由图得：且在中，由正弦定理得：，令又由得，当即时取最大值，即最短，此时是等边三角形，