1、第三章 导数及其应用第15讲 导数的概念及运算【学习目标】1了解导数概念的实际背景2理解导数的意义及几何意义3能根据导数定义求函数 yC(C 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数4能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导【基础检测】1函数 f(x)excos x 的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A.4B0C.34D1【解析】由 f(x)ex(cos xsin x)，则在点(0，f(0)处的切线的倾斜角 kf(0)1，故倾斜角为4，选 A.A2已知 f(0)2，则 h 趋近于 0 时，f（3h）f（0）h趋近于_.【解析】f（3h）f（0）h3f
2、（03h）f（0）3h，当 h 趋近于 0 时，3h 也趋近于 0.f（3h）f（0）h趋近于 3f(0)6.故填 6.63物体的运动方程是 s13t32t25，则物体在t3 时的瞬时速度为_【解析】v(t)s(t)t24t，t3 时，v3，故填 3.34已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0)_【解析】函数的导数为 fx 2x2f1，f1 22f1，解得 f1 2，所以 fx 2x4，故 f0 4.4【知识要点】1平均变化率及瞬时变化率(1)函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率用_表示，且 y xf（x2）f（x1）x2x1.(2)函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是：y
3、 xf（x0 x）f（x0）x.2导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0 处的导数就是函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)f（x0 x）f（x0）x.y x(2)函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)是一个确定的数，当 x 变化时，f(x)是 x 的一个函数，称 f(x)为f(x)的 导 函 数(简 称 导 数)，即f (x)f（x x）f（x）x.3导数的几何意义和物理意义几何意义：函数 yf(x)在 xx0 处的导数就是曲线yf(x)上_的斜率 k，即 k_；切线方程为_物理意义：若物体位移随时间变化的关系为 sf(t)，则
4、 f(t0)是物体运动在 tt0 时刻的_点(x0，f(x0)处切线f(x0)yf(x0)f(x0)(xx0)瞬时速度4基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)_(C 为常数);(x)_；(x2)_；1x _；(x)_(2)初等函数的导数公式(xn)_；(sin x)_；(cos x)_；(ex)_；(ax)_；(ln x)_；(logax)_ 1x20 1xln a1 2x12 xnxn-1cos x-sin x exaxln a 1x5导数的运算法则(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)f（x）g（x）_6复合函数的导数(1)对于两个函数 yf(u)和 ug(x
5、)，如果通过变量u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数(函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数为 yf(g(x)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为_，即 y 对 x的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积yxyuux一、导数的运算法则及应用例1求下列函数的导数：(1)y5x24x1；(2)y(2x21)(3x1)；(3)yxex1(x0)；(4)ycos 2xsin xcos x.【解析】(1)y10 x4；(2)
6、y4x(3x1)(2x21)318x24x3；(3)yx（ex1）x（ex1）（ex1）2（1x）ex1（ex1）2；(4)ycos2xsin2xsin xcos x(cos xsin x)sin xcos x.【点评】求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单二、复合函数的导数例2求下列复合函数的导数：(1)y(2x1)5；(2)y1（13x）4；(3)ysin22x3；(4)yx 1x2.【解析】(1)设 u2x1，则 yu5，yyuux(u5)u(2x1)x 5u42
7、5(2x1)4210(2x1)4.(2)设 u13x，则 yu4，yxyuux(u4)u(13x)x 4u5(3)12u512（13x）5.(3)ysin22x32sin2x3 sin2x3 2sin2x3 cos2x3 2x3 2sin2x3 cos2x3 22sin4x23.(4)yx 1x2 x 1x2x1x2 1x2x21x212x21x2.【点评】求复合函数的导数，关键在于分析函数的复合关系，适当确定中间变量，然后“由外及内”逐层求导三、导数的几何意义及应用例3已知曲线 y13x343.(1)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程；(2)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程；(3)求曲线
8、过点 P(2，4)的切线方程【解析】(1)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为 kx201，解得 x01，故切点为1，53，(1，1)故所求切线方程为 y53x1 和 y1x1，即 3x3y20 和 xy20.(2)yx2，且 P(2，4)在曲线 y13x343上，在点 P(2，4)处的切线的斜率 ky|x24.曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.(3)设曲线 y13x343与过点 P(2，4)的切线相切于点 Ax0，13x3043，又切线的斜率 ky|xx0 x20，切线方程为 y13x3043 x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.点 P(2
9、，4)在切线上，42x2023x3043，即 x303x2040，x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 4xy40 或 xy20.【点评】求切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数 f(x)的导数 f(x)；求切线的斜率 f(x0)；写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组y0f（x0），y1y0 x1x0f（x0），得切点(x0，y0)，进而确定切线方程
10、 注意：求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个四、应用导数探究函数的切线例4已知函数 f(x)x22xa，x0，其中 a 是实数设 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图象上的两点，且 x1x2.(1)指出函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，证明：x2x11；(3)若函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线重合，求a 的取值范围【解析】(1)函数 f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为1，0)，(0，
11、)(2)证明：由导数的几何意义可知，点 A 处的切线斜率为 f(x1)，点 B 处的切线斜率为 f(x2)故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时，有f(x1)f(x2)1.当 x0 时，对函数 f(x)求导，得 f(x)2x2.因为 x1x20，所以(2x12)(2x22)1，所以 2x120，因 此x2 x1 12 (2x1 2)2x2 2（2x12）（2x22）1.当且仅当(2x12)2x221，即 x132且 x212时等号成立 所以函数 f(x)的图象在点 A，B 处的切线互相垂直时，有 x2x11.(3)当 x1x2x10 时，f(x1)f(x2)，故x10 x2.当 x10
12、时，函数 f(x)的图象在点(x2，f(x2)处的切线方程为 yln x2 1x2(xx2)，即 y 1x2xln x21.两切线重合的充要条件是 1x22x12，ln x21x21a.由及 x10 x2 知，0 1x22.由得，aln x212x21 21ln 1x2141x22 21.令 t 1x2，则 0t2，且 a14t2tln t.设 h(t)14t2tln t(0t2)则 h(t)12t11t（t1）232t0.所以 h(t)(0th(2)ln 21，所以 aln 21，而当 t(0，2)且 t 趋近于 0 时，h(t)无限增大，所以 a 的取值范围是(ln 21，)故当函数 f(
13、x)的图象在点 A，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21，)【点评】本题考查分段函数、导数的几何意义及两直线垂直的条件，考查转化化归思想、函数与方程思想及推理论证能力，属难题备选题例5一物体在直线上运动，其运动方程为：s(t)2t（0t2）0.5t22（2t4）.(1)求此物体从 t1 到 t3 所经过的路程 s 和它在这段时间的平均速度 v；(2)求此物体在 t1 时的瞬时速度 v1和 t3 时的瞬时速度 v3；(3)求此物体在 t2 时的瞬时速度 v2.【解析】(1)ss(3)s(2)s(2)s(1)(0.532222)(2221)4.5，vst 4.5312.25.(2)v1
14、st12；v3st3(0.5t22)t33.(3)当t0 时，ss(2t)s(2)0.5(2t)2242t0.5(t)2.所以，v2lim st2.【点评】根据导数的实际背景解决有关的运动问题，深刻理解定义是解题的关键1应用基本初等函数的导数公式进行导数计算时应注意：公式(xn)nxn1 中，n 为有理数；公式(ax)axln a，(logax)1xln a与(ex)ex，(ln x)1x，清楚地区分和熟记2复合函数的导数计算关键是联想基本初等函数，准确地通过中间量对复合函数进行分拆，同时最后结果是关于 x 的函数解析式3导数的几何意义是高考考查的热点问题，应特别注意“过点 P 的切线”与“在
15、点 P 处的切线”意义完全不一样，前者点 P 不一定是切点，而后者点 P 一定是切点，且在曲线上【解析】ya 1x1，根据已知得，当 x0 时，y2，代入解得 a3.1(2014 新课标全国)设曲线 yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为 y2x，则 a()A0B1C2D3D【命题立意】本题考查对数函数的导数及导数的几何意义，属中档题2(2014 广东)曲线 ye5x2 在点(0，3)处的切线方程为_.【解析】因为 y5e5x，所以切线的斜率 k5e05，所以切线方程是：y35(x0)，即 y5x3.【命题立意】本题考查对数函数的导数及切线方程的求解方法属中档题 5x3【解析】s(3)
16、(t25t)|t36，选 C.1一物体作直线运动，其运动方程为 s(t)13t352t2(单位：米)，则在时刻 t3 秒的瞬时速度为()A13.5 米/秒B13.5 米/秒C6 米/秒D6 米/秒C【解析】由 f(x)xln x 得 f(x)ln x1.根据题意知 ln x012，所以 ln x01，因此 x0e.2设 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0 的值为()Ae2BeC.ln 22Dln 2B【解析】y4ex（ex1）24exe2x2ex1.设 tex(0，)，则 y4tt22t14t1t2，t1t2，y1，0)，34，.3已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P处
17、的切线的倾斜角，则 的取值范围是()A.0，4B.4，2C.2，34D.34，D134已知直线 axby20 与曲线 yx3 在点 P(1，1)处的切线互相垂直，则ab_【解析】y(x3)3x2，k3，由题意，3ab1，所以ab13.【解析】f(x)2f(1)1x，f(1)2f(1)1，则 f(1)1.5已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)_1【解析】令 f(x)(12x)10a0a1xa2x2a10 x10，则 f(x)a12a2x10a10 x9，f(1)a12a210a10(12x)10 x1 20(12x)9|x120.6若(12x
18、)10a0a1xa2x2a10 x10，则 a12a23a310a10_207已知函数 f(x)x1aex(aR，e 为自然对数的底数)(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x轴，求 a 的值；(2)当 a1 时，若直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)相切，求 l 的直线方程【解析】(1)f(x)1aex，因为曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，所以 f(1)1ae0，解得ae.(2)当 a1 时，f(x)x11ex，f(x)11ex.设切点为(x0，y0)，f(x0)x01 1ex0kx01，f(x0)1 1ex0k，得 x0kx01k，即(k1)
19、(x01)0.若 k1，则式无解，x01，k1e.l 的直线方程为 y(1e)x1.8定义 F(x，y)(1x)y.(1)令函数 f(x)F(1，log2(x3ax2bx1)的图象为曲线 C，若 log2(x3ax2bx1)0 且存在实数 b 使得曲线 C 在 x0(4x01)处有斜率为8 的切线，求实数 a 的取值范围；(2)令函数 g(x)F(1，log2(ln x1)exx)，是否存在实数 x01，e使曲线 yg(x)在点 xx0 处的切线与 y 轴垂直？若存在，求出 x0 的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)f(x)F(1，log2(x3ax2bx1)x3ax2bx1，设曲线 C 在 x0(4x00，令(x)x3ax2bx1，则(x)3x22axb，存在实数 b 使得3x202ax0b8 4x00有解 由得 b83x202ax0，代入得2x20ax0804x00 或 2(1)2a(1)80，a10 或 a10，a0，1x0ln x010，g(x0)1x0ln x01 ex0110.曲线 yg(x)在点 xx0处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g(x0)0 有实数解 而 g(x0)0，即方程 g(x0)0 无实数解 故不存在实数 x01，e使曲线 yg(x)在点 xx0 处的切线与 y 轴垂直